Реферат по математике «Окружность и касательные» (стр. 1 )

Министерство образования и науки

Российской Федерации

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 22»

Р Е Ф Е Р А Т

по математике

«Окружность и касательные»

Выполнила

учащаяся 9 класса «А»

Учитель математики

Тверь, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………………………………..3

Глава I. Окружность
1.1 Что такое окружность?......................................................................................4
1.2 Основные термины…………………………………………………………5-6
1.3 Вписанная окружность……………………………………………………..7-8
1.4 Описанная окружность……………………………………………………9-10
1.5 «Замечательные» точки треугольника……………………………………..11

Глава II. «Прямая Эйлера». Окружность девяти точек
2.1 Что такое прямая Эйлера?.........................................................................12-14
2.2 Окружность девяти точек………………………………………………..15-16
2.3История теорем окружности девяти точек……………………………...17-18

Глава III.Построение окружности с помощью циркуля и линейки
3.1 Основные понятия………………………………………………………..19-21
3.2 Деление отрезков ………………………………………………………...22-23
3.3 Известные задачи………………………………………………………...24-26
3.4 Неразрешимые задачи...……………………………………………………..27
3.5 Интересные факты…………………………………………………………...28

Заключение……………………………………………………………………...29

Список литературы…………………………………………………………….30

Приложение 1…………………………………………………………………...31
Приложение 2…………………………………………………………………...32
Приложение 3…………………………………………………………………...33
Приложение 4………………………………………………………………..34-35

ВВЕДЕНИЕ

Когда-то геометрия включала всю математику. Но математика росла и развивалась особенно бурно в последние 200 лет. Возникли новые направления: математический анализ, теория множеств, топология, совсем иначе стала выглядеть алгебра. Конечно, развивалась и геометрия, однако некоторые математики начали в последнее время относить ее к числу второстепенных математических направлений. Это мнение нашло свое отражение и в содержании школьных программ по математике. Как мало мы знаем о природе геометрии и об успехах, которые были достигнуты ее исследователями! Геометрия и сейчас обладает всеми теми достоинствами, за которые ее ценили педагоги прошлых поколений.

Самая простая из кривых линий – окружность. Это одна из древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали ей огромное значение. Согласно Аристотелю, небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной фигуре – окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII в. учением Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона.

Определение касательной к прямой, имеющей с окружностью одну общую точку, встречается впервые в учебнике «Элементы геометрии» французского математика Лежандра (1В «Началах» Евклида дается следующее определение; прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает его.

Цель данного реферата состоит в том, чтобы вспомнить некоторые из полузабытых вещей, касающихся окружностей и касательных к ним, вывести новые теоремы. Узнать способы деления отрезков с помощью циркуля и линейки.

Задача реферата: 1. Изучить понятия окружности и касательных. Особенности и свойства; 2. Окружность девяти точек; 3. Рассмотрение задач на деление отрезков с помощью циркуля и линейки.

Глава I. Окружность

1.1 Что такое окружность?

Окружность (рис.1) — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом.

(рис.1)

Другие определения:

· Окружность диаметра AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

· Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек равно данному числу, отличному от единицы.

· Также фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками.

1.2 Основные термины.

·

А

Радиус (рис.2) — не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.

r

О

(рис.2) ОА = r - радиус

·

В

А

О

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (рис.3).

(рис.3) АВ - диаметр

· Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной (рис.4) к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

(рис.4) а - касательная

·

В

А

О

Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей (рис.5).

(рис.5) АВ – секущая

· Центральный угол (рис. 6)— угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

(рис.6)

·

E

D

С

О

Вписанный угол (рис. 7) — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.

(рис. 7)

1.3 Вписанная окружность.

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

В многоугольнике (рис.8):

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

(рис.8)

В треугольнике (рис.9):

· В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.

· Центр O вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.

В

С

А

О

(рис.9)

 

В четырехугольнике:

· Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность (рис.10)

· В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны (АВ + СD = a + b + c + d, BC+ AD = a + b + c + d, поэтому AB + CD = BC + AD) (рис.11)

·

C

B

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность

d

d

а

A

(рис.11)