Четырехполюсники и электрические фильтры (стр. 3 )

u = [2+3,74sin(ω1t + 0,3π)+3,03sin(2ω1t+0,1π)+2,02sin(3ω1t-0,1π)+0,935sin(4ω1t- - 0,3π)- -0,624sin(6ω1t-0,7π)-0,866sin(7ω1t-0,9π)-0,757sin(8ω1t-1,1π)-0,416sin(9ω1t-  - 1,3π)+…], В,

или учитывая, что –sin(nω1t-ψn) = sin(nω1t-ψn±π), окончательно получим

u = [2+3,74sin(ω1t + 0,3π)+3,03sin(2ω1t+0,1π)+2,02sin(3ω1t-0,1π)+0,935sin(4ω1t- - 0,3π)+ +0,624sin(6ω1t+0,3π)+0,866sin(7ω1t+0,1π)+0,757sin(8ω1t-0,1π)+0,416sin(9ω1t- - 0,3π)+…], В,

Для определения ряда Фурье в комплексной форме , находим комплексные амплитуды

Таким образом комплексная форма ряда Фурье

На основе полученных результатов на рис. 7.1, б изображен амплитудно-частотный спектр напряжения в зависимости от номера гармоники (расчеты для n от 1 до 10 даны в табл. 7.1; аналогичные расчеты для n=11…30 рекомендуется проделать самостоятельно).

По данным табл. 7.1 на рис. 7.1, в построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от ωn = nω1. Для построения графика выбраны масштабы: по оси абсцисс одному делению соответствует 1·10 -3 с -1; по оси ординат в одном делении 100·10 -6 В·с (при построении последнего графика спектральные амплитуды приведены к нормированному масштабу путем деления на ω1 = 2π/T).

На рис. 7.1, г построен амплитудно-частотный спектр в зависимости от n при
T = 2 мс, а на 7.1, д спектр изображен в нормированном масштабе в зависимости от ωn (расчеты рекомендуется проделать самостоятельно).

Из рис. 7.1, в и д видно, что спектральные характеристики импульсов одной и той же длительности tи зависят от периода Т следования импульсов, и чем он больше, тем гуще располагаются спектральные линии, а амплитуды соседних гармоник близки по значению.

На рис 7.1, б - д отложены значения 1/2Un, соответствующие положительным частотам. Полный спектр можно получить, если построить такой же график симметрично относительно вертикальной оси (т. е. отложить соответствующие отрезки для отрицательных частот).

Задача 7.2

К зажимам цепи (рис. 7.2.), параметры которой R = 30 Ом, L1 = 60 мГн; R1 =  = 18 Ом, приложено напряжение u = [120+200sinω1t+50sin(3ω1t+300)] В.

Рис. 7.2

Частота основной гармоники f1 = 50 Гц. Написать выражения мгновенных значений тока i, напряжения uab на участке ab. Определить показания приборов, если А1 и V1 – приборы магнитоэлектрической системы без выпрямления – показывают постоянные составляющие, А2 и V2 – приборы индукционной системы – показывают действующее значение переменной составляющей, А3 и V3 – приборы тепловой системы – показывают действующее значение тока и напряжения. Вычислить активную мощность, расходуемую в цепи.

Решение

Постоянные составляющие тока и напряжения на участке ab:

I(0) = U0/(R+R1) = 120/(30+18) = 2,5 A;

Uab(0) = R1I(0) = 45 B.

Расчет для первой гармоники:

Напряжение на участке ab:

Расчет для третьей гармоники:

Уравнение для i и uab:

i = [2,5+3,88sin(ω1t-21°25’)+0,674 sin(3ω1t-19°40’)] A;

uab = [45+101 sin(ω1t+24°55’)+40 sin(3ω1t+52°40’)] B.

Найдем показания приборов:

амперметр A1 Io = 2,5 A;

вольтметр V1 Uo = 120 B;

амперметр A2

вольтметр V2

амперметр A3

вольтметр V3

Мощность, расходуемая в цепи определяется по формуле

P = U(0)I(0)+U(1)I(1)cosφ1+U(3)I(3)cosφ(3)=

Задача 7.3

На рис. 7.3 изображена схема цепи, параметры которой при основной частоте имеют значения ω1L = 12 Ом и 1/( ω1С)=30 Ом, а резистивные сопротивления: R1 = 6 Ом; R2 = 5 Ом; R3 = 20 Ом. Приложенное к цепи напряжение u = U0+Um(1)sinω1t+ Um(3)sin(3ω1t+ψ3), где U0 = 30 B, Um(1) = 100 B, Um(3) = 40 В и ψ(3) = 20°.

Рис. 7.3

Записать уравнение мгновенного значения тока неразветвленного участка цепи. Определить действующее значение каждого тока. Вычислить мощность, расходуемую в цепи.

Решение

Расчет постоянной составляющей. Эквивалентное сопротивление цепи и постоянные составляющие токов в неразветвленной части цепи и в ветвях с сопротивлениями R2 и R3 определяются по формулам

Ом; I1(0)= U0/Rэл(0) = 30/10 = 3 А;

; I3(0) = I1(0)- I2(0) = 0,6 A; I4(0) = 0.

Расчет для первой гармоники. Определим комплексное сопротивление трех параллельных ветвей

1/Zab(1)=1/Z2(1) +1/Z3(1)+1/Z4(1)=1/(5+j12)+1/20+1/(-j30)=(79,6 - j37,7)10-3 См,

отсюда

Комплексное сопротивление всей цепи

Zэк(1) = R1+Zab(1)=16,25+j4,83 = 17ej17°30’ Ом.

Комплексные (максимальные) токи в неразветвленной части цепи, напряжение на параллельных ветвях и токи в них:

Расчет для третьей гармоники производится аналогично:

Z1(3) = 6 Ом; Z2(3) = R2+j3ω1L = 5+j36 = 36,5ej82°10’ Ом;

Z3(3) = 20 Ом; Z4(3) = -j1/(3ω1C) = -j1/3·30 = -j10 Ом;

1/Zab(3) = 1/(5+j36)+1/20+1/(-j10) = (53,77+j72,8)·10-3 См;

Zab(3) = 6,56-j8,9 = 11,05e-j53°35’ Ом;

Zэк(3) =  Z1(3)+ Zab(3) = 12,56-j8,9 = 15,35e-j35°5’ Ом;

Ток в неразветвленной части цепи имеет вид

i1 = [3+5,88sin(ω1t-16°30’)+2,6sin(3ω1t+55°5’] A.

Действующее значение каждого тока определяют по формуле

Мощность, расходуемую в цепи, находят по формуле

P = 30·3+1/2·100·5,88∙cos16°30’+1/2·40·2,6∙cos33°5’=415 Вт.

Проверка

Задача 7.4

Вычислить коэффициенты формы, амплитуды и искажения кривой напряжения, уравнение которой: u = U1msinω1t+ U2msin2ω1t, U1m = 100 В и U2m= = 30 В.

Решение

Сначала вычислим действующее значение напряжения по формуле

Затем найдем среднее по модулю значение напряжения. Ввиду симметрии кривой u и положительности ее значений за половину периода (рис.7.4) для его определения достаточно ограничиться половиной периода

Рис. 7.4

Теперь определим максимальную ординату кривой u:

или так как cos2ω1t = 2cos2ω1t-1, то 4U2mcos2ω1t+U1mcosω1t-2 = 0,
120cos2ω1t+100cosω1t-2 = 0, откуда, решая квадратное уравнение, получим cosω1t = 0,404; ω1t = 66°10’ (знак «-» перед корнем не ставится, т. к. в этом случае косинус окажется больше единицы), а