Четырехполюсники и электрические фильтры (стр. 1 )

Глава 6.

Четырехполюсники и электрические фильтры.

Задача 6.1

Параметры линейного трансформатора (рис. 6.1): R1 = 2 Ом; L1 = 0,5 мГн; R2 = = 3 Ом; L2 = 0,72 мГн; k = 0,5; ƒ = 10 кГц; ω = 2πƒ = 62,8∙103.

Определить: A, B, C, D.

Рис. 6.1

Решение

;

;

;

M = k∙;

A = ;

B = Ом;

С = См; D = .

Задача 6.2

Параметры четырехполюсника (рис. 6.2): ωL = 2/ωC = 20 Ом.

Определить: коэффициенты в [A] форме.

Рис. 6.2

Решение

х. х) ; ;

; ;

к. з) ; Ом;

; .

Задача 6.3

Параметры четырехполюсника (рис.6.3): 1/ωC = = 35 Ом; ωL1 = 20 Ом; ωL2 = 60 Ом; ωM = 10 Ом.

Определить: коэффициенты в [A] форме.

Рис. 6.3

Решение

х. х) ;

См;

к. з) ;

;

Ом.

Задача 6.4

Параметры четырехполюсника (рис. 6.4): R = XL = XC = 10 Ом.

Определить: коэффициенты в [A] форме.

Рис. 6.4

Решение

х. х) ;

См;

к. з) ;

Ом;

.

Проверка:

AD – BC = (1+j1)∙1 – (10 + j20)∙j0,1 = j1 – 1 – j1 + 2 = 1.

Задача 6.5

Найти коэффициенты уравнений типа A симметричного T - образного четырехполюсника (pиc. 6.5).

Рис. 6.5

Решение

Для рассматриваемого четырехполюсника (как и многих других) вычисления упрощаются при выполнении мысленных опытов холостого хода и короткого замыкания.

При холостом ходе на вторичных выводах () из рис. 6.5, следует, что

;

;

или

.

При , определим

; .

При коротком замыкании вторичных выводов () из рис. 6.5 следует, что

;

или

;

.

При Ù2 = 0, найдем

;

;

т. е. D = A, как и должно быть у симметричного четырехполюсника.

Задача 6.6

Найти коэффициенты матрицы Y для П - образного симметричного четырех-полюсника (рис. 6.6).

Рис. 6.6

Решение

Запишем уравнения в виде:

;

.

В частности, при коротком замыкании вторичных выводов

;

.

Для четырехполюсника по рис. 6.6

;

.

Следовательно,

;

.

Из последних двух формул можно найти параметры Z1 и Z2 при заданной матрице Y:

;

.

Задача 6.7

На рис. 6.7, а, б изображены схемы одноэлементных четырехполюсников.

Определить:

1) матрицы [А], [Y] и [Н] четырехполюсника рис. 6.7, а;

2) матрицы [А], [Z] и [Н] четырехполюсника рис. 6.7, б.

Рис. 6.7

Решение

1) Матрица [A] одноэлементного четырехполюсника (рис. 6.7, а) может быть получена при непосредственном рассмотрении схемы и применении законов Кирхгофа:

(1)

.

Следовательно,

.

Однако элементы матрицы [А] или параметры четырехполюсника могут быть определены, если использовать режимы холостого хода и короткого замыкания на стороне зажимов 2-2'.

Из уравнений формы [А] следует, что

, так как ;

, так как ;

, так как ;

, так как .

Матрица [Y] рассматриваемого четырехполюсника может быть получена, если в системе уравнений (1) положить , а затем привести эту систему к форме [Y]

; (2)

.

Следовательно,

.

Элементы матрицы [Y] могут быть определены, если использовать режимы короткого замыкания на стороне зажимов 1-1' и 2-2'. Из уравнений формы [Y] следует, что

, так как ;

, так как ;

, так как ;

, так как .

Матрица [Н] рассматриваемого четырехполюсника может быть получена, если в системе уравнений (1) положить , а затем привести эту систему к форме [Н], или же систему (2) решать относительно и :

; (3)

.

Следовательно,

.

Элементы матрицы [Н] могут быть определены, если использовать режимы короткого замыкания на стороне зажимов 2-2' и короткого замыкания на стороне зажимов 1-1'.

Из уравнений формы [Н] следует, что

, так как ;

, так как ;

, так как ;

, так как .

Для определения элементов матрицы какой-либо формы по известным элементам матрицы другой формы можно использовать таблицу соотношений между элементами матриц различных форм.

2) Матрицы одноэлементного четырехполюсника (рис. 6.7, б), состоящего из поперечного двухполюсника, могут быть определены теми же способами, которыми определялись матрицы одноэлементного четырехполюсника, состоящего из продольного двухполюсника (см. рис. 6.7, а).

; ; .

Задача 6.8

Четырехполюсник собран по Г-образной схеме (рис. 6.8, а).

Определить: матрицы [А] и [Y].

Рис. 6.8

Решение

Искомые матрицы можно получить при непосредственном рассмотрении схемы четырехполюсника и применении законов Кирхгофа; полученные уравнения приводятся к системе уравнений в форме [А] или в форме [Y] и тем самым определятся матрицы [А] и [Y]. Например, для указанных на рис. 6.8, б контура и узла (см. рис. 6.8, а) получим:

;

.

Следовательно,

.

Если в полученной системе уравнений положить и решить ее относительно и , то коэффициенты правых частей и составят матрицу [Y]:

.

Элементы матриц могут быть определены, если использовать режимы холостого хода и короткого замыкания.

Г - образный четырехполюсник можно рассматривать как каскадное соединение двух одноэлементных четырехполюсников (рис. 6.8, в).

Так как

, ;

то

.

Для определения матрицы [Y]г можно использовать таблицу соотношений между элементами матриц различных форм.

Задача 6.9

Матрица [А] некоторого четырехполюсника имеет вид:

.

Определить:

1) выражения полных сопротивлений элементов эквивалентного Т - образного четырехполюсника;

2) значения сопротивлений, индуктивностей и емкостей элементов эквивалентного четырехполюсника.

Решение

1) Схема эквивалентного Т - образного четырехполюсника имеет вид рис. 6.9, а.

Используя таблицу матриц четырехполюсников и учитывая заданную матрицу [A], получаются соотношения:

Рис. 6.9, а

;

;

;

отсюда

; ; .

2) Из выражений для Z1, Z2, Z3 видно, что элементами Т - образного четырехполюсника являются: R1 = 1Ом, С2 = 1Ф и L3  = 1 Гн (рис. 6.9, б).

Рис. 6.9, б

Задача 6.10

Четырехполюсник характеризуется при некоторой частоте матрицей:

.

К выходным зажимам подключен приемник Z = -j2.

Определить: входное сопротивление.

Решение

Так как , то

.

Задача 6.11

Двухполюсник с сопротивлением подключен к источнику напряжения (рис. 6.11, а) через четырехполюсник, схема которого изображена на рис.6.11, б; Z1 = Z5 = 1, Z2 = Z4= -j, Z3= j, Zн = Zс (четырехполюсник согласованно нагружен).

Определить:

1) Характеристическое сопротивление Zс, коэффициенты передачи, затухания и фазы, т. е. g, α, β;

2) I1, U2, I2.