Четырехполюсники и электрические фильтры (стр. 7 )

Ом/км.

В диапазоне высоких частот (свыше 30 кГц) еще учитывают дополнительное сопротивление кабельной линии, обуславливаемое потерями на вихревые токи в соседних проводниках и свинцовой оболочке:

Окончательно получаем резистивное сопротивление единицы длины кабеля:

Погонные индуктивность и емкость двухпроводной кабельной цепи определяют по формулам

Проводимость изоляции 1 км кабельной линии:

Вторичные параметры кабеля находим по формулам:

; и ;

;

рад/км.

По формулам:

вычисляем фазовую скорость и длину волны в кабеле:

км/с;

км.

Задача 11.4

Определить первичные и вторичные параметры стандартизированной коаксиальной пары типа КМ-4∙2,52/9,4 с шайбовой полиэтиленовой изоляцией при частоте ƒ = 220 кГц. Диаметр жилы d = 2,52 мм, внутренний диаметр внешнего проводника D = 9,4 мм, эквивалентная диэлектрическая проницаемость изоляции ε = 1,1, тангенс угла диэлектрических потерь tgδ = 0,5∙10-4, температура 20º С. Найти также длину волны и фазовую скорость.

Решение

Первичные параметры вычислим по формулам: (П.4.12)-(П.4.15):

Ом/км;

Гн/км;

Ф/км;

См/км.

Вычислим вторичные параметры. Так как R0 = 19,7 << ωL0 = 364 и

G0 = 3,2∙10-6 << ωC0 = 64 000∙10-6, то расчет можно вести по приближенным формулам

Ом;

Нп/км = 1,14 дБ/км;

рад/км.

Длину волны и фазовую скорость определяем по формулам:

м; км/с.

Для сравнения приведем расчет по точным формулам

; и ;

Ом;

км-1;

т. е. α = 0,13 Нп/км = 1,13 дБ/км, β = 4,8 рад/км.

Результаты, полученные по точным формулам, весьма близки у рассчитанным по приближенным формулам.

Задача 11.5

Экспериментально установлено, что мощность телефонного аппарата как передатчика на зажимах телефонной цепи составляет 1 мВт, а мощность телефонного аппарата как приемника должна быть порядка 1 мкВт, т. е. может быть допущено уменьшение мощности в 1000 раз. Имея это в виду для воздушной стальной линии, параметры которой приведены в решении задач 11.1 и 11.2 (полагая, что сопротивление телефонного аппарата согласовано с линией), определить:

а) максимально допустимое ослабление;

б) допустимую дальность связи, считая, что все потери энергии сосредоточены в линии (передающий и приемный аппараты подсоединены непосредственно к линии);

в) отношение модулей напряжения и тока в начале линии к соответствующим величинам в ее конце.

Решение

Максимально допустимое ослабление выражается формулой:

, или

.

Отсюда для воздушной стальной линии дальность передачи

Отношение модулей напряжений и токов:

Задача 11.6

Линию можно считать бесконечно длинной в том случае, когда ее собственное ослабление достаточно велико (αl ≥ 13 дБ). Исходя из этого условия, найти длины линий:

а) воздушной стальной двухпроводной четырехмиллиметровой линии с расстоянием между осями проводов 60 см при ƒ = 800 Гц (см. задачи 11.1 и 11.2);

б) медной двухпроводной линии с диаметром проводов 3 мм и расстоянием между осями проводов 20 см при ƒ = 800 Гц (состояние погоды: сыро).

в) симметричной кабельной линии при ƒ=220 кГц, параметры которой даны в условии задачи 11.3;

г) стандартизированной коаксиальной пары (см. задачу 11.4). Во всех случаях температуру полагать равной 20º С.

Решение

Расчет параметров в примерах 11.1 и 11.2 был сделан при температуре -14º С.

Проведя аналогичный расчет при температуре 20º С, получим:

R0 = 42,4 Ом/км; L0 = 94,2∙10-4 Гн/км; С0 = 5,12∙10-9 Ф/км;

G0 = 0,05∙10-6 См/км; α = 14,5∙10-3 Нп/км = 0,126 дБ/км.

Из условия αl ≥ 13 дБ находим искомую длину линии

l ≥ 13/α=13/0,126=103 км.

Задача 11.7

Воздушная стальная линия длиной l = 38 км имеет параметры, вычисленные в задачах 11.1 и 11.2. Линия нагружена на сопротивление Zн, равное волновому. Напряжение на входе линии U1 = 10 В, его частота ƒ = 800 Гц.

Определить:

1) коэффициент отражения от конца линии;

2) входное сопротивление нагруженной линии;

3) собственное ослабление в линии;

4) ток в начале линии, напряжение и ток на нагрузке;

5) мощность, расходуемую в нагрузке и подводимую к линии, и ее КПД.

Решение

1. Коэффициент отражения согласованно нагруженной линии выражается формулой:

Входное сопротивление определяем по формуле:

следующими способами.

Способ 1. Сначала вычисляем и :

где x = 0,987 Нп, g = 2,096 рад, т. е. угол y лежит во второй четверти.

Вычислим модуль и аргумент гиперболического тангенса

отсюда φt= -13º47' (из приложения 2 видно, что для четных четвертей угол φt должен быть отрицателен).

Следовательно,

Ом.

Способ 2.

Вычислим входное сопротивление, применив разложение гиперболического тангенса на действительную и мнимую составляющие

Входное сопротивление, по формуле

;

Ом.

Отметим, что точность расчета по приведенным способам примерно одинакова, однако последний путь, с точки зрения затраты времени, является наиболее экономным.

Задача 11.8

Первичные параметры двухпроводной медной четырехмиллиметровой телефонной линии (при ƒ = 100 кГц):

R0 = 14 Ом/км, L0 = 2∙10-3 Гн/км, G0 = 5∙10-6 См/км,

С0 = 6,35∙10-9 Ф/км.

Вычислить индуктивность L1, которую надо включить на каждый километр длины, чтобы линия стала неискажающей. Чему при этом равны вторичные параметры линии?

Решение

Линия не будет вносить искажения, если выполняется отношение

; .

Отсюда

Гн/км.

Вторичные параметры линии определяем по формулам

;

Задача 11.9

Вторичные параметры двухпроводной стальной линии при ƒ = 800 Гц Ом, α = 13,6 мНп/км, β = 36,4 мрад/км. Длина l = 38 км, Ом. На входе линии подано напряжение U1 = 10 В, его частота ƒ = = 800 Гц. для несогласованно нагруженной линии

Определить:

1) абсолютные уровни передачи по мощности, напряжению, току в начале и в конце линии;

2) относительный уровень передачи тех же величин на нагрузке по отношению к началу линии.

Решение

1. Абсолютные уровни передачи по мощности, напряжению, току в начале линии по формулам

, или ;

, или ;

, или ;

соответственно равны:

дБ;

дБ;

дБ.

Те же величины в конце линии:

дБ;

дБ;

дБ.

2. Относительные уровни передачи по мощности, напряжению и току на нагрузке по отношению к началу линии равны разности соответствующих абсолютных уровней:

дБ;

дБ;

дБ.

Между относительными уровнями передачи pp, pU и pI имеется расхождение, оно объясняется тем, что входное сопротивление цепи (Ом) и сопротивление нагрузки ( Ом) отличаются друг от друга.

Задача 11.10

Энергия передается на высокой частоте от генератора к излучающей системе с помощью фидера (линии), имеющего индуктивность L0 = 1,57 мкГн/м и емкость С0 = 7,1 пФ/м. Потерями в фидере можно пренебречь (R0 = G0 = 0). Частота переменного тока f = 108 Гц.

Определить:

а) волновое сопротивление, коэффициенты ослабления и фазы, длину волны; б) входное сопротивление отрезка этого фидера длиной в 1/8 длины волны при холостом ходе и коротком замыкании; в) расчет повторить для отрезков фидера длиной в 1/4, 3/8 и 1/2 длины волны, для каждого из рассчитанных случаев начертить эквивалентную схему фидера; г) начертить кривые изменения входных сопротивлений Zх и Zк в функции длины фидера.

Решение

а. Вычислим Zв, β и λ соответственно по формулам

и

Ом;

рад/м;

м.

б. Из формулы находим а для фидера длиной l=λ/8:

βl=

Входные сопротивления определим по формулам Zx=Zв/jtgβl; Zк=jZвtgβl;

Ом;

Ом.

Эквивалентная схема двухполюсника при холостом ходе – емкость с сопротивлением 470 Ом, при коротком замыкании – индуктивность с сопротивлением 470 Ом.

Расчет для других значений длины фидера рекомендуем проделать самостоятельно:

при l = λ/4 Zx = 0, Zк = ∞;

при l = 3λ/8 Zx = j470 Ом, Zк = -j470 Ом;

при l = λ/2 Zx = ∞, Zк = 0.

Кривые изменения входного сопротивления в функции длины фидера можно рассчитать по формулам Zx = Zв/jtgβl; Zк = jZвtgβl:

при холостом ходе Zн = ∞ Zx = -jZвtgβg;

при коротком замыкании Zн = 0 Zк = jZвtgβg.

Во всех рассмотренных случаях входное сопротивление линии является чисто реактивным Z = jX (Zx = jXx, Zк = jXк).

Кривая Хк = f1(g) имеет катангенсоиды, а кривая Хк = f2(g) – тангенсоиды (рис. 11.10, а и б).

Рис. 11.10

Задача 11.11

Фидер, параметры которого L0 = 1,57 мкГн/м, С0 = 7,1 пФ/м имеет длину l= =5 м и находится в режиме холостого хода. Подсчитать действующие значения напряжения в конце и тока в начале линии, если к фидеру подключено напряжение u1 = U1msinωt (U1 = 10 В, f = 108 Гц). Начертить кривые распределения действующих значений напряжения и тока в начале фидера. Начертить кривые распределения мгновенных значений напряжения и тока вдоль фидера для двух моментов времени: t = 0 и t = T/8. Определить коэффициенты отражения и бегущей волны.

Решение

Подсчитаем величины, которые потребуются в дальнейших расчетах:

βl = 2,1·5 = 10,5 рад = (4,22+2π) рад;

cosβl = cos(4,22+2π) = -0,472;

sinβl = sin(4,22+2π) = -0,881.