Четырехполюсники и электрические фильтры (стр. 8 )

Примем В. Из формулы ; для режима холостого хода (I2=0) определим действующее значение напряжения в конце линии (x=l):

U2=U1/cosβl=10/(-0,472)=21,2 В.

Действующее значение тока в начале линии вычислим по формуле

мА.

Комплексные действующие значения напряжений и токов можно записать на основании формул

; и

В;

мА.

Действующие значения напряжений и токов соответственно равны

В;

мА.

По этим уравнениям на рис. 11.11, а построены соответствующие кривые.

Рис. 11.11

Запишем в общем виде уравнения мгновенных значений напряжений и токов в режиме холостого хода (I2 = 0):

u=U2mcosβg sinωt;

Эти уравнения примут вид для момента t=0

u=0; мА;

для момента t=T/8

В;

мА.

На рис. 11.11, б построены кривые напряжения и тока для моментов t = 0 и T/8.

Коэффициенты отражения со стороны нагрузки определим по формуле

:

Коэффициент бегущей волны

Задача 11.12

Линию, параметры которой L0 = 1,67 мкГн/м, С0 = 6,67 пФ/м, l = 5 м, требуется согласовать с нагрузкой R2 = 5Zв с помощью четверть волнового отрезка.

Определить волновое сопротивление Zв1 этого отрезка так, чтобы в точках аа соединения линии со вставкой не было отражения. Пологая, что напряжение на нагрузке U2 = 10 B, f = 108 Гц, вычислить напряжение и ток в начале вставки и в начале линии. Рассчитать и построить графики распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии и вставки. Вычислить мощность, подводимую к линии и расходуемую в нагрузке.

Решение

Схема согласования линии с нагрузкой с помощью четверть волновой вставки дана на рис. 11.12,а.

рис. 11.12

Вычислим длину волны и коэффициент фазы по формулам:

λ = 2π/β; υв = λ/Т = ω/β;

λ = c/f = 3·108/108 = 3 м; β = 2π/λ = 2π/3.

Длина четверть волновой вставки l1 = λ/4 = 3/4 = 0,75 м.

Входное сопротивление нагруженной четвертьволновой вставки между точками аа можно определить, используя формулу

где thn = Zн/Zв или

У такой вставки l1 = λ/4, а следовательно по формулам

λ = 2π/β; υв = λ/Т = ω/β имеем βl1 =

Подставляем найденное значение βl1 в и обозначая волновое сопротивление вставки Zв1, будем иметь

Последнее выражение дает неопределенность, раскрывая которую, получим

Для согласования линии с нагрузкой необходимо выполнить условие

Zвх = Zв или .

Отсюда

Ом.

Напряжение и ток в начальной вставке (точки аа) найдем по формулам

; и

в которых следует принять g = l1 и волновое сопротивление Zв1:

В

мА.

Линия в точках аа согласованна с нагрузкой. Напряжение и ток в начале линии при отсчете с конца определяем формулами

Действующие значения напряжения и тока представляют собой модули последних комплексов и соответственно равны:

.

Графики этих величин – прямые, параллельные оси y (рис. 11.12, б). Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль вставки определяем по формуле

где m = Zв1/R2 = 1120/2500≈0,45;

B;

мА.

По этим уравнениям на рис. 11.12, б построены кривые U(g) и I(g).

Расчет мощностей.

Действующие значения напряжения и тока в начале линии имеют такие же значения, как и в точках аа, т. е. U1 = 4,5 B, I1 = 9 мА, а по фазе совпадают, так как линия согласована с резистивной нагрузкой, а подводимая к линии мощность P1 = =U1·I1 = 4,5·9·10-3 ≈ 40·10-3 Вт.

Мощность расходуемая в нагрузке, Вт;

т. е. P2 = P1. Этот результат можно было предвидеть, если учесть, что линия идеальная и, следовательно, не имеет потерь, поэтому вся подводимая к линии мощность расходуется в нагрузке.

Задача 11.13

Линию без потерь, параметры которой Zв = 500 Ом, β = 2,1 рад/м, длина l = 5 м, надо согласовать с резистивной нагрузкой R2 = 2500 Ом с помощью короткозамкнутого шлейфа, имеющего такое же волновое сопротивление, как и линия на рис. 11.13. Определить минимальную длину шлейфа lш и место его включения, при которых входное сопротивление в месте присоединения шлейфа (точки bb) равно волновому сопротивлению линии.

Чему в этом случае равны ток, напряжение и мощность, подводимая к линии и расходуемая в нагрузке?

Напряжение на нагрузочном сопротивлении U2 = 10 В, частота f = 108 Гц.

Решение

Рис. 11.13

Из рис. 11.13 видно, что участок линии длиной l’ и шлейф, имеющий длину lш, соединены параллельно. Вычислим их эквивалентное сопротивление. Для этого надо определить входные сопротивления: Z’ – участка линии длиной l’ и Zш – сопротивление короткозамкнутой линии без потерь длиной lш. Каждое из этих сопротивлений вычисляем по формуле :

где m = Zв/R2; Zвх ш = jZвtgβlш.

Входные проводимости этих участков – величины, обратные их сопротивлениям. Входная проводимость участка линии длиной l’ представляет собой комплексную величину, а входная проводимость шлейфа – мнимую. Эти проводимости соответственно равны

Входное сопротивление любого отрезка линии, нагруженного согласованно, должно быть равно волновому сопротивлению. Это означает, что входное сопротивление в точках bb, представляющее собой сопротивление двух параллельных ветвей, тоже должно быть равно Zв:

Учитывая, что волновое сопротивление линии без потерь является действительной величиной, получим

1/Zв = G’; B’ = Bш;

или

; (1)

и

(2)

уравнение (1) с учетом значения m можно преобразовать следующим образом:

Следовательно длину участка линии, находящегося за местом присоединения шлейфа, можно найти по формуле

(3)

Подстановка выражения tgβl’ в уравнение (2) дает возможность найти длину шлейфа lш. Простейшие преобразования приводят к формуле

(4)

Формулы (3) и (4) содержат круговые функции, которые многозначны. Это приводит к многозначности величин l’ и lш. При расчете следует выбирать наименьшее значение lш, так как это обеспечивает наименьшие размеры согласовывающего устройства.

Подставляя числовые значения в формулу (4), получим

Здесь принят знак плюс, так как при этом значении lш минимально.

Наконец, по формуле (3) находим

Напряжение в точках bb присоединения шлейфа вычислим по формуле

где m = Zв/Zн.

Так как линия не имеет потерь, то напряжение в ее начал имеет тоже значение, т. е. U1 = 4,46 В. Ток в начале линии (так как линия нагружена на согласованную нагрузку):

I1 = U1/Zв = 4,46/500 = 8,92·10-3 А = 8,92 мА.

Мощность, поступающая в линию,

P1 = U1I1 = 4,46·8,92·10-3 = 40 мВт.

Мощность, расходуемая в нагрузке,

P2 = U2I2 = 10·(10/2500) = 40 мВт.

Мощности P1 = P2, так как линия не имеет потерь.

Задача 11.14

Резонатор (колебательный контур) выполнен из короткозамкнутого отрезка четвертьволновой медной двухпроводной линии длиной l = 0,75 м (рис. 11.14, а, б). Диаметр провода d = 4 мм, расстояние между ними а = 20 см. Определить длину волны λ0, резонансную частоту f0, первичные параметры отрезка линии R0, L0, C0? волновое сопротивление Zв, коэффициент затухания α и входное сопротивление Zвх короткозамкнутого отрезка линии.

Вычислить параметры контура, эквивалентного четвертьволновому отрезку линии и его добротность.

Рис. 11.14

Решение

Длина волны и соответствующая ей частота соответственно равны:

λ0 = 4l = 4·0,75 = 3 м; f0 = C0/λ0 = 3·108/3 = 108 Гц = 100 МГц.

Резистивное сопротивление единицы длины линии найдем по формуле

R0 = 16,65 = 16,65·10-2· = 420 Ом/км = 0,42 Ом/м.

Индуктивность и емкость единицы длины провода вычислим по формулам:

Гн/км = 1842 мкГн/м;

Ф/км = 6,03 мкФ/м.

Волновое сопротивление и коэффициент затухания определяем по формулам

.

Входное сопротивление вычисляем по формуле

где .

С учетом того, что

Из теории известно, что эквивалентным коротковолновому четвертьволновому отрезку линии является параллельный контур (рис.12.14, б), параметры которого находим по формулам:

;

Добротность контура

Задача 11.15

Резонатор выполнен в виде разомкнутого четвертьволнового отрезка двухпроводной линии, параметры которой даны в предыдущей задаче. Вычислить параметры контура, эквивалентному разомкнутому четвертьволновому отрезку, и его добротность.

Решение

Эквивалентным разомкнутому четвертьволновому отрезку линии является последовательный контур R, L, C, параметры которого вычисляем по следующим известным из теории формулам:

Ом;

Гн;

Отметим, что добротность четвертьволнового отрезка линии в режимах короткого замыкания и холостого хода одна и та же.