Четырехполюсники и электрические фильтры (стр. 6 )

Активное сопротивление должно быть взято такой величины, чтобы при заданном токе в катушке мощность в этом сопротивлении была равна мощности потерь в стальном сердечнике:

Ом.

Индуктивное сопротивление хм должно быть взято таким, чтобы векторная сумма падений напряжений в сопротивлениях хм и Rм была равна напряжению . Из схемы замещения следует

;

.

Отсюда Ом;

В.

Задача 10.3

Построить кривые изменения во времени потокосцепления ψ тока i и напряжения и на индуктивной катушке в схеме рис. 10.3, а.

Характеристика ψ = f (i) изображена на рис. 15.5, б; ψm = 0,015 В∙с. График действующей э. д. с. e = f (t) изображен на рис. 10.3, в; Em = 100 В. Период T = 9∙10-4 с; R = 1000 Ом.

Решение

К концу отрицательного полупериода ψ = -= ψm и i = 0. В положительный полупериод в уравнении слагаемое Ri = 0 в случае, когда изображающая точка перемещается по вертикальному участку зависимости ψ = f (i), т. е. когда происходит перемагничивание индуктивной катушки. В этом интервале времени ; , где С – постоянная интегрирования. При t = 0 ψ = - ψm, отсюда С = - ψm; потокосцепление ψ изменяется по закону до момента времени , тогда ψ достигает ψm. В интервале от Т/3 до Т/2 ψ = ψm; Ri = e(t). Следовательно, i = E/R = 0,1 A. Графики требуемых величин в функции t показаны на рис. 10.3, г.

Задача 10.4

Цепь состоит из последовательно соединенных линейного и нелинейного НЭ резисторов и источника ЭДС , где Еm = 120 В; = = 314 рад/с (рис. 10.4). Сопротивление линейного резистора R = 40 Ом, вольт - амперная харак-теристика нелинейного резистора аппроксимирована зависимостью

Рис. 1

Рис. 10.4

; (1)

где а = 50 Ом; b = 40 В/Аз.

Определить первую гармонику тока в цепи методами:

1) гармонического баланса;

2) гармонической линеаризации.

Решение

1) Метод гармонического баланса.

Уравнение цепи по второму закону Кирхгофа:

. (2)

Представим ток гармонической функцией . Требуется определить амплитуду тока Im, и сдвиг по фазе j относительно ЭДС. .

Для удобства последующих преобразований обозначим ; тогда заданная ЭДС .

Подставим искомое решение для тока в уравнение цепи (2) и выделим синусную и косинусную составляющие в выражении ЭДС:

.

Приравняв коэффициенты при одноименных тригонометри­ческих функциях в левой и правой частях равенства, получим:

(3)

(4)

Из уравнения (3) следует, что . Уравнение (4) при заданных численных значениях величин

;

приведем к виду

;

и решим, где p = 1; g = -2;

А;

т. е.

А.

2) Метод гармонической линеаризации.

При нужно определить Im и j .

Определим сопротивление нелинейного резистора по 1-й гармонике , где в соответствии с (1) - амплитуда 1-й гармоники напряжения на нелинейном элементе. Сопротивление в комплексной форме

;

так как у резистора первые гармоники напряжения и тока совпадают по фазе.

Составим уравнение цепи по второму закону Кирхгофа в комплексной форме

;

где комплексные величины < -j .

После подстановки численных значений получим:

.

Поскольку правая часть уравнения действительная, то j = 0 и уравнение приводится к виду , откуда Im = 1 А.

Задача 10.5

Катушка со стальным магнитопроводом имеет постоянное подмагничивание и подключена к источнику ЭДС , где Еm = 40 В, рад/с. Вебер-амперная характеристика катушки с учетом подмагничивания задана зависимостью , где ток в амперах, потокосцепление в веберах.

Определить ток в катушке.

Решение

Для определения тока в катушке предварительно вычислим потокосцепление

; (1)

где Вб.

Постоянная интегрирования определяется из условия отсутствия постоянной составляющей у тока катушки. Подставив по (1) в заданную зависимость тока, получим:

(2)

откуда из условия отсутствия постоянной, составляющей тока следует, что

;

или

(3)

- кубическое уравнение.

Постановкой

; (4)

приводим уравнение (3) к виду где в соответствии ; . Таким образом, получили уравнение

;

и находим .

По (4) искомое значение постоянной интегрирования Вб. Подставив в выражение (2), найдем. ток

А.

Задача 10.6

К источнику с напряжением В присоединен нелинейный элемент, вольт - амперная характеристика которого А. Определить аналитически и графически зависимость . Найти максимальное значение тока.

Задача 10.7

Цепь из параллельно соединенных нелинейного сопротивления, вольт - амперная характеристика которого А (где ток в амперах, напряжение в вольтах), и линейного сопротивления R = 100 Ом присоединена к напряжению В.

Определить мгновенное и действующее значения общего тока цепи. Вычислить полную и активную мощности и мощность искажения цепи.

Задача 10.8

Электрический вентиль, сопротивление которого в прямом направлении Rпр= = 10 Ом и в обратном направлении Rобр= 2000 Ом, работает на активную нагрузку R11 = 700 Ом. Цепь присоединена к напряжению В.

Определить среднее и действующее значения тока, а также полную и активную мощности источника.

Задача 10.9

Идеальный вентиль, характеризуемый сопротивлениями в прямом направлении Rпр = 0 и в обратном направлении , включен последовательно с линейным сопротивлением R к сети переменного тока 220 В.

Определить постоянную составляющую напряжения на сопротивлении R.

Глава 11.

Цепи с распределенными параметрами.

Задача 11.1

Рассчитать первичные параметры стальной воздушной двухпроводной цепи при температуре окружающей среды -14º С при сухой погоде, если расстояние между осями проводов a = 60 см, их диаметр d = 4 мм. Частота тока ƒ = 800 Гц. Относительную магнитную проницаемость проводов принять равной 120.

Решение

В начале определяем сопротивление 1 км линии при постоянном токе и температуре +20º С:

Ом/км;

где ρ = 0,138 Ом∙м/мм2. Сопротивление при постоянном токе при t = -14º:

Ом/км;

где αк = 0,0046

Резистивное сопротивление 1 км линии при переменном токе определим по формуле .

Здесь F(x) – поправочный коэффициент, учитывающий увеличение резистивного сопротивления линии вследствие поверхностного эффекта; он является функцией x, определяемой по формуле

Применяя линейное интерполирование, найдем F(x), соответствующее x=5,1:

Итак, резистивное сопротивление 1 км линии:

Ом/км.

Индуктивность 1 км двухпроводной воздушной линии определим по формуле

Гн/км;

где Q(x) = 0,547 (для х = 5,1).

Емкость 1 км двухпроводной линии

Ф/км.

Резистивную проводимость между проводами найдем по формуле , учитывая, что проводимость изоляции при сухой погоде G' = = 0,01∙10-6 См/км, а n – коэффициент диэлектрических потерь в изоляторах, при этой погоде он равен 0,05∙10-9

См/км.

Задача 11.2

Для линии длиной l = 38 км, первичные параметры которой были найдены в задаче 11.1, при частоте ƒ = 800 Гц определить: модуль Zв и фазу φв волнового сопротивления, его резистивную и реактивную составляющие, коэффициенты ослабления, фазы и распространения (α, β и g), фазовую скорость распространения электромагнитной волны вдоль линии υф и длину волны λ, отношение U2пр/U1пр = I2пр/I1пр при нагрузке линии на сопротивление, равное волновому, где U2пр и I2пр – амплитуды напряжения и тока прямой (падающей) волны в конце линии; U1пр и I1пр – то же, в начале линии. Чему равна задержка во времени при прохождении волной всей длины линии?

Решение

Волновое сопротивление

;

Ом.

Резистивная и реактивная составляющие волнового сопротивления:

Rв = 1510cos20º21' = 1415 Ом; xв = -1510sin20º21' = -525 Ом.

Коэффициент распространения

;

км-1.

Отсюда коэффициенты затухания и фазы

α = 38,8∙10-3cos69º31' = 13,6∙10-3 Нп/км = 0,12 дБ/км;

β = 38,8∙10-3sin69º31' = 36,4∙10-3 рад/км.

Фазовую скорость и длину волны в линии определяем по формулам

;

м/с.

км/с;

км.

Отношения амплитуд напряжений и тока для прямой волны в конце и в начале линии при согласованной нагрузке, как это следует из уравнения: , при x=l имеют вид

Задержка во времени

Задача 11.3

Найти первичные и вторичные параметры симметричной кабельной линии при частоте ƒ = 220 кГц. Жилы медные, диаметром d = 1,2 мм, расстояние между центрами проводов а = 4,15 мм. Скрутка звездная (коэффициент p, учитывающий этот тип скрутки жил кабеля, равен 5). Эквивалентная диэлектрическая проницаемость изоляции ε = 1,4, тангенс угла потерь tgδ = 160∙10-4. Температура среды 20º С. Определить фазовую скорость и длину волны в кабеле.

Решение

Сопротивление 1 км кабеля при переменном токе вычисляется по формуле:

Ом/км.

Здесь .

Для определения сопротивления 1 км кабеля при переменном токе вычислим коэффициент

Применяя линейное интерполирование, найдем F(x)=1,36; G(x)=0,91; H(x)=0,57; Q(x)=0,473. Резистивное сопротивление 1 км кабеля определяют по формуле