Четырехполюсники и электрические фильтры (стр. 4 )

Наконец по формулам:

; ; ;

вычислим искомые коэффициенты:

kф = 73,8/63,7 = 1,16; ka = 116,7/73,8 = 1,58; kи = 2/73,8 = 0,96.

Глава 8.

Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами.

Задача 8.1

Найти ток и напряжение на катушке в момент коммутации в схеме рис. 8.1

Рис. 8.1

Решение

По первому закону коммутации

.

По второму закону Кирхгофа для момента времени

Задача 8.2

Схема рис. 8.2 используется для получения высоковольтных импульсов. Найти напряжение на зажимах разрядника если В, Ом, Гн, Ом, Ом.

Рис. 8.2

Решение

Найдём ток .

Поскольку свободный ток протекает по контуру, образованному параллельными ветвями, Характеристическое уравнение имеет вид:

, а его корень .

Уравнение для момента коммутации A.

По первому закону коммутации, учитывая, что , получаем

А.

Постоянная интегрирования

АА.

Ток

А.

Искомое выражение

кВ.

В схеме рис. 8.3 В, Ом, Гн. Определить , используя операторный метод.

Задача 8.3

Рис. 8.3

Решение

Ток

Расчет принужденной составляющей тока:

;

.

Расчет свободной составляющей тока проводим по операторной схеме замещения:

; ; А; А. Изображение искомого тока:

Переходим к оригиналу:

;

А.

В итоге:

А.

Задача 8.4

Найти ток в индуктивной катушке (рис. 8.4) после включения источника постоянного тока (т. е. после размыкания контакта ).

Рис. 8.4

Решение

Искомый ток ищем как сумму принужденного (установившегося) и свободного токов

iL = iLПР + iLСВ = iLПР + Аept.

Из схемы видно, что при установившемся режиме ток

.

Для определения вида свободной составляющей тока составляем выражение характеристического сопротивления относительно ветви с индуктивностью, ветвь с источником тока должна быть разомкнута (рис. 8.4, а)

Рис. 8.4, а

Приравниваем это выражение к нулю: отсюда .

Таким образом, свободный ток ищем в виде iLСВ = .

Следовательно

Постоянную интегрирования находим из начального условия

, рассмотрев выражение

при t = 0+ 0 = J + A.

Отсюда находим , подставляем в и окончательно получим .

Обращаем внимание на то что в решение не вошло, так как оно соединено последовательно с источником тока, сопротивление которого бесконечно велико.

Задача 8.5

В схеме рис. 8.5 определить закон изменения напряжения на ёмкости после коммутации, если E = 100 В, R1 = R2 = 100 Ом, С = 100 мкФ.

Рис. 8.5

Решение

Классический метод

Составляем дифференциальное уравнение для момента после коммутации по второму закону Кирхгофа

.

Представляем решение этого уравнения в виде суммы принужденной и свободной составляющих

uC = uCПР + uССВ = uСПР + Аept . (1)

Определяем принужденную составляющую

uСПР = E = 100 В.

Составляем характеристическое уравнение и определяем его корень

; ;

откуда с-1.

Определяем напряжения на ёмкости до коммутации

В.

Согласно второму закону коммутации

В.

Определяем постоянную интегрирования А, рассмотрев (1) в момент коммутации при t = 0+

50 = 100 + A; откуда А = – 50;

100 – 50e-100t В.

Операторный метод

Операторная схема замещения приведена на рис. 8.5, а, где В.

Рис. 8.5, а

Из схемы рис. 2 выражаем операторный ток

.

Для контура abc составляем уравнение по второму закону Кирхгофа и выражаем UC(p)

;

Определяем корни знаменателя H(p)

; ; c-1.

При наличии двух корней, один из которых равен 0, теорема разложения будет иметь вид:

;

где

;

, ;

;

, ;

В.

Задача 8.6

Классическим методом определить ток через источник, если В; Ом; С = 1000 мкФ =  Ф (рис. 8.6).

Рис. 8.6

Решение

1. Решение для тока находим в виде суммы принужденной и свободной составляющих.

.

2. Определяем принужденную составляющую ,

; где ;

Ом;

;

А;

А.

3. Находим корень характеристического уравнения через входное сопротивление, записанное в операторной форме

;

;

.

4. Используя независимое начальное условие, определим постоянную интегрирования А, рассмотрев решение для тока (п. 1) в момент коммутации.

;

при t = 0 + .

Из схемы рис. 8.6,а в момент коммутации

;

;

Рис. 8.6, а

Окончательное выражение тока будет иметь вид:

А.

Задача 8.7

Для схемы рис. 8.7 рассчитать ток классическим и операторным методами, если Е = 20 В; R1 = R2 = = 20 Ом; L = 0,1 Гн.

Рис. 8.7

Решение

Классический метод.

1. Для схемы после коммутации составим дифференциальное уравнение по второму закону Кирхгофа

; или .

2. Представляем решение этого уравнения в виде суммы принужденной и свободной составляющих

.

3. Определяем принужденную составляющую

А.

4. Составляем характеристическое уравнение и определяем его корень

;

;

;

с-1 .

5. Определяем независимые начальные условия для момента до коммутации при t(0-):

А.

Согласно первому закону коммутации

, т. е. А.

6. Определяем постоянную интегрирования А из рассмотрения решения (п. 2) для i(t) в момент коммутации

;

при t = 0+ ;

откуда А = - 0,5 А;

А.

Операторный метод

Для момента после коммутации составляем операторную схему замещения (рис. 8.7, а), определяем операторный ток I(p) и выражаем его в виде отношения двух многочленов.

Рис. 8.7, а

;

где А.

Определяем корни знаменателя H(p):

;

; с-1 .

Для перехода к оригиналу используем теорему разложения, которая при наличии двух корней (один из которых равен 0), будет иметь вид:

; (1)

где

;

;

;

;

;

.

Подставляем найденные значения G(p), H'(p) в (1)

.

Задача 8.8

Цепь постоянного тока (рис. 8.8) состоит из катушки, индуктивность которой равна Гн, и двух резисторов с сопротивлениями Ом, Ом, приложенное напряжение В. Определить:

Рис. 8.8

Задача 8.9