Прочность стержней (стр. 2 )

Эти формулы справедливы, если Jx > Jу. В случае если Jx < Jу, следует знаки перед квадратным корнем поменять на противоположные.

Угол поворота осей можно также определять по следующим формулам

tg a1 = ,

tg a2 = .

где a1 - угол между осью Х и Х0; a2 - угол между осью Х и У0,

Причем в силу перпендикулярности осей Х0 и У0 должно выполняться равенство tg a1 × tg a2 = -1.

Возможно, также отметить, что главные моменты инерции обладают свойством экстремальности. В этом можно убедиться, продифференцировав выражение для момента инерции относительно повернутых осей по переменной a:

Отсюда следует, что d × Jx1/d × a обращается в ноль, когда Jx1у1 = 0, а это значит, что моменты инерции имеют экстремальные значения относительно главных осей.

Поскольку сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей – величина постоянная, можно заключить, что относительно одной из главных осей, момент инерции имеет максимальное значение, а относительно другой – минимальное.

2.6. Вычисление моментов инерции сложной фигуры

При вычислении моментов инерции сложных сечений последние можно разбить на отдельные простые фигуры, моменты инерции и положение центров тяжести, которых известны.

Из основного свойства интеграла суммы следует, что момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей.

Чтобы определить положение главных центральных осей и величин главных центральных моментов инерции, можно проводить расчет в следующем порядке.

1. Разбиваем фигуру на n простых частей. При этом следует обратить внимание на части с “отрицательной” площадью (отверстия). Проводим через центры тяжести каждой фигуры центральные оси Хi, Уi для каждой части. С помощью справочных таблиц находим площади, и моменты инерции каждой части относительно собственных центральных осей.

2. Определяем положение центра тяжести фигуры. Для этого выбираем вспомогательную систему координат для определения положения центра тяжести всего сечения. В качестве таких осей удобно взять центральные оси одной из частей сечения.

Координаты центра тяжести всей фигуры в выбранной системе координат определяем по формулам

xc = ;

где Sx, Sy – статические моменты фигуры;

F – площадь всей фигуры;

Fi – площадь частей;

n – число частей, на которые разбита фигура;

xi, yi – координаты центров тяжести частей в выбранной системе координат.

Вычислив координаты центра тяжести, следует указать эту точку С (xc, ус) на чертеже фигуры.

3. Определим моменты инерции фигуры относительно произвольных центральных осей. Для этого через точку С проводим систему центральных осей Xc, Yс. Обычно это горизонтальная и вертикальная оси. Поскольку моменты инерции относительно своих центральных осей известны (см. п. 1), то, используя формулы параллельного переноса осей, вычисляем моменты инерции всей фигуры. Предварительно следует определить координаты центров тяжести Сi (ai, bi) каждой части в системе координат Xc, Yс, которые могут быть и положительными и отрицательными величинами. Таким образом, получаем значения

Jxc = ,

Jyc = ,

Jxcyc = ,

где - моменты инерции каждой части относительно осей Xс, Yс.

4. Находим положение главных центральных осей фигуры. Для этого по одной из формул определяем угол a0, на который следует повернуть центральные оси Xс, Yс, чтобы они стали и главными X0, Y0.

Например, tg × 2 a0 = - ,

и наносим этот угол на чертеж.

5. Определим главные центральные моменты инерции всей фигуры.

Для этого можно воспользоваться формулами перехода при повороте осей

Jx0 = Jxc × cos2 a0 + Jyc × sin2 a0 - Jxcyc × sin × 2a0,

Jy0 = Jyc × cos2 a0 + Jxc × sin2 a0 + Jxcyc × sin × 2a0.

3. Понятия о напряжениях

3.1 . Внутренние силы

Внешние силы всегда вызывают деформацию тела, изменить взаимное расположение частиц. При этом между соседними частицами тела (кристаллами, молекулами, атомами) возникают определенные силы взаимодействия, иначе – внутренние силы. Для выявления внутренних можно применить, так называемый метод сечений.

Рассмотрим стержень, нагруженный уравновешенной системой сил, то есть силы удовлетворяют условиям равновесия. Мысленно рассечем его некоторой плоскостью на две части – 1 и 2 (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Мысленно отбросим одну из этих частей, в данном случае правую (2) и рассмотрим левую часть (1). В каждой точке сечения будут действовать силы взаимодействия этих частей (внутренние силы). Как всякую систему сил, их можно привести к одной точке, в результате чего получим главный вектор Q и главный момент`M внутренних сил в этом сечении. Проецируя эти два вектора на оси координат, найдём их составляющие`Q (Qx, Qy, Qz) и `М (Мх, Му, Мz).

Будем рассекать стержень плоскостью перпендикулярной к его оси, то есть поперечным сечением. В качестве координатных выбираем ось Z, совпадающую с осью стержня и направленную по внешней нормали к сечению, а оси Х и У – главные центральные оси поперечного сечения (начало координат совпадает с центром тяжести сечения). Составляющие главного вектора и главного момента называют внутренними силовыми факторами в сечении стержня и для которых приняты следующие названия:

Qx, Qy – поперечные силы;

Qz или чаще N - продольная сила;

Мх, Му – изгибающие моменты;

Мz = Мк – крутящий момент.

Составив шесть уравнений равновесия для любой из частей стержня, можно найти усилия и моменты в сечении стержня.

3.2. Напряжения

Мера внутренних сил для данной точки деформированного тела дается физической величиной, которую называют напряжением. Рассмотрим бесконечно малый элемент площади ∆F некоторого сечения. Равнодействующая внутренних сил, действующих на это элемент - ∆р.

Величина р = lim ∆р/∆F называется полным напряжением в данной точке по рассматриваемому сечению. Проекция этого вектора на нормаль к сечению ` n называется нормальным напряжением s, а проекция на плоскость сечения – касательным напряжением t. Напряжение измеряют в единицах давления – паскалях (Па) или кратных ему (кПа, мПа).

3.2 . Интегральные зависимости между напряжениями внутренними

силовыми факторами

Рассечем стержень поперечным сечением и выделим в окрестностях некоторую точку А (х, у) элементарную площадку dF = dx × dy.

Пусть в каждой точке этой площадки действуют нормальные sz и касательные напряжения tzx, tzy. Равнодействующие силы этих напряжений на площадке dF будут:

dN = sz × dF; dQx = tzx × dF; dQy = tzy × dF.

Интегрируя по площади поперечного сечения, находим

.

Кроме того, элементарные силы dN, dQx, dQy будут создавать моменты относительно координатных осей. Следовательно, моменты в поперечном сечении связаны с напряжениями следующими зависимостями:

Mx = .

Из полученных зависимостей видно, что внутренние силовые факторы являются также интегральными характеристиками напряжений.

3.4. Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами и внешними нагрузками

Подробно рассмотрим эти зависимости для стержня, на который действует внешняя осевая распределенная нагрузка интенсивностью qz = qz(z) (рис. 3.2, а)

N + dN

а) б)

Рис. 3.2

Выделим двумя бесконечно близкими сечениями элемент оси стержня qz

(рис. 3.2, б). Действие отброшенных частей заменим продольными силами

N(z) = N, N(z + dz) = N + d N.

Из условия равновесия этого элемента получим

,

откуда .

Для других видов нагружения аналогично можно получить

.

В последней формуле mz = mz(z) интенсивность внешнего распределенного крутящего момента.

3.5. Выражение для внутренних силовых факторов в поперечных сечениях прямых стержней

Если заданы внешние нагрузки, то можно найти значение внутренних силовых факторов в любом сечении стержня.

Найдем эти выражения для некоторых частных случаев нагружения.

1. Стержень нагружен продольными силами, указанными на рис. 3.3, а.

а) б)

Рис. 3.3

Выражение для продольной силы в сечении Z будет

N(z) = N(о) – [q × (z - a) - q ×(z - b) + P].

Выражение, стоящее в скобках, называют нагрузочной функцией. Постоянная интегрирования N(о) определяется из граничных условий (условий опирания)

(рис. 3.3, б).

Пользуясь этим выражением, можно составить выражение для любых сочетаний, равномерно распределенных и сосредоточенных нагрузок, разбив предварительно стержень на силовые участки.

Пример. Для стержня, показанного на рис. 3.4 записать выражение для функции N(z).

Iуч IIуч IIIуч IVуч Vуч

q1 1q11 q1 1 q1 11

q2

Рис. 3.4

При указанной схеме нагружения стержень следует разбить на 5 силовых участков.

Участок 1: 0 < z < l N(z) = N(0) – q × Z;

Участок 2: l < z < 2 × l; N(z) = N(0) – q1 × z + q1 ×(z - l) – P1;

Участок3: 2× l < z < 3 × l; N(z) = N(0) – q1 × z + q1 ×(z - l) – P1 – P2 – q2 × (z – 2 × l);

Участок4: 3 × l < z < 4 × l; N(z) = N(0) – q1 × z + q1 ×(z - l) – P1 – P2 – q2 ×(z – 2 × l) +

+ q2 ×(z – 3 × l);

Участок 5:

3 × l < z < 4 × l; N(z) = N(0) – q1 × z + q1 × (z - l) – P1 – P2 – q2 × (z – 2 × l) +

+ q2 × (z – 3 × l) – Р3.

Удобнее записывать эти выражения сразу для всего стержня, указывая границы участков.

N(z) = N(0) – q1 × z ú1 + q1 ×(z - l)– P1 ú 2– P2 – q2 ×(z – 2 × l) ú3+

+ q2 ×(z – 3 × l) ú4 – Р3 ú5.

Сосредоточенные нагрузки, приложенные в концевых сечениях, будем относить в граничные условия.

2. Стержень нагружен крутящими моментами mz (рис. 3.5).

 

Рис. 3.5

По аналогии с растяжением получаем выражение для крутящего момента в сечении z:

Mk(z) = Mk(0) – [m × (z - a) - m × (z - b) + L].

Граничные условия для нахождения Mk(0) (рис. 3.6):

Рис. 3.6

Порядок составления функции крутящего момента Mk(z) в случае, если на стержень действуют несколько сосредоточенных и равномерно распределенных момента, тот же что и при растяжении стержня.

3. Стержень нагружен поперечными нагрузками в вертикальной плоскости (рис.3.7).

Рис. 3.7

При таком нагружении в поперечном сечении стержня будут возникать поперечная сила Qy и изгибающий момент Мх. Выражения для этих функций в сечении z после интегрирования соответсвующих дифференциальных зависимостей будут:

Qy(z) = Qy(0) – [q × (z - a) - q × (z - b) + P],

Mx (z) = Mx(0) + Qy(0) × z - .

В эти выражения входят две постоянные интегрирования Qy(0) и Mx (0) и для их нахождения необходимы два статических (силовых) граничных условия.

Рассмотрим возможные условия закрепления концов стержня (рис. 3.8)

Рис. 3.8

4. В случае если стержень оперт так, что шарнирная опора находится не на конце стержня, то следует поступить следующим образом: на опоре следует приложить реактивную силу R и записать ее в нагрузочную функцию как сосредоточенную силу, а для ее определения использовать дополнительное граничное условие, которое появится на свободном конце (рис. 3.9).

Рис. 3.9

5. В случае изгиба стержня в горизонтальной плоскости (рис. 3.10) возникает поперечная сила Qх и изгибающий момент Му дифференцированные зависимости, для которых будут отличаться по знаку от предыдущего случая.

 

Рис. 3.10

Следовательно, выражения для этих функций будут следующими:

Qx(z) = Qx(0) - [q × (z - a) - q × (z - b) + P],

My (z) = My (0) – Qx(0) × z + .

Граничные условия будут аналогичными предыдущему случаю.

4. Напряженное состояние в стержнях

4.1. Напряженное состояние в точке тела

Чтобы исследовать напряженное состояние в некоторой точке А деформи-рованного тела, в её окрестностях выделим тремя координатными плоскостями бесконечно малый параллелепипед (рис. 4.1). Начало этой системы координат поместим в точке А. Полные напряжения на каждой грани разложим на нормальные и касательные. На невидимых гранях будут действовать такие же напряжения, но противоположного направления. Касательные напряжения подчиняются принципу парности касательных напряжений: tху = tух; tуz = tzу; tzх = tхz.

σу

Y

τzy

dy

dx

Z

dz

О

σz

τzx

σх

X

Рис. 4.1

Через любую точку тела можно провести три таких взаимно перпендикулярных сечения, на которых касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках – главными напряжениями. Главные напряжения условились обозначать s1, s2, s3; при этом индексы следует расставлять так, чтобы выполнялось условие s1 ³ s2 ³ s3.