Прочность стержней (стр. 7 )

Myc My0

Mxc

Xc

C a°

Mx0

X0

Рис. 7.15

В используемой формуле необходимы моменты относительно главных центральных осей. Найдем требуемые моменты как сумму проекций Мхс, Мус на главные центральные оси сечения

Mx0 = Mxc × cos a0 – Myc× sin a0 = 6,3 × 0,947 – 7,2 × 0,323 = 3,64 кНм,

My0 = Myc× cos a0 + Mxc × sin a0 = 7,2 × 0,323 + 6,3 × 0,947 = 8,29 кНм.

Следует иметь ввиду, что в данном случае формулы преобразования получены для отрицательного угла a0.

Таким образом, для принятых обозначений осей в решении задачи формулу можно переписать в виде

sz = y - x.

Нормальные наибольшие напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Уравнение нулевой линии в системе главных центральных осей

y0 = ×x0,

где x0, y0 – координаты точек, лежащих на нулевой линии.

y0 = 8,29/3,64 × 1222/287 × x0 = 9,7 x0.

Согласно полученному уравнению, проводим нулевую линию и находим точки, наиболее удаленные от нее. Это точка А с координатами xА = -8,7 см, yА = 2,9 см.

Нормальные напряжения в этой точке

sz(A) = [3,64/1222 × 2,9 – 8,29/287 × (-8,7)] × 106 = 259 МПа > [s].

Условие прочности для стержня не выполняется.

Пример 6. Стержень круглого поперечного сечения нагружен горизонтальными и вертикальными нагрузками и крутящим моментом (рис. 7.16).

Определить диаметр поперечного сечения из расчета на прочность. Исходные данные: Р1 = 6 кН, Р2 = 10 кН, q = 4 кН/м, L = 5 кН×м, l = 1 м, [s] = 160 МПа.

P1

y

P2

L

y

x

z

L

q

x

 

Рис. 7.16

Построение эпюр начнем с рассмотрения сил, действующих в вертикальной плоскости

Qy(z) = Qy(0)|1 + P2|2 ,

Mx(z) = Mx(0) + Qy(0) × z|1 + P2 × (z – l)|2.

Граничные условия Qy(0) = -P1, Mx(0) = 0.

Окончательно получаем

Qy(z) = -6|1 + 10|2 , Mx(z) = - 6 × z|1 + 10 × (z – 1)|2.

Под действием сил, действующих в горизонтальной плоскости:

Qx(z) = Qx(0) + q × z|1 – q × (z – 1,5l)|2,

My(z) = My(0) - Qx(0) × z - q × z2/2|1 + q × (z – 1,5l)2/2|2 .

Соответствующие граничные условия:

Qx(0) = 0, My(0) = 0.

Окончательно получаем

Qx(z) = 4 × z|1 – 4 × (z – 1,5)|2 ,

My(z) = - 4 × z2/2|1 + 4 × (z – 1,5)2/2|2 .

Уравнение крутящих моментов:

Mк(z) = L|1,2 = 5 кНм.

Вычисляя значение функций на границах участков, строим их эпюры внутренних сил (рис. 7.17 )

y

 

x

z

L

 

6

Qy(z), кН

 

6

Mx(z), кНм

 

0

Qx(z), кН

2

4

My(z), кНм

5

Mk(z), кНм

 

Рис. 7.17

Для того чтобы произвести расчет на прочность, выберем опасное сечение стержня. Поскольку крутящий момент не меняется по длине стержня, то положение опасного сечения определяется величиной

Мизг = .

Сечение А:

Мх = 6 кНм, Му = 2 кНм, Мизг = = 6,3 кНм.

Сечение В:

Мх = 4 кНм, Му = 4 кНм, Мизг = = 5,7 кНм.

Опасным будет сечение В.

Поскольку в опасной точке стержня будет двухосное напряженное состояние, то условие прочности запишем в виде

sэкв £ [s].

По теории наибольших касательных напряжений

sэкв = s1 - s3.

В опасной точке поперечного сечения

sz max = = ,

t = = .

Главные напряжения в этой точке

s1 = , s3 = ,

s2 = 0.

Тогда

sэкв = = £ [s].

Откуда

d ³ = = 0,0795 м = 79,5 мм.

Из нормального ряда диаметров выбираем D=80 мм.

Заключение

Для ознакомления с методикой расчета на прочность студентам, изучающим курсы «Сопротивление материалов» и «Прикладная механика» предлагается выполнить расчетно-графическую работу «Расчет прямых стержней на прочность». Условия для выполнения этой работы можно взять в методических указаниях [4]. Предлагаемое учебное пособие поможет студентам при выполнении указанной работы и освоить решение задач по темам: «Геометрические характеристики поперечных сечений», «Исследование напряженного состояния», «Определение напряжений в стержнях», «Расчеты на прочность».

Библиографический список

1. Белый и деформации в твердых телах. – Омск: ОмПИ, 1982.–84 с.

2. Белый и деформации в стержнях и стержневых системах. – Омск: ОмПИ, 1986. – 102 с.

3. . Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1998. – С. 512.

4. , Габриель прямых стержней на прочность. – Омск: ОмГТУ, 2005. – 44 с.

Содержание

Введение …………………………………………………………………………… 3

1. Основные принципы и гипотезы теории стержней …………………… .. 4

2. Геометрические характеристики плоских фигур ……………………… .. 6

2.1 Основные понятия ………………………………………………………….. 6

2.2 Общие теоремы о моментах ………………………………………………. 7

2.3 Преобразование статических моментов и моментов инерции при

параллельном переносе осей ………………………………………………… 8

2.4 Преобразование моментов инерции при повороте осей …………………... 10

2.5 Главные оси и главные моменты инерции ………………………………… 11

2.6 Вычисление моментов инерции сложной фигуры ………………………... 13

3. Понятия о напряжениях. Внутренние силы ………………………………. 14

3.1 Внутренние силы ……………………………………………………………. 14

3.2 Напряжения ………………………………………………………………… 15

3.3 Интегральные зависимости между напряжениями внутренними

силовыми факторами ………………………………………………………... 15

3.4 Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми

факторами и внешними нагрузками ………………………………………. 16

3.5 Выражение для внутренних силовых факторов в поперечных сечениях

прямых стержней …………………………………………………………... 17

4. Напряженное состояние в стержнях ……………………………………... 20

4.1 Напряженное состояние в точке тела …………………………………….. 20

4.2 Двухосное напряженное состояние ……………………………………… 22

4.3 Одноосное напряженное состояние ………………………………………. 22

4.4 Обобщенный закон Гука …………………………………………………… 23

5. Напряжения в поперечных сечениях стержня ……………………………. 23

5.1 Нормальные напряжения в стержнях ……………………………………... 23

5.2 Растяжение (сжатие) ………………………………………………………… 24

5.3 Прямой изгиб ………………………………………………………………. 24

5.4 Косой изгиб ………………………………………………………………… 25

5.5 Растяжение с изгибом ……………………………………………………… 25

5.6 Касательные напряжения при поперечном изгибе стержня …………… 26

5.7 Касательные напряжения при кручении стержня ……………………… 27

6. Расчет стержней на прочность …………………………………………… 28

6.1 Основные механические характеристики материалов. Допускаемые

напряжения ………………………………………………………………... 28

6.2 Расчет на прочность при одноосном напряженном состоянии ……….. 28

6.3 Расчет на прочность при сложном напряженном состоянии …………… 29

6.4 Расчет валов на прочность ………………………………………………... 30

7. Примеры решения задач ………………………………………………… 32

Заключение ……………………………………………………………………… 52

Библиографический список ……………………………………………………… 54

Редактор

ИД № 000 от 01.01.2001

Свод. темплан 2005 г.

Подписано к печати. Бумага офсетная. Формат 60х84 1/16.

Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. 3,75. Уч. – изд. л. 3,75.

Тираж 150. Заказ.

___________________________________________________________________

Издательство ОмГТУ. г. Омск, пр-т Мира, 11

Типография ОмГТУ