Прочность стержней (стр. 4 )

sz = Мизг/Wх.

Касательные напряжения во всех точках контура будут равны tmax = Мк/ Wr . Для круга осевой момент сопротивления – Wх = 0,1d3, полярный момент сопротивления Wr = 0,2 d3 = 2Wх.

Воспользовавшись теорией наибольших касательных напряжений, получаем

sэкв = .

Выражение, стоящее в числителе, иногда обозначают как расчетный или приведенный момент

Мрасч = .

По энергетической теории выражение для расчетного момента соответственно будет

Мрасч = .

Теперь условия прочности для вала можно заменить одной простой формулой

.

Решая неравенство, получаем формулу для определения диаметра круглого вала:

.

Приведенная формула полностью применяема и к стержням кольцевого сечения, а также можно использовать и для частных случаев нагружения стержня, когда один или два из моментов равны нулю.

Если наружный диаметр такого сечения D, а внутренний d, то осевой момент сопротивления:

Wx =

7. Примеры решения задач

Рассмотрим несколько примеров решения задач по определению напряжений в стержнях и расчетов на прочность.

Пример 1. По заданным схеме нагружения и форме поперечного сечения

(рис. 7.1) подобрать размер d из расчета на прочность. Внешние нагрузки прило-жены вдоль оси стержня z, проходящей через центр тяжести сечения.

Исходные данные: q1 = 50 кН/м; q2 = -30 кН/м; Р = 20 кН; l1 = 2 м; l2 = 1 м;

[s] = 100 ×106 Н/м2 = 100 МПа.

y

y

x q1 q2

Р c

2d

d

z x l1 l2

Рис. 7.1

Так как материал стержня работает только на растяжение-сжатие, то в точках стержня имеет место одноосное напряженное состояние, и условие прочности можно записать в виде

szmax £ [s] или szmax = Nmax/F £ [s].

Площадь поперечного сечения стержня F = 3pd2/4.

Следовательно,

szmax = 4Nmax/ 3pd2 £ [s],

откуда

d ³ .

Для нахождения наибольшего значения продольной силы Nmax, запишем выражение для этой функции

N(z) = N(0) - q1z |1 + q1(z-l1) - q2(z-l1) |2.

Для заданных условий закрепления на правом конце стержня граничное условие имеет вид N(l1 + l2) = Р,

откуда N(0) - q1(l1 + l2) + q1l2 - q2l2 = Р,

N(0) = 50×2-30×1 + 20 = 90 кН.

Окончательно получаем

N(z) =×z |1 + 50×(z - 2) + 30×(z - 2) |2.

Вычисляем значение продольной силы на границах участков

N(0) = 90 кН, N(l1) = -10 кН,

N(l1) = -10 кН, N(l1 + l2) = 20 кН.

По полученным значениям строим эпюру N (рис. 7.2), из которой видно, что Nmax = 90 кН. Подставляя в формулу, получаем

D ³ .

Из нормального ряда диаметров принимаем размер d = 20 мм.

y q1 q2

P z

 

20

N(z), кН

 

Рис. 7.2

Пример 2. По заданной схеме нагружения (рис. 7.3) для стального стержня необходимо:

1. Подобрать диаметр d круглого поперечного сечения из расчета на прочность по теории наибольших касательных напряжений.

2. Вычислить главные линейные деформации в опасной точке стержня.

Исходные данные: L = 4 кН×м; m = 8 кН×м/м; l = 1 м; [s] = 160 МПа.

m

у

I

х y

z x

 

Рис. 7.3

При кручении в стержнях возникает двухосное напряженное состояние – чистый сдвиг. При этом наибольшие касательные напряжения возникают в точках поперечного сечения, лежащих на контуре:

tmax = Mк/Wr.

Условие прочности при сложном напряженном состоянии имеет вид

sэкв £ [s].

По теории наибольших касательных напряжений

sэкв = s1 - s3.

При чистом сдвиге s1 = t, s2 = 0, s3 = -t.

Следовательно

sэкв = s1 - s3 = 2tmax = 2 Mк/Wr.

Для стержня круглого поперечного сечения полярный момент сопротивления

Wr = 0,2d3.

Условие прочности примет вид

sэкв = Mк/0,1d3 £ [s].

Откуда d ³ .

Для определения наибольшего значения крутящего момента необходимо построить график этой функции.

1. Уравнение крутящего момента

Мк(z) = Мк(0)|1 - m(z-l)|2.

На левом конце стержня Мк(0) = L,

тогда

Мк(z) = 4|1 – 8(z – 1)|2 .

Вычисляем значения крутящего момента на границах участка

Мк(0) = 4 кН×м, Мк(l) = 4 кН×м, Мк(2,5l) = -8 кН×м

и строим эпюру Мк(z).

L

m

y

x

z

 

Mk(z), кН×м

8

 

Рис. 7.4

Из графика следует, что максимальное значение крутящего момента равно

Мкmax = 8 кН×м.

Подставляя численные значения, находим

d ³ .

Принимаем диаметр стержня d = 80 мм.

2. Вычисляем наибольшие касательные напряжения в опасном сечении

tmax = Mкmaх/0,2d3 = 8×103/0,2 × (80×10-3)3 = 78×106 Н/м2 = 78 МПа.

Главные напряжения в опасных точках этого сечения s1 = 78 МПа; s2 = 0 МПа; s3 = - 78 МПа.

Главные линейные деформации для упругого тела определяем по формулам обобщенного закона Гука, приняв для стали модуль Юнга Е = 2×105 МПа, коэффициент Пуассона m = 0,3:

e1 = [s1 - m(s2 + s3)]/Е = (78 + 0,3×78)/2×105 = 50,7×10-5,

e2 = [s2 - m(s3 + s1)]/Е = 0,

e3 = [s3 - m(s2 + s1)]/Е = -50,7×105.

Следовательно, и деформированное состояние при кручении будет двухосное.

Пример 3. По заданной схеме нагружения (рис. 7.5) для стержня подобрать двутавровое поперечное сечение из расчета на прочность. Для выбранного стержня построить эпюры нормальных и касательных напряжений и проверить прочность стержня в опасных точках по третьей теории прочности.

Исходные данные: Р = 72 кН, L = 16 кН×м, l = 0,5 м, [s] = 160 МПа.

Р

y x y