Прочность стержней (стр. 5 )

z

l

l

x

 

Рис. 7.5

Составим уравнение изгибающих моментов Мх и поперечных сил Qy

Qy(z) = Qy(0)|1 + P|2 ,

Мх(z) = Мх(0) + QУ(0)z|1 + P(z-l)|2.

Определим постоянные интегрирования Qy(0) и Мх(0). Для заданных условий закрепления концов стержня граничные условия запишутся в следующем виде

Мх(0) = 0, Мх(2l) = L.

Из второго условия имеем

QУ(0)×2l + Pl = L.

Откуда

QУ(0) = L/2l - P/2 = 16/2×0,5 - 72/2 = -20 кН.

Окончательно получаем

QУ(z) = -20|1 + 72|2 ,

Мх(z) = -20×z|1 + 72(z - 0,5)|2 .

Вычисляем значения поперечных сил и изгибающих моментов на границах участков:

1) 0 < z < l, Qy = -20 кН; Мх(0) = 0; Мх(l) = -10 кНм.

2) l < z < 2l, Qy = -20 + 72 = 52 кН; Мх(l) = -10 кНм; Мх(2l) = 19 кНм.

По полученным значениям строим эпюры Мх и Qy (рис. 7.6).

Опасным сечением будет сечение на правой опоре, где

Мх = 16 кН×м = 16×103 Н×м и Qy = 52 кН = 52×103 Н.

Условие прочности при изгибе запишем в виде

sz max = Mx/Wх £ [s].

Откуда определяется значение осевого момента сопротивления сечения

Wх ³ Mx /[s] = 16×103/160 × 106 = 1 × 10-4 м3 = 100 см3.

Р

y

x

z

 

-20

Qy(z), кН

Mx(z), кНм

 

Рис. 7.6

По таблицам «Сортамент прокатной стали» выбираем двутавр, имеющий больший ближайший осевой момент сопротивления. Таковым является двутавр

№ 16, имеющий Wх = 109 см3 = 109 ×10-6 м3 и осевой момент инерции Jх = 873 см4 =

= 873 × 10-8 м4.

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений по высоте опасного поперечного сечения. Для этого вычислим величины sz и tzy в следующих трех точках сечения:

Точка 1- крайние точки у = ±h/2.

В этих точках нормальные напряжения достигают наибольшей величины и равны

sz(1) = Mx/Wх= 16 ×103/109 ×10-6 = 0,147 ×109 Н/м2 = 147 МПа.

Касательные напряжения в этих точках равны нулю tzy(1) = 0.

Следовательно, в данной точке имеет место одноосное напряженное состояние, и условие прочности в этой точке выполняется.

sz(1) = 147 МПа < [s].

Точка 2 – верхняя точка стенки двутавра (рис.7.7 ) с ординатой

у = ±(h/2 - t).

 

Рис.7.7

Из таблицы сортаментов выписываем значения размеров двутавра № 16:

h = 160 мм, b = 81 мм, d = 5 мм, t = 7,8 мм.

Нормальное напряжение в этой точке будет:

sz(2) = Mx(h/2 - t)/Jx = 16 ×103 × (80 – 7,8) × 10-3/873 ×10-8 = 132 ×106 Н/м2 = 132 МПа.

В этой же точке будут возникать касательные напряжения, которые при поперечном изгибе можно определить по формуле Журавского:

tzy = Qy × Sx*/Jx × b(y).

Отсеченной будет одна из частей сечения, если через точку 2 проведем линию, параллельную оси Х. В данном случае удобней взять верхнюю часть, то есть полку двутавра F1. Рассматривая ее как прямоугольник, найдем статический момент отсеченной части

Sx* = F1 × y1 = b × t × (h/2 - t/2) = 8,1 × 0,78 × (8 - 0,39) = 48,1 cм3 = 41,8 × 10-6 м3.

Ширину сечения в точке 2, не учитывая закругления, примем

b(y) = d = 0,5 см = 0,5 ×10-2 м.

Тогда

tzy(2) = 52 ×103 × 48,1× 10-6/873 × 10-8 × 0,5 × 10-2 = 5,7 × 107 Н/м2 = 57 МПа.

Точка 3 – лежит на оси Х.

В этой точке нормальные напряжения равны 0. Отсеченной будет половина поперечного сечения, статический момент ее найдем как сумму статических моментов двух прямоугольников

Sx* = F1 × y1 + F2 × y2 = b × t × (h/2 - t/2) + (h/2 - t) × d × (h/2 - t)/2 =

= 8,1 × 0,7,39) +,78) × 0,,78)/2 = 61 cм3 = 61×10-6 м3.

Ширина сечения

b(y) = d = 0,5 см = 0,5 × 10-2 м.

Касательные напряжения в точке 3

tzy(3) = 52 × 103 × 61 ×10-6/873 ×10-8 × 0,5 × 10-2 = 7,2 × 107 Н/м2 = 72 МПа.

По найденным значениям sz и tzy строим их эпюры (рис. 7.8)

y sz(y) tzy(y)

 

Рис. 7.8

Проверяем условия прочности в этих точках.

Точка 1. sz = 147 МПа и tzy = 0 МПа.

В рассматриваемой точке будет одноосное напряженное состояние, и условие прочности можно записать в виде

sz £ [s].

В данном случае sz = 147 МПа < [s], следовательно, условие прочности в точке 1 выполняется.

Точка 2. sz = 132 МПа и tzy = 57 МПа.

В данной точке будет иметь место двухосное напряженное состояние s2 = 0 и

s1,3 = (sz ± = (132 ± ,

s1 = 153 МПа, s3 = -11 МПа.

Условие прочности для сложного напряженного состояния sэкв £ [s].

По теории наибольших касательных напряжений

sэкв = s1 - s3 = 153 + 11 = 164 МПа.

Эквивалентное напряжение в точке получилось несколько выше допускаемого напряжения, но перегрузка составляет [(/160]% = 2,5 %, что лежит в допускаемых пределах.

Точка 3. sz = 0, tzy = 72 МПа.

Такой вид напряженного состояния называется чистым сдвигом. Главные напряжения в точке 3 будут равны

s1 = tzy = 72 МПа; s2 = 0; s3 = -tzy = -72 МПа.

Эквивалентное напряжение будет

sэкв = s1 - s3 = 72 + 72 = 144 МПа.

Здесь эквивалентное напряжение оказалось ниже допускаемого, что приводит к автоматическому выполнению условия прочности.

Можно сделать заключение, что условие прочности во всех точках опасного сечения выполняется.

Пример 4. Стержень АВ, нагруженный равномерно распределенной поперечной нагрузкой q, имеет на правом конце кронштейн ВС, в верхней точке которого приложена горизонтальная сила Р (рис. 7.9).

Найти наибольшие напряжения в стержне АВ, если Р = 80 кН, q = 50 кН/м,

l = 0,2 м, r = 1 см.

Проверить прочность стержня, приняв допускаемое напряжение [s] = 200 МПа.

Р

 

C

y x q

 

4l

z

 

Рис. 7.9

Приведем силу Р к оси стержня АВ и построим эпюры внутренних сил. При параллельном переносе силы Р из точки С в точку В она приведется к продольной силе Р и паре сил L = Pl/4 = 4 кН×м.

Уравнения внутренних сил при этом будут иметь вид

N(z) = N(0); Qy(z) = Qy(0) + q×z; Mx(z) = Mx(0) + Qy(0)×z + q×z2/2.

Граничные условия: N(0) = 0; Mx(0) = 0; Mx(4l) = L.

Реализовав последнее условие Qy(0) × 4l + q × (4l)2/2 = L, находим Qy(0) = - 15 кН.

Окончательно получаем уравнения внутренних сил в виде

N(z) = 80 кН; Qy(z) = - 15 + 50 × z (кН); Mx(z) = - 15×z + 50 × z2/2 (кН×м).

Эпюры внутренних сил приведены на рис. 7.10.

y x q L

Р

 

z

 

4l

 

N(z), кН

 

17 Qy(z), кН 25

z*

 

- 15

4

Мх (z), кН×м

0

 

2,25 Рис. 7.10

Локальный экстремум функции Мх (z*) = 2,25 кН×м соответствует координате

z* = 0,3 м, определенной приравниванием нулю функции Qy(z) = - 15 + 50 × z .

Таким образом, для стержня АВ вид нагружения будет – растяжение с изгибом. Нормальные напряжения в точках поперечного сечения можно найти по формуле