Прочность стержней (стр. 3 )

При любом напряженном состоянии наибольшие касательные напряжения будут равны

,

и действуют они в площадках равнонаклоненных к первой и третьей главным площадкам.

Когда все три главных напряжения отличны от нуля, в точке имеет место трехосное (объемное) напряженное состояние. Напряженное состояние, в котором два главных напряжения отличны от нуля, а третье равно нулю, называется двухосным (плоским) напряженным состоянием. Если только одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю, называется одноосным (линейным) напряженным состоянием.

В общем случае напряженного состояния главные напряжения являются корнями следующего характеристического уравнения

s3 + J1 ×s2 + J2 ×s - J3 = 0,

где коэффициенты уравнения J1 = sx + sy + sz,

J2 = sx × sy + sy × sz + sz × sx - tху2 - tух2 - tzх2,

J3 = sx × sy × sz - sx × t уz2 - sy × tzх2 - sz × tху2 + 2 × tху × tуz × tzх

являются первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений.

4.2. Двухосное напряженное состояние

При расчетах стержней наиболее часто приходится иметь дело с двухосным (плоским) напряженным состоянием. Поэтому рассмотрим этот случай более подробно.

При двухосном напряженном состоянии J3 = 0 и характеристическое уравнение принимает вид

s × (s2 - J1 × s + J2) = 0.

Откуда видно, что одно главное напряжение равно нулю, в стержнях это s2, а два других найдем по формуле

s1,3 = 0,5 × .

Поскольку в стержнях sХ = sу = 0, то J1 = sz, а J2 = - t2. Таким образом, получаем

s1,3 = 0,5 × .

Положение второй главной площадки всегда известно. Это одно из продольных сечений стержня. Две других главных площадки будут перпендикулярны ей, а углы между нормалями к этим площадкам и осью Х или У определятся по формулам

tg a 1 = s1/tzх; tg a2 = s3/tzх.

4.3. Одноосное напряженное состояние

При растяжении стержня, а также в крайних точках сечения стержня при изгибе имеет место одноосное напряженное состояние. В этих точках сечении стержня возникают, только нормальные напряжения и в зависимости от знака это будет соответственно:

s1 = + s z, s2 = 0, s3 = 0,

или s1 = 0, s2 = 0, s3 = - sz.

Таким образом, положение главных площадок заранее известно: это поперечное сечение и два продольных сечения. В сечениях же наклонных к указанным будут возникать и нормальные и касательные напряжения. Если обозначить угол между осью стержня (осью z) и нормалью к наклонному стержню через a, то выражения для нормальных и касательных напряжений в этом сечении будут

sa = sz × cos2 a, ta = .

При повороте площадки на угол p/4 касательные напряжения достигают наибольшего значения tmax = sz/2. Нормальные напряжения в этой площадке

sa = sz/2.

4.4. Обобщенный закон Гука

На основании принятой гипотезы об идеальной линейной упругости материала стержня деформации в точке стержня пропорциональны напряжениям. А если учесть и гипотезу об изотропности материала, то получим следующие соотношения, которые связывают напряжения и упругие деформации при сложном напряженном состоянии:

;

;

,

где eх, eу, ez – линейные деформации в направлении координатных осей;

gху, gyz, gzx – угловые деформации или угол сдвига в точке;

Е – модуль упругости первого ряда или модуль Юнга. Для стали можно принимать Е = 2 × 1011 Па;

G – модуль сдвига, для стали – G = 8 × 1010 Па;

m – коэффициент поперечной деформации или коэффициент Пуассона. Для металлов можно брать m = 0,3.

Эти формулы выражают обобщенный закон Гука.

Коэффициент Пуассона численно равен отношению поперечной деформации к продольной. Для стержней:

.

Так как в стержнях sх = sу = 0, то формулы закона Гука примут вид

eх = ey = - m × sz /E; ez = sz /E.

5. Напряжения в поперечных сечениях стержня

5.1. Нормальные напряжения в стержнях

В зависимости от вида внешних нагрузок в поперечных сечениях стержня могут возникать и нормальные, и касательные напряжения.

Если в поперечном сечении стержня продольная сила N и изгибающие моменты Мх и Му не равны нулю, то на основании интегральных зависимостей (гл. 2) в точках этого поперечного сечения возникают нормальные напряжения. В поперечных сечениях прямых стержней эти напряжения можно вычислять по следующей формуле

,

где F – площадь поперечного сечения, х, у – координаты точки, в которой определяется напряжение, относительно главных центральных осей.

Эта формула выведена относительно главных центральных осей поперечного сечения. Поэтому величины, стоящие в знаменателе, Jx и Jy есть главные центральные моменты инерции поперечного сечения. Порядок вычисления этих характеристик описан в главе 1.

Из формулы видно, что напряжения есть функция двух координат, следовательно, эпюра функции напряжений будет представлять собой некоторую плоскость, наклоненную к плоскости поперечного сечения и пересекающую его по некоторой линии. Нормальные напряжения в точках этой линии будут равны нулю, и она называется нулевой линией.

Очевидно, что наибольшие напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нулевой линии.

Уравнение нулевой линии относительно главных центральных осей:

.

С одной стороны от нулевой линии волокна стержня будут растянуты, а с другой – сжаты, то есть напряжения будут иметь разный знак.

В частных случаях нагружения в поперечном сечении стержня могут возникать не все внутренние силовые факторы.

5.2. Растяжение (сжатие)

Это такой вид нагружения, когда в поперечном сечении действует только продольная сила N ≠ O, остальные внутренние силы равны нулю. В этом случае нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения будут одинаковы, и определяются по формуле sz = N/F.

Это самый рациональный способ нагружения стержня. Все точки поперечного сечения – равноопасны и в них имеет место одноосное напряженное состояние. При растяжении N > 0, sz > 0, тогда s1 = sz, s2 = 0, s3 = 0. При сжатии N < 0, sz < 0, тогда s3 = sz, s1 = s2 = 0.

5.3. Прямой изгиб

В этом случае нагружения только один из изгибающих моментов равен нулю. Пусть это будет Мх ≠ O, тогда формула для определения нормальных напряжений будет

sz = .

В этом случае нулевая линия будет совпадать с осью Х ( при у = 0; sz = 0).

Наибольшее напряжения будут возникать в точках наиболее удаленных от оси Х, когда у = уmax

szmax = .

Отношение Jx/ymax есть величина постоянная для данного сечения. Её обозначают Wх и называют осевой момент сопротивления.

Также как и для геометрических характеристик плоских фигур, так и для осевых моментов сопротивления, формулы можно найти в справочниках. Моменты сопротивления прокатных профилей проведены в таблицах ГОСТ.

Следовательно, нормальные наибольшие напряжения в поперечных сечениях стержня при прямом изгибе можно вычислить по формуле

sz = Мх/Wх.

5.4. Косой изгиб

Косым изгибом называется такой вид нагружения, когда оба изгибающих момента отличны от нуля Мх ¹ 0; Му ¹ 0, а продольная сила N = 0.

Нормальные напряжения при косом изгибе:

sz = .

Уравнение нулевой линии:

y = .

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат. Тангенс угла наклона этой прямой к оси Х:

tga = .

Опасными точками будут являться точки, наиболее удаленные от нулевой линии.

5.5. Растяжение с изгибом

В этом случае продольная сила и один изгибающий момент отличны от нуля

Мх ¹ 0, N ¹ 0. Формула для определения нормальных напряжений примет вид

Уравнение нулевой линии:

.

Это прямая параллельная оси Х, лежащая выше или ниже оси на расстоянии

ay = N × Jx/Mx × F.

Опасными также будут точки, наиболее удаленные от нулевой линии.

5.6. Касательные напряжения при поперечном изгибе стержня

Если в поперечном сечении стержня изгибающий момент и поперечная сила не равны нулю Mx ¹ 0, Qy ¹ 0, то такой вид нагружения называется поперечным изгибом. Из интегральных зависимостей:

следует, что в точках поперечного сечения будут возникать нормальные и касательные напряжения. На основании принятой гипотезы плоских сечений нормальные напряжения следует определять по формуле

sz = ,

а касательные напряжения определяют по формуле Журавского:

,

где Qy – поперечная сила в рассматриваемом сечении;

Jx – главный центральный момент инерции сечения;

b(y) – ширина поперечного сечения в том месте, где определяют касательное напряжение;

– статический момент отсеченной части поперечного сечения.

За отсеченную часть принимают часть поперечного сечения, лежащая ниже или выше линии параллельной оси Х и проходящей через точку, в которой находят касательное напряжение.

y1

y2

На рисунке 5.1 показано произвольное сечение с главными, центральными осями ХУ. Для того, чтобы определить касательное напряжение tzy в точке А, проводим через эту точку прямую параллельную оси Х. Длина этой линии и будет шириной b(y). Сечение оказывается рассеченным на две части F1 и F2 с центрами тяжести С1 и С2.

За отсеченную часть можно принять лю -

бую из этих частей, так как

Рис. 5.1

Рис. 5.1

= F1× у1 = F2 × у2.

При расчетах за отсеченную обычно выбирают ту часть, для которой проще вычислить статический момент.

Если ширина сечения постоянна (прямоугольное сечение), то наибольшее касательное напряжение возникает в точках на оси Х. Если же ширина сечения меняется по высоте, то в этом случае касательные напряжения достигают наибольшей величины, там, где ширина сечения наименьшая. В крайних верхних и нижних точках, а также в угловых точках, касательные напряжения равны нулю.

Если сечение составлено из прокатных профилей, то при вычислении статического момента следует считать, что каждая часть профиля представляет собой прямоугольник, то есть не учитывать закругления.

5.7. Касательные напряжения при кручении стержня

Рассматриваем только кручение стержней круглого и кольцевого поперечного сечения.

Полное касательное напряжение t всегда будет направлено перпендикулярно радиусу вектора r точки, в которой определяется напряжение.

Касательные напряжения в произвольной точке

,

где - полярный момент поперечного сечения.

Для круга = p × d4/32 = 0,1× d4.

В точках, лежащих на контуре, напряжения достигают наибольшего значения:

,

где = Jr/rmax – полярный момент сопротивления.

Для круга = p × d3/16 = 0,2× d3.

Поскольку нормальные напряжения в точках поперечного сечения отсутствуют, то в них имеет место s напряженное состояние чистого сдвига, при котором s1 = t; s2 = 0; s3 = -t.

6. Расчет стержней на прочность

6.1. Основные механические характеристики материалов.

Допускаемые напряжения

Для определения характеристик прочности материала проводят испытание образцов на растяжение. При этом в рабочей части образца будет одноосное напряженное состояние. В процессе испытания определяют следующие механические характеристики материала: предел пропорциональности sп, предел упругости sу, предел текучести sт, и временное сопротивление разрыву или предел прочности sв. Для деталей, изготовленных из пластичных материалов, опасным считают предел текучести sт, а для деталей из хрупких материалов – предел прочности sв. Эти напряжения будем считать предельными slim. Для расчетов на прочность их следует уменьшить настолько, чтобы в эксплуатационных условиях действующие напряжения всегда были меньше предела упругости.

Таким образом, получают допускаемое напряжение

[s] = slim/n,

где slim – предельное напряжение (sт или sв);

n – коэффициент запаса прочности, показывающий во сколько раз допускаемое напряжение меньше опасного.

В зависимости от материала и условий эксплуатации коэффициент запаса прочности может измениться в пределах 1,5 ¸ 3,0.

6.2. Расчет на прочность при одноосном напряженном состоянии

Если в опасной точке стержня, независимо от вида нагружения, имеет место одноосное напряженное состояние, то, очевидно, что материал в этой точке будет вести себя также как в растягиваемом образце. Следовательно, опасными напряже-ниями будут: предел текучести sт – при пластическом состоянии материала или предел прочности sв – при хрупком состоянии материала:

slim = sт,

или slim = sв.

По опасным напряжениям устанавливают допускаемые напряжения [s], обеспечивая известный коэффициент запаса против наступления предельного состояния. Таким образом, условия прочности для одноосного напряженного состояния примет вид

s1 £ [s] или ½s3½£ [s] . (6.1)

Поскольку речь идет о расчете стержней, то в зависимости от знака максимального напряжения главные напряжения будет равны s1 = szmax или s3 =

= szmax и, следовательно, условие прочности (6.1) примет вид

½s zmax ½ £ [s].

При растяжении szmax = .

При изгибе szmax = Мхmax/£ [s].

При расчетах на прочность стержней приходится решать следующие задачи:

1. Заданы внешние нагрузки, схема нагружения, форма поперечного сечения, размеры поперечного сечения. Требуется определить размеры поперечного сечения.

2. Заданы размеры и форма поперечного сечения стержня, схема нагружения. Требуется подобрать допускаемую нагрузку.

3. Заданы нагрузки и все размеры стержня. Известно допускаемое напряжение для материала стержня. В этом случае необходимо произвести проверочный расчет, то есть выполняется или нет условие прочности для стержня при заданных условиях.

6.3. Расчет на прочность при сложном напряженном состоянии

Пусть в некоторой точке стержня два или все три напряжения s1, s2, s3, не равны нулю. В этом случае, как показывают опыты, для одного и того же материала опасное состояние может наступить при различных предельных значениях главных напряжениях в зависимости от соотношения между ними. Поэтому экспери-ментально установить величины главных напряжений очень сложно.

Другой путь решения задачи заключается в установлении критерия прочности. Для этого вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора: полагают, что нарушение прочности материала при любом напряженном состоянии наступит только тогда, когда величина выбранного фактора достигнет некоторого предельного значения. Таким образом, введение критерия прочности позволяет составить данное сложное напряженное состояние с одноосным напряженным состоянием, равноопасным заданному.

Единственное главное напряжение одноосного напряженного состояния в этом случае называют эквивалентным sэкв или расчетным sрасч.

Таким образом, расчет на прочность сложного напряженного состояния заменяем расчетом на прочность равноопасного ему одноосного напряженного состояния, условия прочности для которого уже известно. Следовательно, условие прочности для сложного напряженного состояния можно записать в виде sэкв. £ [s] .

Выбранная указанным образом гипотеза обычно называется механической теорией прочности.

В инженерной практике наиболее часто используется теория наибольших касательных напряжений и энергетическая теория прочности. Согласно первой

sэкв = s1 - s3, (6.2)

по второй

sэкв = . (6.3)

Эти две теории хорошо подтверждаются опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, каким можно считать стиль.

Преобразуем формулы (6.2) и (6.3) применительно к расчету стержней.

В опасных точках стержней, согласно принятым гипотезам, напряженное состояние может быть только двухосным, при котором

s2 = 0,

s1 = ,

s3=.

После подстановки s1 и s3 в формулы (6.2) и (6.3) получаем по теории наибольших касательных напряжений

sэкв = ,

по энергетической теории

sэкв = .

Как видно, разница между величинами эквивалентного напряжения, вычислен-ного по приведенным теориям прочности, незначительна.

6.4. Расчет валов на прочность

Рассмотрим подробнее расчет на прочность стержня круглого поперечного сечения, подверженного изгибу в двух плоскостях и кручению, то есть в поперечном сечении стержня Мх ≠ 0, Му ≠ 0, Мz ≠ 0.

Поскольку любой диаметр для круга является осью симметрии и, следовательно, главной центральной осью. Поэтому изгибающие моменты Мх и Му можно привести к равнодействующему Мизг = . Тогда нормальное наибольшее напряжение в одной из точек контура сечения, можно вычислить по формуле