Прочность стержней (стр. 1 )

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

Прочность стержней

Учебное пособие

Омск – 2005

УДК 6

ББК 30.121 я 73

Д 25

Рецензенты:

, профессор СибАДИ;

, доцент ОГИС

Д 25 Прочность стержней: Учеб. пособие. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005 –

54 с.

Настоящее учебно-методическое пособие включает в себя краткое изложение теоретических вопросов, необходимых студенту при выполнении расчетно-графической работы, и расчеты прямых стержней на прочность. В пособии приводятся также примеры решения задач, аналогичных задачам предлагаемых в расчетно-графической работе для самостоятельного решения.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета.

УДК 6

ББК я 73

технический университет, 2005

Введение

В расчетной практике инженера довольно часто приходится сталкиваться с проектированием деталей в виде стержня. Детали такого вида широко встречаются и в машиностроении, и в строительстве. В первую очередь инженеру приходится заниматься прочностными расчетами стержней.

Расчеты на прочность сводятся к следующим типам задач:

1. При заданных нагрузках определить размеры стержня.

2. При заданных размерах стержня подобрать допускаемую нагрузку.

3. Произвести проверочный расчет прочности стержня при заданных размерах стержня и действующих нагрузках.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Существуют различные методы расчетов на прочность. В машиностроении чаще всего используется метод расчета на прочность по допускаемым напряжениям. Расчет по этому методу дает больший коэффициент запаса прочности конструкции.

Для того чтобы воспользоваться этим методом для расчетов стержней, необходимо освоить решение и ряд других проблем, таких как: определение внутренних усилий и построение их графиков (эпюр), отыскание главных осей инерции поперечного сечения стержня и вычисление моментов инерции сечения относительно этих осей.

Все теоретические вопросы и примеры решения задач, связанные с расчетом стержней на прочность по допускаемым напряжениям, изложены ниже.

1. Основные принципы и гипотезы теории стержней

Большинство деталей, встречающихся в технике и промышленности, можно отнести к типу тел, которые в механике называются стержнями. К стержням относят тела, у которых один размер (длина) больше двух других. Стержни классифицируют, в первую очередь, по виду их оси. Это стержни с прямолинейной, криволинейной, ломаной и пространственной осью. Поперечное сечение стержней в общем случае может представлять собой любую геометрическую фигуру.

При составлении расчетных схем такие стержни обычно изображаются в виде прямой линии, представляющей ось стержня, и рядом, показывается форма поперечного сечения. В двумерном пространстве стержень как абсолютно твердое тело имеет три степени свободы. Чтобы зафиксировать стержень в определенном месте, на него накладываются связи в виде различного типа опор. В указанном случае на стержень необходимо и достаточно наложить три связи. Рассмотрим три типа возможных опор:

а) Шарнирно-подвижная опора. Такая опора (рис. 1.1) накладывает одну связь и запрещает перемещение одной из точек тела в горизонтальном или вертикальном направлении.

Рис. 1.1

б) Шарнирно-неподвижная опора. Эта опора (рис. 1.2) накладывает две связи - одновременно запрещает, и вертикальное и горизонтальное перемещения.

Рис. 1.2

в) Жесткая заделка или защемление. В этом случае опора накладывает три связи: запрещает не только вертикальные и горизонтальные перемещения, но и угловое перемещение сечения стержня в плоскости чертежа. На рисунке 1.3 показаны разные варианты изображения такой опоры.

Рис. 1.3

Внешние силы, действующие на стержень, можно разделить на сосредоточенные и распределенные (погонные) нагрузки:

1. Сосредоточенная сила Р (рис. 1.4, а), размерность - ньютон.

2. Погонная нагрузка q (рис. 1.4, б), размерность - ньютон/метр.

3. Момент пары сил L (рис. 1, в), размерность - ньютон × метр.

4. Распределенный момент m (рис. 1.4, г), размерность - .

а) б) в) г)

Рис. 1.4

Кроме активных внешних нагрузок на стержень действуют еще и реактивные силы, возникающие на опорах в направлении наложенных связей. Величина этих сил зависит от величины, направления и точек приложения внешних нагрузок и определяется из уравнений статики (уравнений равновесия) стержня. Для плоского стержня можно воспользоваться тремя независимыми уравнениями равновесия в виде суммы проекций всех сил на две координатные оси и суммы моментов сил относительно некоторой произвольной точки О, лежащей в этой плоскости:

SРх = 0, SРу = 0, SМ0 = 0.

Реальный стержень в той или иной степени отличается от рассматриваемой модели. Поэтому приемлемость используемых решений для реального стержня зависит от того, насколько этот стержень можно считать идеально упругим, сплошным, однородным и изотропным.

Кроме перечисленных выше гипотез о свойствах материала при определении напряжений в стержнях принимаются следующие допущения:

а) перемещение точек оси стержня малы по сравнению с высотой поперечного сечения, а относительные удлинения и углы поворота малы по сравнению с единицей. Малость деформаций и линейная зависимость между напряжениями и деформациями позволяет применять принцип независимости действия сил. Согласно этому принципу, результат действия системы сил можно найти как сумму воздействий каждой силы в отдельности;

б) нормальные напряжения в продольных сечениях стержня малы, и ими можно пренебречь по сравнению с напряжениями в поперечных сечениях стержня. Иногда это называют принципом о ненадавливании слоев стержня друг на друга;

в) поперечные сечения стержня после деформации остаются плоскими и перпендикулярными деформированной оси стержня. Это так называемая гипотеза плоских сечений используется при выводе формул для вычисления напряжений;

г) в точках тела, достаточно удаленных от места приложения нагрузок, напряжения весьма мало зависят от характера распределения этих нагрузок по поверхности тела. Это есть одна из формулировок принципа Сен-Венана.

На основании этого принципа нагрузку, распределенную на небольшой части поверхности стержня, можно заменить сосредоточенной силой.

2. Геометрические характеристики плоских фигур

2.1. Основные понятия

Содержание этой главы носит чисто геометрический характер и представляет собой введение к теории изгиба.

Оказывается, что при изгибе, кручении и других видах деформации стержня необходимо знать не только площадь поперечного сечения, но и другие геометрические (интегральные) характеристики поперечного сечения стержня. При выводе формул для определения напряжений встречается ряд определенных интегралов, характеризующих форму и размеры поперечного сечения стержня. В расчетные формулы входят интегральные характеристики сечений относительно главных центральных осей. Для определения положения таких осей требуется умение определять положение центра тяжести сечения, определять интегральные характеристики при параллельном переносе осей и их повороте.

Рис. 2.1

Интегральная характеристика сечения, зависящая только от формы и размеров сечения, является площадью сечения и определяется как:

F = d x × d y =dF.

Кроме этого есть еще интегральные характеристики, которые зависят как от формы и размеров сечения, так и от выбранной системы координат.

Статические моменты площади определяются по формулам

Sx =y × d x × d y =y × dF,

Sy = x × d y × d y = x × dF.

Размерность статического момента – единицы длины в кубе. В зависимости от выбора осей координат статические моменты могут принимать положительные, отрицательные значения и могут быть равными нулю. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной осью. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести плоской фигуры.

Интегральные характеристики, вычисляемые по формулам:

Ix = y2 × d x × d y = y2 × dF,

Iy = x2 × d x × d y = x2 × dF,

называются осевыми моментами инерции относительно осей ОХ и ОУ, соответственно. Размерность осевых моментов инерции – единицы длины в четвертой степени. Осевые моменты инерции всегда положительны и не равны нулю.

Интегральная характеристика, вычисляемая по формуле:

Ixy = x × y × d x × d y =x × y × dF,

называется центробежным моментам инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей ОХ и ОУ. Размерность центробежного момента инерции – единицы длины в четвертой степени. Центробежный момент в зависимости от положения координатных осей может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называется главными осями, а если начало этих осей совпадает с центром тяжести сечения, то такие оси называются центральными главными осями.

Формулы для вычисления напряжений выведены именно относительно главных центральных осей, так как в этом случае они получаются наиболее простыми.

Для большинства простых геометрических фигур в справочниках можно найти готовые формулы для нахождения моментов инерции.

Для стандартных прокатных профилей (уголков, швеллеров и двутавров) в специальных таблицах ГОСТа наряду с размерами, площадями сечений даны и величины моментов инерции относительно центральных осей.

2.2. Общие теоремы о моментах

Остановимся на некоторых основных и очевидных свойствах статических моментов и моментов инерции.

Теорема 1. Момент составной фигуры равен сумме моментов ее частей.

Действительно, если фигура состоит из двух частей F1 и F2, то по свойству интегралов:

Sx = y × dF = y × dF +y × dF = Sx1 + Sx2.

Аналогично

Ix = Ix1 + Ix2.

Следствие. При вычислении момента инерции площади, ограниченной двумя замкнутыми контурами (двухсвязной), можно вычислить момент инерции площади, ограниченной наружным контуром и вычесть из него момент инерции площади, ограниченной внутренним контуром:

I = I1 – I2.

Теорема 2. Осевые моменты инерции двух равных фигур, симметрично расположенных относительно некоторой оси, равны между собой.

Площади фигур F1и F2 можно разбить на бесконечно малые элементы так, что каждому элементу dF1 соответствует равный элемент dF2, причем ординаты их одинаковы, а абсциссы равны противоположны по знаку: х2 = - х1.

Тогда Iy1 = x12 × dF, Iy2 =x22 × dF,

но х12 = х22 и dF1 = dF2,

потому Iy1 = Iy2.

Теорема 3. Центробежные моменты двух равных фигур, симметрично расположенных относительно оси, равны по величине и противоположны по знаку для фигур:

Ixy1 = x1 × y1 × dF1 , Ixy2 =x2 × y2 × dF2.

Замечая, что х1 × у1 = - х2 × у2, а dF1 = dF2,

получаем Ixy1 = Ixy2.

Следствие. Центробежный момент инерции фигуры относительно некоторой системы координат равен нулю, если хотя бы одна из координатных осей является осью симметрии фигуры.

2.3. Преобразование статических моментов и моментов инерции

при параллельном переносе осей

Пусть для плоской фигуры площадью F известны статические моменты и моменты инерции относительно осей ХОУ: Sy, Sx, Ix, Iy, Ixy. Требуется определить те же величины относительно осей Х1О1У1, параллельных заданным (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Обозначим через a,b абсциссу и ординату точки О, то есть координаты начала старых осей относительно новых осей. Тогда связь между координатами в новой и старой системах координат будет:

х1 = х + в, у1 = у + а.

По определению

Sx1 = y1 × dF = (y + a) × dF = y × dF + a × òFdF.

Таким образом,

Sx1= Sx + a × F, Sy1= Sy + b × F.

Осевой момент инерции относительно оси Х1:

Ix1 =y12 × dF = (y + a)2 × dF = y2 × dF + a2dF + 2 × ay × dF.

Все интегралы в правой части известны, поэтому

Ix1 = Ix + a2 × F + 2 × a × Sx,

и аналогично Iу1 = Iу + b2 × F + 2 × b × Sу.

Теперь найдем центробежный момент инерции для новых осей:

Ix1y1 =x1 × y1 × dF = (x+b) × (y+a) × dF = x × y × dF + a × b × S × dF +

+ ax × dF + by × dF = Ixy + a × dF + a × Sy + b × Sx.

Полученные формулы значительно упростятся, если в качестве первоначальных осей выбрать центральные оси Хс, Ус. Теперь можно вместо а и b ввести обозначения xс, yс – координаты центра тяжести С, а новые оси будем обозначать ХОУ. Для центральных осей статические моменты равны нулю и формулы преобразования примут вид

Sx = yc × F, Sy = xc × F.

Отсюда можно найти координаты центра тяжести фигуры

yc = Sx/F; xc = Sy/F.

Формула преобразования моментов инерции примут вид

Jx = Jxc + yc2 × ,F

Jy = Jyc + xc2 ×F ,

Jyx = Jycxc + xc × yc ×F .

2.4. Преобразование моментов инерции при повороте осей

Пусть известны моменты инерции Jx, Jy, Jyx некоторой фигуры относительно произвольных координатных осей ХОУ (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Повернем оси на угол a против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Требуется найти момент инерции фигуры относительно повернутых осей Х1ОУ1.

Координаты произвольной элементарной площадки в новых осях Х1ОУ1 выражаются через координаты х и у относительно заданной системы осей следующим образом:

x1 = x × cos a + y × sin a; y1 = y × cos a - x × sin a.

По определению

Jx1 = y12 × dF = (y × cos a – x × sin a)2 × dF = cos2 ay2× dF + sin2 ax2 × dF –

- 2 × sin a × cos ax × y × dF = Jx × cos2 a + Jy × sin2 a - Jxy × sin2 a.

Аналогично находим

Jy1 = Jy × cos2 a + Jx× sin a + Jxy × sin × 2 a,

Jx1y1 = Jxy × cos × 2 a - 0,5 (Jx - Jy) × sin × 2 a. (2.1)

Отметим, что полученные формулы справедливы и для центральных осей фигуры.

Складывая почленно выражения для осевых моментов инерции, находим

Jx1 + Jy1 = Jx + Jy.

Таким образом, при повороте прямоугольной системы координат сумма осевых моментов инерции не меняется, то есть является величиной инвариантной.

2.5. Главные оси и главные моменты инерции

Выясним, как меняются моменты инерции при повороте системы осей на угол

a = p/2,

Jx1 = Jy; Jу1 = Jх; Jx1у1 = -Jху.

Видно, что непрерывная функция Jху при таком повороте меняет знак на противоположный. Следовательно, при повороте осей на некоторый угол a0 центробежный момент инерции становится равным нулю, а оси главными осями инерции х0, у0.

Тогда, подставив в формулу (2.1) значение a = a0,

Jx0у0 = Jху × cos a0 - ,