Прочность стержней (стр. 6 )

sz = + y.

Вычислим необходимые геометрические характеристики поперечного сечения стержня АВ (рис. 7.11).

 

Xc

Рис. 7.11

Сложную фигуру можно представить как составленную из простых фигур: прямоугольник и два полукруга, для которых известны площади, положения центров тяжести и моменты инерции относительно своих центральных осей.

Предварительно определим геометрические характеристики каждой фигуры:

1 фигура – полукруг радиусом r.

Площадь фигуры F1 = pr2/2; осевые центральные моменты инерции Jx1 = 0,1124; Jy = pr4/8, расстояние до центра тяжести У0 = 4r/3p.

2 фигура – прямоугольник с основанием b = 2r и высотой h = 4r.

Площадь фигуры F2 = bh = 8r2.

Центральные осевые моменты инерции

Jx2 = bh3/12 = 2r × (4r)3/12 = 10,7r4; Jy = hb3/12 = 2,67r4.

3 фигура – полукруг радиусом r имеет те же характеристики, что и фигура 1.

Площадь поперечного сечения стержня

F = SFi = F1 + F2 - F3 = F2 = 8r2 = 8×10-4 м2

Для определения положения центра тяжести сечения выберем вспомогательные оси ХУ. Ось У является осью симметрии фигуры. Поэтому она будет центральной, а это значит, что центр тяжести фигуры находится на этой же оси, т. е. абсцисса xс = 0. Ординату центра тяжести найдем по формуле

yc = SSxi/SFi = (S + S + S)/F = (F1y1 + F2y2 + F3y3)/F,

где y1, y2, y3 – ординаты центров тяжести отдельных фигур относительно оси Х.

Соответственно

y1 = 4r + 4r/3p; y2 = 2r; y3 = 4r/3p.

Теперь

yc = (pr2/2) × (4r + 4r/3p) + 8r2 × 2r - (pr2/2) × 4r/3p = 2,8r.

Проведем через точку С ось Хс, перпендикулярную оси Ус.

Эта ось будет являться не только центральной, но и главной, опять в силу того, что ось Y является осью симметрии. Таким образом, оси ХсYc есть главные центральные оси сечения.

Вычислим главные центральные моменты инерции сечения, используя формулы параллельного переноса осей.

Предварительно найдем расстояния между осью Хс и центральными осями отдельных фигур

a1 = y1 - yc = 4r + 4r/3p - 2,8r = 1,3r;

a2 = -(yc - y2) = -(2,8r - 2r) = -0,8r;

a3 = -(yc - y3) = -(2,8r - 4r/3p) = -2,38r.

Используя формулы параллельного переноса осей, получаем

Jxc = J+ J + J = (Jx1 + aF1) + ( Jx2 + aF2) - (Jx3 + aF3) =

= 0,11r4 + (1,3)2 × pr2/2 + 10,7r4 + (0,8r)2 × 8r2 - 0,11r4 - (2,38r)2 × pr2/2 =

= 9,36r4 = 9,36 cм4 = 9,36×10-8 м4.

Нормальные наибольшие напряжения будут возникать в поперечном сечении стержня на правой опоре, где N = 80 кН, Мх = 4 кН×м.

Вычислим напряжения в опасных точках 1 и 2 этого сечения.

Крайняя верхняя точка 1: y = 2,2 см.

sz(1) = 80 × 103/(8 × 10-4) + 4×103 × 2,2 ×10-2/(9,36 ×10-8) = 1040 ×106 Н/м2 = 1040 МПа.

Крайняя нижняя точка 2: y = -2,8 см.

sz(2) = 80 ×103/(8 ×10-4) + 4 ×103 × (-2,8 ×10-2)/(9,36 ×10-8) = -1096 ×106 Н/м2 = -1096 МПа.

В обеих точках sz > [s], следовательно, условия прочности не выполняются.

Пример 5. Проверить прочность балки (рис. 7.12), нагруженной поперечными нагрузками, действующими в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Стержень изготовлен из швеллера № 16 и равнополочного уголка № 10 с жесткосоединенных между собой по всей длине.

Исходные данные: q = 5 кН/м, l = 0,6 м, Рх = Ру = Р = ql = 3 кН,

L = ql2 = 1,8 кНм, [s] = 160 МПа.

q

Py

L

y

x

z

 

Рис. 7.12

Выписываем из таблиц прокатного сортамента необходимые данные для фигур, составляющих поперечное сечение (рис. 7.13):

Швеллер № 16: h1 = 16 см, В1 = 6,4 см, F1 = 18,1 см2, Jx1 = 747 см4,

Jy1 = 63,3 см4, z1 = 1,8 см.

Уголок № 10: В2 = 10 см, F2 = 15,6 см2, Jx2 = Jy2 = 147 см4, Ju = 233 см4,

Jv = 61 см4, z2 = 2,75 см.

При пользовании таблицами сортамента следует обратить внимание на возможное несовпадение в обозначении осей фигуры, выбранных в задаче и принятых в таблицах. Поэтому все характеристики, взятые из таблиц, необходимо снабдить индексами осей, принятыми в задаче.

 

Рис. 7.13

Для определения положения центра тяжести сечения выбираем вспомогательные оси Х1У1, совпадающие с центральными осями швеллера. Вычисляем координаты центра тяжести всего сечения

yc = см;

xc = см.

Отмеряя по осям Х1У1, соответственно 2,11 см и 2,43 см, находим положение центра тяжести С поперечного сечения стержня. Проводим через эту точку центральные вспомогательные оси ХсУс, параллельные центральным осям швеллера и уголка. Для вычисления центральных осевых и центробежных моментов инерции определим координаты центров тяжести С1 и С2 в системе осей ХсУс:

a1 = - yc = -2,43 см; b1 = - xc = -2,11 см;

a2 = (h1/2 - yc - z2) =,43 - 2,75) = 2,82 см;

b2 = z1 + z2 - xc = 2,75 + 1,6 - 2,11 = 2,44 см.

Используя формулы преобразования, при параллельном переносе осей получаем

Jxc = S(Jxc)i = (Jx1 + aF1) + (Jx2 + aF2) =

=(747 + 2,432 × 18,1) + (147 + 2,82 × 15,6) = 1125 см4,

Jyc = S(Jyc)i = (Jy1 + bF2) + (Jy2 + bF2) =

= (63,3 + 2,112 × 18,1) + (147 + 2,442 × 15,6) = 384 см4.

Центробежный момент инерции швеллера Jx1y1 = 0, так как ось Х1 одновременно является осью симметрии. Для уголка главными осями инерции являются оси U и V, повернутые на угол a = 45° по отношению к осям Х2 У2. Для определения центробежного момента относительно этих осей воспользуемся формулами поворота

Jx2y2 = [(Ju - Jv)sin2a]/2 = [(sinp/2]/2 = 86 см4.

Теперь вычисляем центробежный момент инерции всего сечения относительно центральных осей ХсУ

Jxcyc = Jx1y1 + a1b1F1 + Jx2y2 + a2b2F2 = 0 + (-2,43) × (-2,11) × 18,1 + 86 +

+ 2,82 × 2,44 × 16,6 = 286 cм4.

Вычислим главные моменты инерции по формуле

Jmax,min=0,5[Jxc+Jyc

Принимаем Jx0 = Jmax = 1222 см4, Jу0 = Jmin = 287 см4.

Определим положение главных центральных осей Х0У0 по формулам

Ù

tqa1 = tq(Xc, X0) = (Jxc – Jx0)/Jxcyc = -0,339; a1 = -18,8°.

Ù

tqa2 = tq(Yc, Y0) = (Jxc – Jy0)/Jxcyc = 2,93; a2 = 71,2°.

Перейдем к построению эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Qy(z) = Qy(0)|1 – [-P|2 – q(z – 2l)|3],

Mx(z) = Mx(0) + Qy(0)z|1 – [-P(2 - l)|2 – 0,5q(z – 2l)2 |3].

Граничные условия Qy(3l) = 0; Mx(3l) = 0,

откуда Qy(0) = -P - ql = -3 – 5 × 0,8 = - 7 кН,

Mx(0) = -Qy(0) × 3l – P – 0,5 × q × l2 = 7 × 3 × 0,6 – 0,5 × 5 × 0,82 = 6,3 кН×м.

Окончательно Qy(z) = - 7|1 + 3|2 + 5(z - 1,2)|3,

Mx(z) = 6,3 – 7z|1 + 3(z - 0,6)|2 + 0,5(z – 1,2)2 |3.

Вычисляем значения функций на границах участков

1) 0 < Z < l; Qy(0) = -7 кН; Mx(0) = 6,3 кНм,

Qy(l) = -7 кН; Mx(l) = 2,7 кНм.

2) l < Z < 2l; Qy(l) = -4 кН; Mx(l) = 2,7 кНм;

Qy(2l) = -4 кН; Mx(2l) = 0,9 кНм.

3) 2l < Z < 3l; Qy(2l) = -4 кН; Mx(2l) = 0,9 кНм;

Qy(3l) = 0; Mx(3l) = 0.

В перпендикулярной плоскости Qx(z) = Qx(0)|1,2,3; My(z) = My(0) – Qx(0)z|1 - L|2,3.

Граничные условия Qx(3l) = P; Mx(3l) = 0.

Откуда Qx(0) = P; Mx(0) = Qx(0)×3l + L = 3 × 1,8 + 1,8 = 7,2 кНм.

Окончательно Qx(z) = 3|1,2,3,; Mx(z) = 7,2 – 3z|1 - 1,8|2,3 .

Поперечная сила постоянна по всей длине стержня и равна 3 кН. Вычислим изгибающий момент на границах участков

1) 0 < Z < l; My(0) = 7,2 кНм; My(l) = 5,4 кНм.

2, 3) l < Z < 3l; My(l) = 3,6 кНм; Mx(3l) = 0.

По вычисленным значениям строим эпюры (рис. 7.14).

По полученным эпюрам выбираем опасное сечение стержня. В данном случае таковым будет являться левое концевое сечение (в заделке), так как именно в этом сечении оба изгибающих момента достигают наибольшей величины: Мх = 6,3 кНм, Му = 7,2 кНм. Нормальные напряжения при косом изгибе определяются по формуле sz = Mx×y/Jx – My×x/Jy,

где Jx и Jy – главные центральные моменты инерции, т. е. Jx = Jx0 = 1222 см4,

Jx = Jу0 = 287 см4.

q

Изгибающие моменты должны быть определены тоже относи-тельно главных центральных осей.

 

y x

z

 

3

6

3

Qy(z), кН

 

2,7

 

Mx(z), кНм

 

Qx(z), кН

My(z), кНм

Рис. 7.14

Поскольку внешние заданные нагрузки действуют в вертикальной и горизонтальной плоскостях, то на рис. 7.15 имеем эпюры изгибающих моментов, действующих в этих плоскостях, т. е. моменты относительно осей ХсУс: Мхс = Мх = 6,3 кНм, Му с = Му = 7,2 кНм.

Yc Y0