Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры: «ОМ и ЕНД» (стр. 10 )

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. Две прямые а и b, лежащие в одной плоскости, наз. параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают и обозначается а||b. Кратко: а||b <=>(а = b или а b = 0}. Знак || ввел в 1677 г. Оутред, термин «параллельный» — Евклид. Параллельность пря­мых обладает свойствами рефлективности, симметричности и транзитивности.

п.: 1) Две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны.

2) Цен­трально симметричные прямые параллельны. 3) Две прямые, пе­ресеченные третьей, параллельны, если: а) соответственные углы конгруэнтны; б) внутренние (внешние) накрест

лежащие углы конгруэнтны.; в) сумма величин внутренних (внешних) односто­ронних углов равна 2 и.

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция F(х) наз. первообразной для функции f (х) на некотором промежутке, если

F' (х) = f (х) для всех х, принадлежащих этому промежутку.

ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА — величина, которая в условии данного рассматриваемого процесса принимает различные зна­чения. Переменная величина считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать. Это множество различных значений переменной наз. областью изменения той переменной. Обозначение переменных буквами х, у, z, ... ввел в 1637 г. Декарт.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ. Две плоскости a и В наз. взаимно перпендикулярными, если они при пересече­нии образуют конгруэнтные смежные углы. п.: если плоскость (а) проходит через прямую (а), перпендикулярную другой плоскости (в), то эти плоскости взаимно перпендикуляр­ны.

ПЛАНИМЕТРИЯ — часть геометрии, изучающая свойства плоских фигур. 'Впервые курс планиметрии изложил Евклид в своих «Началах».

ПЛОСКАЯ КРИВАЯ — кривая, все точки которой лежат в ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ.

ПЛОСКАЯ ФИГУРА — фигура, все точки которой лежат в одной плоскости. Плоские фигуры подразделяются на выпуклые и невыпуклые, открытые и замкнутые, ограниченные и неограниченные, правильные и неправильные.

ПЛОСКОСТЬ — одно из первичных понятий в математике Представление о П. дает гладь поверхности воды, зеркала и др.;

: 1) Всякая. прямая, соединяющая две точки П.^ лежит на ней целиком. 2) Если две П. имеют общую точку] то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку! 3) Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно про? вести П. и притом только одну. Отсюда следует, что прямая и точка вне ее «ли две пересекающиеся прямые или две параллельные прямые определяют П., притом только одну.

Общее уравнение П. относительно ее координат: '

Ах + Еу + О + В == 0. ;

На рисунке П. изображается в виде куска с «оборванными, краями», чаще в виде параллелограмма.

ПЛОЩАДЬ КРУГА. За величину П. к. принимается общий" предел, к которому стремятся площади правильного вписанного и описанного многоугольников, когда число их сторон неограниченно возрастает. П. к. 5 = яК2 = — яВ2 = — СК, где С — дли на окружности.

ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ— поверхность, образуемая вращением плоской линии вокруг компланарной с ней оси П. т. в. можно найти путем приближения ее вписанными (описанными) многогранными поверхностями. Например, за пло­щадь боковой поверхности цилиндра принимается общий предел, iv которому стремятся площади боковой поверхности вписанной (описанной) n-угольной правильной призмы при nàбесконечность. П. т. в. находится и как производная от объема тела вращений по радиусу вращения в точке х,

ПОВОРОТ—такое перемещение точек плоскости, при кото­ром центр поворота точка О отображается сама на себя (остается неподвижной), а каждая другая ее точка А, сделав П. около центра О по дуге окружности в одном и том же направ­лении на один и тот же угол а (угол поворота), лежащий в пре-'им1ах--180°< а< 180°, переходит в точку А' и записывает­ся А'=К0« (А). Поворот на 0° — тождественное преобразова­ние плоскости и обозначается Е(А) = А. П. по ходу часовой стрелки наз. отрицательным, а против хода часовой стрелки — положительным. П. задается указанием его центра и угла пово­рота а, лежащего в пределах— 180°< а ^ 180°, либо его цент­ром и парой точек А и А' не= А. Аналогично определяется П. во­круг прямой / в пространстве (см. Центр вращения, Ось враще­ния).

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ— функция вида у = ах, где

а>0 и а не = 1, обратная логарифмической функции у = logах. П. ф. у = ех, где е~ 2,718... , наз. экспонентой.

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО — неравенство, содер­жащее переменную под знаком показательной функции. П. н.— неалгебраическое неравенство. При решении П.«. используют свойства функций, входящих в неравенство.

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, в котором переменная входит в показатель степени. Общего приема реше­ния П. у. не существует. Приведем способы решения некоторых

1ШДОЗ П. V.

1) Способ приравнивания показателей. Он основан на свой­стве равных степеней: если ат = а", а ^ 0, а =^- ± 1, то т = п,

ПОЛУПЛОСКОСТЬ. Фигура, составленная из прямой а и одной из двух открытых полуплоскостей, наз. полуплоскостью с границей а. с границей а: 1) две различные точки, лежащие в разных открытых полуплоскостях, разделены пря­мой а; 2) если эти точки лежат в одной и той же открытой полу­плоскости, то они не разделены прямой а.

ПОЛУПРОСТРАНСТВО — фигура, состоящая из плоскости а и одного из двух полупространств с границей а. аналогичны свойствам полуплоскости (см.)

ПОЛУПРЯМАЯ — луч (см.).

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — важнейшее понятие математи­ки. П. можно составить из элементов любой природы (чисел, фи­гур, функций). ' наз. функция натурального аргумен­та (числа). П., имеющая конечное число членов, наз. конечной, а П., состоящая из бесконечного числа членов, наз. бесконечной. Например, П. всех натуральных чисел бесконечна, а П. всех двузначных чисел конечна (см. Бесконечная числовая последо­вательность, Ограниченная числовая последовательность, Пре­дел числовой последовательности).

ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА. Если от значения аргумента х1 переходим, к значению х1, то разность х2 — х1 наз. прираще­нием аргумента и обозначается х2 — х1 = х. Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой. Знак х ввел Эйлер.

ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ. Если при значении аргумента XI.значение функции равно y1=f(x1), а при значении аргумента x2 значение функции у2 = f(х2), то разность y2 — y1 =f(х2) — f(x1) = f (x + A х)—f(х)=Aу .называется приращением функции. Геометрически приращение функции изображается приращением ординаты точки кривой. Знак у ввел Эйлер.

ПРОИЗВОДНАЯ функции у= f(х) по аргументу х есть пре­дел отношения приращения функции y к приращению аргу­мента x, когда xà0 .

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ (ПРЯМАЯ)—основное понятие в евкли­довой геометрии. Представление о прямой дает нам туго натя­нутая нить. л.: 1. Через одну точку можно провес­ти бесчисленное множество прямых, т. е. пучок прямых. 2. Через две точки можно провести только одну прямую. 3. Прямая неограничена. 4. Две прямые пересеваются в одной точке.

ПРЯМОЙ УГОЛ — угол, равный своему смежному. П. у. со­держит 90° или п/2 радианов. П. у. обозначается буквой (от фр. слова droit — прямой). П. у. употребляется в качестве еди­ницы измерения углов.

РАДИУС-ВЕКТОР точки М плоскости (пространства)—на­правленный отрезок, начало которого совпадает с началом пря­моугольной системы координат, а коней — с точкой (М, обознача­ется ОМ или М.

СИММЕТРИЯ — свойство фигуры. 1. С. на плоскости относи­тельно прямой (оси) наз. такое расположение точек, при кото­ром (каждые две точки лежат: 1) по разные стороны от осп; 2) на одном перпендикуляре к оси; 3) на равном расстоянии от нее. Две фигуры Р и Р' наз. симметричными относительно пря­мой, если каждой точке А фигуры Р однозначно соответствует симметричная точка А' фигуры Р' и наоборот.

2. - С. на плоскости относительно точки (центра) наз. такое расположение точек, при котором каждые две точки, лежащие на одной 'прямой, проходящей через эту точку, находятся на одина­ковом расстоянии от нее. Две фигуры Р и Р' наз. симметричны­ми относительно точки (центра), если каждой точке А фигуры Р однозначно (соответствует точка А' фигуры Р', симметричная от­носительно этой же точки, и наоборот.

3. С. в пространстве относительно плоскости а наз. таксе рас­положение точек, при. котором каждые две точки А и А', лежа­щие на одной прямой АА', перпендикулярной к плоскости а, на­ходятся на одинаковом расстоянии от нее.

4. С. в пространстве относительно прямой / наз. такое распо­ложение 'точек, при котором каждые две точки А и А', лежащие на прямой АА', перпендикулярной к прямой /, находятся на рав­ном расстоянии от нес.

Учение о С. применяется в науке, технике, производстве. Впервые учение о С. ввел Лежандр. употребляется и как вид перемещения (см.).

СИНУС — одна из тригонометрических функций угла а, которая обозначается sin а.

СИНУСОВ ТЕОРЕМА — теорема, устанавливающая зависи­мость между сторонами треугольника, и синусами противолежа­щих углов.

Читается: в треугольнике стороны про­порциональны синусам противолежащих углов. Эта теорема была найдена Брахмагуптой и впервые доказана Нагарэддином Туе и. Европейские математики ею пользовались, начиная с XVI в.

СИНУСОИДА — график функций у =sin х в прямоугольной системе координат, представляющий сплошную плоскую кривую, симметричную относительно начала координат, пере­cекающую ось абсцисс в точках х = пk, где k = 0; ±1; ± 2; . . . причем |sin x| <=1, имеющую максимум, равный + 1 в точках х = п/2 (4k+1), и минимум, равный — 1, в точках х = п/2 (4k-1).

Прямая у = х — касательная к С. в точке (0; 0).

Скаляр- величин, определяемая только числовым значением, например: длина, площадь, объём, масса и др.

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ - две прямые, через которые нельзя провести плоскость. С. п. не параллельны и не пересекаются. Углом между двумя скрещивающимися, прямыми наз. острый угол. между параллельными им прямыми, проходя­щими через произвольную точку. За расстояние между скрещивающимися прямыми принимается расстояние между парал­лельными плоскостями, в которых лежат скрещивающиеся пря­мые.

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ—функция, промежуточный аргумент которой ;в свою очередь является функцией от нового аргумента: у = F[f(x)].

ТАНГЕНС — одна из тригонометрических функций угла а, которая обозначается tg а. Функция у = tg a для произвольного значения а определяется так: построим две взаимно перпендику­лярные прямые х, х и у'у и из точки пересечения их опишем ок­ружность радиуса г = 1.

В прямоугольном треуголь­нике, где а < 90°, тангенс уг­ла а определяется как отношение противолежащего этому уг­лу катета к прилежащему.

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ — геометрические тела, образуемые вра­щением плоских фигур вокруг оси, расположенной в плоскости вращаемой фигуры.

ТЕОРЕМА — всякое математическое предложение (кроме акcиомы и определения), истинность которого устанавливается пу­тем доказательства. В ранний период изучения геометрии Т. в большинстве случаев формулируются (в виде условного предло­жения с использованием слов «если» и «то».

В Т. различают две части: 1) условие, в нем говорится о том, что дано теоремой; 2) заключение, в нем говорится о том, что требуется доказать. Если в данной Т. условие заменить заключе­нием, а заключение — условием, то получится новая Т., обратная данной (прямой). Такие две Т. наз. взаимно обратными. Взаим­но обратные Т. либо обе верны, либо обе неверны, либо одна верна, а другая нет)

ТОЧКА — одно из первичных отвлеченных понятий геомет­рии. Т.— граница смежных частей линии. образует линию. Т. не имеет никакого измерения.

ТОЧКА РАЗРЫВА — см. Непрерывная функция.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ —уравнение, со­держащее переменную под знаком тригонометрических функций. Т. у.— трансцендентное уравнение. Те значения переменной, ко­торые удовлетворяют уравнению, наз. корнями Т. у. Решение простейших Т. у.:

1. sin x = т, х = (— 1)к • arcsin т, где | m | < 1.

2. соs х = т, х = 2Пк ± агссоs т, где \т\ <1.

3. tg x = т, х = arctg т, где т — любое действительное

число.

4.ctg x = т, х =arcctgm, где m— любое действитель­ное число.

Решение любого Т. у. сводится к решению простейших Т. у. Единого метода решения Т. у. не существует.

При решении Т. у. следует избегать преобразований, влеку­щих к потере корней или приобретению посторонних корней. В необходимых случаях нужно контролировать принадлежность корней ОДЗ уравнения, выполнять проверку пригодности. кор­ней.

ТРИГОНОМЕТРИЯ — раздел математики, изучающий три­гонометрические функции, их свойства и применение их к реше­нию задач. Т. различают плоскую (прямолинейную), занимаю­щуюся решением плоских треугольников, и сферическую, кото­рая занимается решением сферических треугольников.

:была частью астрономии. Позже она отделилась в самостоятельную науку. от астрономии принад­лежит ат-Тусси. Современный вид Т. получила в трудах Эйлера.

ТУПОЙ УГОЛ — угол, больший своего смежного. Т. у. боль­ше прямого, но меньше развернутого угла.

ТУПОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК — треугольник, у кото­рого один угол тупой.

УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ —см. Возрастающая функция.

УГЛЫ СО ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРО­НАМИ — два угла, соответственные стороны которых взаимно перпендикулярны. У. с. в. п. с. конгруэнтны, если оба острые или оба тупые и в сумме составляют 2 Л, если один острый, а другой тупой.

УГОЛ (ПЛОСКИЙ) — фигура, образованная двумя различ­ными лучами с общим началом вместе с одной из двух частей плоскости, на которые эти лучи разбивают ее.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ а —острый угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость а. Такой угол — наименьший из всех углов, которые наклонная составля­ет с любой прямой плоскости.

УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ может быть скалярным и векторным. д. в. дает число, векторное — вектор.

ФУНКЦИЯ - Эйлер определил Ф. как аналитическое выраже­ние, содержащее переменную и число. Лобачевский в 1834 г. и. Дирихле в 1837 г. дали более широкое определение числовых функций: переменную у наз. Ф. переменной х на отрезке [а;Ь], если каждому элементу х этого отрезка соответствует одно определенное значение у. Величину у также называют зависимой пе­ременной, а величину х — независимой переменной или аргумен­том.

ЦЕНТР СИММЕТРИИ — такая неподвижная точка О, что для любой точки А плоскости имеется точка А', лежащая на

прямой АА' так, что |ОА| = |ОА'|. Если фигура Р при пре­образовании центральной симметрии относительно центра О преобразуется сама в себя, то точка О наз. Ц. с. фигуры Р.

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, называемая образующей цилиндра, которая, оставаясь параллельной заданному направлению, скользит по заданной (направля­ющей) кривой. Если направляющей будет окружность, то Ц. п, будет называться круговой.

ЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция y= f(x) наз. четной, если область ее определения симметрична относительно оси ординат

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, состоящей из четырех звеньев. Ч. бывает выпуклым и невыпуклым. К Ч. относятся: квад­рат, ромб, прямоугольник, па­раллелограмм, трапеция, ром­боид (дельтоид) и Ч. общего вида.

ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ — множество К действительных чи­сел. Соответствие между множеством К действительных чисел и точкой Ч. п. взаимно однозначно. Ч. п. одна, координатных прямых много.

ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ТОЧКА ФУНКЦИИ —точка, в которой функция имеет экстремум, т. е. максимум 'или минимум.

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ у = f(х) —термин, объединяю­щий понятия максимума (см.) и минимума (см).