Расчет прямых стержней на прочность (стр. 2 )

Фy(z) = - qx(z-a)2/2 + qx(z-b)2/2 - Px(z-c) - Ly(z-d)0.

Постоянные Qx(0), Qy(0), N(0), Mx(0), My(0), Мк(0) находят из граничных условий, т. е. на основании имеющейся информации об интегральных характеристиках напряжений в каком-либо крайнем сечении стержня.

Так для ненагруженного конца стержня все интегральные характеристики равны нулю.

N(0) = 0; Qx(0) = 0; Qy(0) = 0; N(l) = 0; Qx(l) = 0; Qy(l) = 0;

Mк(0) = 0; Mx(0) = 0; My(0) = 0; Mк(l) = 0; Mx(l) = 0; My(l) = 0.

Рис.6

Если концы стержня оперты шарнирно шарнирно-подвижная или шарнирно-неподвижная опоры (Рис.7), то граничные условия будут

Мх(0) = 0; Му(0) = 0; Мх(l) = 0; Му(l) = 0.

Рис.7

В тех случаях, когда на конце стержня приложена сосредоточенная сила P или пара сил L, могут быть приняты, как и выше, однородные граничные условия, т. е. можно считать, что пара сил или сила приложены к оси стержня на некотором малом расстоянии от конца стержня D® 0, а в концевом сечении все интегральные характеристики напряжений равны нулю. Внешнюю силу Р или пару сил L при этом следует включить в нагрузочную функцию.

В этих же случаях могут быть приняты и неоднородные граничные условия. Для этого сила, приложенная на конце стержня, принимается равной соответственно продольной или поперечной силе, а пара сил – равной изгибающему или крутящему моментам в концевом сечении стержня. Эти силы или пары, естественно, в нагрузочную функцию уже не включают. На рисунке 8 записаны граничные условия для возможных случаев нагружения концевых сечений положительными внешними нагрузками.

N(0) = - P; N(l) = P; Mк(0) = - L; Mк(l) = L;

Qy(0) = - P; Qy(l) = P; Mx(0) = - L; Mx(l) = L;

Mx(0) = - L; Mx(l) = L.

После записи уравнений интегральных характеристик и вычисления начальных параметров можно построить их графики (эпюры). Эти графики строятся на осях, параллельных оси стержня, по нормали к которым откладываются значения функций. Эпюры позволяют наглядно представить изменение интегральных характеристик напряжений вдоль оси стержня и определить то сечение, где функции достигают наибольшего значения.

III. Напряжения в поперечных сечениях стержней с прямой осью

Рассматриваются случаи линейно-упругих стержней при весьма малых деформациях, когда перемещения точек оси стержня значительно меньше высоты поперечного сечения. При выводе формул для определения напряжений принимается гипотеза плоских сечений и предполагается, что нормальные напряжения в продольных сечениях пренебрежительно малы по сравнению с напряжениями в поперечном сечении sх = 0, sу = 0.

Для вычисления нормальных напряжений в поперечных сечениях прямых стержней применяют формулу:

sz = + y - x, (7)

где sz – нормальные напряжения в точке поперечного сечения с координатами x и y,

N – продольная (нормальная) сила в рассматриваемом сечении,

Мх, Му – изгибающие моменты в том же сечении,

F – площадь поперечного сечения,

Jx,, Jy – осевые моменты инерции поперечного сечения относительно его главных центральных осей инерции Х и У.

В частных случаях нагружения для вычисления нормальных напряжений используются соответствующие слагаемые формулы.

1. Растяжение-сжатие N ¹ 0, Мх = Му = 0.

sz =

Нормальные напряжения не зависят от координат точек поперечного сечения, т. е. все точки сечения равноопасны.

2. Прямой изгиб Мх ¹ 0, N = 0, Му = 0.

sz =y.

В точках сечения, лежащих на оси Х, напряжения равны нулю, т. е. ось Х в данном случае будет являться нулевой линией. Наибольшие напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нулевой линии с ординатой ymax.

szmax =ymax=,

где Wx = – осевой момент сопротивления.

3. Косой изгиб Мх ¹ 0, Му ¹ 0, N = 0.

sz = y - x.

y0 = ×x0,

где xо, yо – координаты точек, лежащих на нулевой линии в системе главных центральных осей.

Следовательно, нулевая линия при косом изгибе всегда проходит через начало координат (центр тяжести сечения). Наибольшие напряжения будут возникать в точках наиболее удаленных от нулевой линии.

4. Внецентренное растяжение-сжатие

В этом случае все три интегральные характеристики отличны от нуля N ¹ 0, Мх ¹ 0, Му ¹ 0.

sz = + y - x.

Уравнение нулевой линии:

yо = ×x0 - ×.

В этом случае нулевая линия не проходит через начало координат.

5. Поперечный изгиб

Поперечным изгибом называется такой вид нагружения стержня, когда в поперечном сечении одновременно Мх ¹ 0, Qy ¹ 0.

Нормальные напряжения в точках поперечного сечения определяют по той же формуле, что и при чистом изгибе.

sz = y,

а касательные напряжения можно вычислять по формуле Журавского:

tzy = , (8)

где Qy – значение поперечной силы в сечении,

Jx – главный центральный момент поперечного сечения стержня,

S - статический момент отсеченной части поперечного сечения,

b(y) – ширина поперечного сечения в том месте, где вычисляется касательное напряжение.

Для того чтобы найти S, необходимо через точку, где нужно вычислить tzy, провести прямую, параллельную главной центральной оси Х, и найти статический момент части сечения, лежащей выше или ниже этой линии. Например, для сечения (рис. 9) необходимо найти касательные напряжения в т. А. Линия, проведенная через эту точку, рассекает сечение на две части Fотс’ и Fотс”. Точки 1 и 2 соответственно центры тяжести этих площадей. Тогда

Fотс’

S= Fотс’×Y1 = Fотс”×Y2

b(y)

X

Рис. 9

6. Кручение

Кручением называется такой вид нагружения, когда в поперечном сечении стержня возникает крутящий момент Мк ¹ 0.

Касательные напряжения, возникающие в точке поперечного сечения с радиус-вектором r, определяются по следующей формуле:

t = ×r, (9)

где Jr - полярный момент инерции поперечного сечения.

Эта формула справедлива только для стержней круглого поперечного сечения, так как только в этом случае применима гипотеза плоских сечений.

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках контура.

t = ,

где Wr = - полярный момент сопротивления.

Для круга Jr = p×d4/32 = 0,1×d4,

Wr = p×d3/16 = 0,2×d3.

Напряженное состояние в точке деформируемого тела

Напряженное состояние в точке деформируемого тела характеризуется совокупностью напряжений на всех возможных площадках, проходящих через данную точку.

Достаточно знать напряжения на трех взаимно-перпендикулярных площадках, чтобы вычислить напряжения на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку. Совокупность напряжений на трех координатных площадках называется тензором напряжений.

Ts=

Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями, нумеруются в порядке убывания s1 ³ s2 ³ s3 и находятся из кубического уравнения:

s3 - J1×s2 + J2×s - J3 = 0, (10)

где J1 = sx + sy + sz,

J2 = sxsy + sxsz + szsy - txy2 - txz2 - tzy2,

J3 = sxsysz - sxtzy2 - sytzx2 - sztxy2 + 2txytzytxz.

Положение главных площадок задается направляющими косинусами

li = cos(x,ni), mi = cos(y,ni), ni = cos(z,ni) нормалей ni главных площадок

(i = 1, 2, 3). Для нахождения их величин используют два уравнения из системы

(sx-si)×li + txy×mi + txz×ni = 0,

tyx×li + (sy-si)×mi + tyz×ni = 0,

tzx×li + tzy×mi + (sz-si)×ni = 0,

к которым следует присоединить дополнительное условие

li2 + mi2 + ni2 = 1.

Здесь si - одно из трех главных напряжений. Различают следующие виды напряженных состояний: одноосное, двухосное и трехосное в зависимости от числа корней характеристического уравнения.

Наибольшие касательные напряжения возникают на площадках, равно наклоненных к первой и третьей главным площадкам, и равны

tmax = .

Рассмотрим теперь напряженное состояние в опасных точках стержня.

При поперечном изгибе в опасной точке поперечного сечения действуют нормальные напряжения от изгиба и касательные напряжения, вызванные поперечной силой.