Расчет прямых стержней на прочность (стр. 4 )

Рис. 11

Решение

Так как материал стержня работает только на растяжение-сжатие, то в точках стержня имеет место одноосное напряженное состояние, и условие прочности можно записать в виде

szmax £ [s] или szmax = Nmax/F £ [s].

Площадь поперечного сечения стержня F = 3pd2/4.

Следовательно, szmax = 4Nmax/ 3pd2 £ [s],

откуда d ³ . (11)

Для нахождения наибольшего значения продольной силы Nmax, запишем выражение для этой функции

N(z) = N(0) - q1z + q1(z-l1) - q2(z-l1).

Для заданных условий закрепления на правом конце стержня граничное условие будет

N(l1 + l2) = Р ® N(0) - q1(l1 + l2) + q1l2 - q2l2 = Р,

откуда

N(0) = 50×2-30×1 + 20 = 90 кН.

Окончательно получаем:

N(z) =×z + 50×(z - 2) + 30×(z - 2).

Вычисляем значение продольной силы на границах участков

N(0) =90 кН N(l1) = -10 кН

N(l1) = -10 кН N(l1 + l2) = 20 кН.

По полученным значениям строим эпюру N (рис. 12), из которой видно, что Nmax = 90 кН. Подставляя в формулу (11), получаем

D ³ .

Из нормального ряда диаметров принимаем размер d = 20 мм.

q1 q2

P

l1 l2

20

N(z)

Рис. 12

П р и м е р 2. По заданной схеме нагружения (рис.13) для стального стержня необходимо:

1. Подобрать диаметр d круглого поперечного сечения из расчета на прочность по теории наибольших касательных напряжений.

2. Вычислить главные линейные деформации в опасной точке стержня.

Рис. 13

Исходные данные:

L = 4 кН×м; m = 8 кН×м/м; l = 1 м; [s] = 160 МПа.

Решение

При кручении в стержнях возникает двухосное напряженное состояние – чистый сдвиг. В точках поперечного сечения, лежащих на контуре, возникают наибольшие касательные напряжения:

tmax = Mк/Wr.

Условие прочности при сложном напряженном состоянии

sэкв £ [s].

По теории наибольших касательных напряжений

sэкв = s1 - s3.

При чистом сдвиге s1 = t, s2 = 0, s3 = -t.

Следовательно

sэкв = s1 - s3 = 2tmax = 2 Mк/Wr.

Для стержня круглого поперечного сечения полярный момент сопротивления Wr = 0,2d3.

Условие прочности примет вид:

sэкв = Mк/0,1d3 £ [s].

Откуда

d ³ .

Для определения наибольшего значения крутящего момента необходимо построить график этой функции.

1. Уравнение крутящего момента

Мк(z) = Мк(0) - m(z-l).

На левом конце стержня Мк(0) = L, тогда Мк(z) = 4 – 8(z – 1). Вычисляем значения крутящего момента на границах участка

Мк(0) = 4кН×м,

Мк(l) = 4кН×м,

Мк(2,5l) = -8кН×м

и строим эпюру Мк(z).

Mk(z)

8

Рис. 14

Мкmax = 8кН×м

Подставляя численные значения, находим

d ³ .

Принимаем диаметр стержня d = 80 мм.

2.Вычисляем наибольшие касательные напряжения в опасном сечении

tmax = Mкmaх/0,2d3 = 8/0,2×83×10-6 = 78 МПа.

Главные напряжения в опасных точках этого сечения s1 = 78 МПа;

s2 = 0 МПа; s3 = - 78 МПа.

Главные линейные деформации для упругого тела определяем по формулам обобщенного закона Гука, приняв для стали модуль Юнга Е=2×105 МПа, коэффициент Пуассона m=0,3

e1 = [s1 - m(s2 + s3)]/Е = (78 + 0,3×78)/2×106 = 50,7×10-6

e2 = [s2 - m(s3 + s1)]/Е = 0;

e3 = [s3-m(s2 + s1)]/Е = -50,7×106.

Следовательно, и деформированное состояние при кручении будет двухосное.

П р и м е р 3. По заданной схеме нагружения для стержня подобрать двутавровое поперечное сечение из расчета на прочность. Для выбранного стержня построить эпюры нормальных и касательных напряжений и проверить прочность стержня в опасных точках по третьей теории прочности.

Рис.15

Исходные данные: Р = 72 кН, L = 16 кН×м, l = 0,5 м, [s] = 160 МПа.

Решение

Составим уравнение изгибающих моментов Мх и поперечных сил Qy

Qy(z) = Qy(0) + P,

Мх(z) = Мх(0) + QУ(0)z + P(z-l).

Для определения постоянных интегрирования Qy(0) и Мх(0) для заданных условий закрепления концов стержня граничные условия запишутся в следующем виде:

Мх(0) = 0, Мх(2l) = L.

Из второго условия имеем

QУ(0)×2l + Pl = L.

Откуда

QУ(0) = L/2l - P/2 = 16/2×0,5 - 72/2 = -20 кН.

Окончательно получаем

QУ(z) = -20 + 72,

Мх(z) = -20×z + 72(z - 0,5).

Вычисляем значения поперечных сил и изгибающих моментов на границах участков

0 < z < l,

Qy = -20 кН; Мх(0) = 0; Мх(l) = -10 кНм.

l < z < 2l,

Qy = -20 + 72 = 52 кН; Мх(l) = -10 кНм; Мх(2l) = 19 кНм.

По полученным значениям строим эпюры Мх и Qy (рис. 16 ).

Опасным сечением будет сечение на правой опоре, где Мх = 16 кН×м и Qy = 52 кН.

Условиe прочности при изгибе запишем в виде

sz max = Mx/Wх £ [s].

Откуда

Wх ³ Mx /[s] = 16/160×103 = 100 см3.

Qy(z)

Mx(z)

Рис. 16

По таблицам «Сортамент прокатной стали» выбираем двутавр, имеющий ближайший больший осевой момент сопротивления. Таковым является двутавр №16, имеющий Wх = 109 см3, и осевой момент инерции