Расчет прямых стержней на прочность (стр. 1 )

РАСЧЕТ

ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

НА ПРОЧНОСТЬ

Методические указания

по выполнению расчетно-графических работ

Омск - 2001

Составители: , ,

Одной из основных задач курсов «Сопротивление материалов» и «Прикладная механика» является приобретение студентами навыков выполнения проектных и проверочных расчетов деталей машин и механизмов на прочность. Для выполнения таких расчетов требуется определять напряжения, возникающие в сечениях стержней под действием внешних нагрузок различного типа. При вычислении напряжений следует оценивать не только характер внешней нагрузки, но и форму поперечного сечения.

Методические указания рекомендуются для студентов механических специальностей. Указания составлены с учетом того, что могут быть использованы студентами заочного отделения.

Комплексная расчетно-графическая работа «Расчет прямых стержней на прочность» имеет целью ознакомление с методами расчета на прочность по допускаемым напряжениям при различных видах напряженного состояния. Для решения задачи необходимо уметь определять геометрические характеристики поперечных сечений, интегральные характеристики напряжений и пользоваться формулами для определения напряжений. Работа включает как задачи по определению размеров поперечного сечения, так и задачи по проверке прочности стержней. В задачи включены также вопросы по исследованию напряженного и деформированного состояния.

Решение задач по определению напряжений и расчета на прочность можно разбить на следующие основные этапы:

1. Определение геометрических характеристик сечений.

2. Определение интегральных характеристик напряжений.

3. Вычисление напряжений и расчет на прочность.

Такое построение расчетно – графической работы позволяет решать задачи поэтапно по мере изложения лекционного материала и проведения практических занятий, что помогает студентам лучше закрепить пройденный материал и рационально использовать время, отведенное для самостоятельной работы.

Рекомендуется для студентов механических специальностей, изучающих курс «Сопротивление материалов» и «Прикладная механика».

Рекомендации по оформлению пояснительной записки

1. Записка оформляется на листах формата А4.

2. Каждая часть задачи делается на отдельном листе, что позволяет выполнять работу в течение семестра.

3. Все решения должны сопровождаться необходимыми пояснениями. Сокращение слов в записке не допускается.

4. На обложке указывается название учебного заведения, наименование кафедры, тема расчетно-графической работы, фамилия студента и учебная группа.

5. Каждую задачу следует начинать с новой страницы с указанием условия и исходных данных.

6. При расчетах следует удерживать не более 3-х значащих цифр.

7. Для всех величин должна быть указана размерность.

8. Все чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно в масштабе с указанием необходимых размеров.

9. Схемы нагружения, поперечные сечения стержней и числовые значения выбираются в соответствии с вариантом, выданным преподавателем.

10. Нумерация страниц сквозная от титульного листа до последней страницы.

Краткие сведения из теории

I. Геометрические характеристики плоских фигур.

В теории прямых стержней используются следующие характеристики плоских фигур (поперечных сечений стержней), зависящие как от формы и размеров сечения, так и от его расположения относительно

координатных осей:

а) статические моменты площади:

Sx = ydxdy = ydF; Sy = xdxdy= xdF;

б) осевые моменты инерции:

Jx = y2dxdy = y2dF; Jy = x2dxdy =x2dF;

в) центробежный момент инерции:

Jxy = xydxdy = xydF;

г) полярный момент инерции:

Jr = r2dF = Jx+Jy, (r2 = x2 + y2).

Оси, относительно которых статический момент равен нулю, называются центральными. Главными называются две взаимоперпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент равен нулю. Ось симметрии является и центральной, и главной осью фигуры. Точку пересечения центральных осей называют центром тяжести фигуры.

Если известны статические моменты фигуры относительно некоторых осей XY, то можно определить координаты ее центра тяжести в этой системе координат следующим образом:

xc = Sy/F, yc = Sx/F. (1)

Для простых геометрических фигур геометрические характеристики относительно центральных осей и координаты их центров тяжести известны и приведены в справочниках.

Для некоторых прокатных профилей, встречающихся при выполнении работы, размеры и геометрические характеристики приведены в справочниках в зависимости от их номера.

Если известны моменты инерции фигуры относительно центральных осей, то для нахождения геометрических характеристик относительно осей, параллельных им, могут быть использованы следующие соотношения:

Jx = Jxc + a2F; Jy = Jyc + b2F; Jxy = Jxcyc + abF, (2)

где Jxc, Jyc, Jxcyc - моменты инерции относительно центральных осей,

Jx, Jy, Jxy - моменты инерции относительно осей, параллельных

центральным осям,

a, b – соответственно ордината и абсцисса центра тяжести

фигуры в осях ХУ.

Конечной целью изучения интегральных характеристик плоских фигур является нахождение главных центральных моментов инерции, т. е. осевых моментов инерции относительно главных осей, начало которых совпадает с центром тяжести фигуры.

Если известны моменты инерции относительно некоторых центральных осей фигуры, то главные центральные моменты инерции определяются по формуле:

J1,2 =[ Jхс + Jyc ± ]/2 . (3)

Положение главных осей 1, 2 относительно центральных XcYc определяется по формулам:

tga1 = (Jxc- J1)/Jxcyc; tga2 = (Jxc- J2)/Jxcyc, (4)

где a1 и a2 - углы между осью Xc и соответствующей главной осью.

Применительно к правой системе координат положительному значению угла соответствует поворот против часовой стрелки, отрицательному – по часовой стрелке.

В случае, когда поперечное сечение имеет форму сложной фигуры, которую можно представить как совокупность нескольких простых фигур, отыскание главных моментов инерции следует производить в следующем порядке:

1. Разбить поперечное сечение на простые фигуры, для которых известны площадь, положение центра тяжести и моменты инерции относительно их центральных осей.

2. Выбрать вспомогательные оси координат и вычислить координаты центра тяжести поперечного сечения

yc = SFiyi/SFi; xc = SFixi/SFi,

где Fi - площадь простой фигуры, xi, yi – координаты центра тяжести этой фигуры во вспомогательной системе координат.

3. Вычислить моменты инерции поперечного сечения относительно вспомогательных центральных осей Xc, Yc

Jxc = S(Jxi + ai2 Fi); Jyc = S(Jyi+ bi2 F); Jxcyc = S(Jxiyi+aibiFi),

где Jxi, Jyi, Jxiyi – моменты инерции составляющих фигур относительно своих центральных осей.

4. Найти главные центральные моменты инерции по формуле (3).

5. Определить положение главных центральных осей путем поворота осей XcYc. Угол поворота определяется по формуле (4).

II. Интегральные характеристики напряжений в поперечных сечениях стержней с прямой осью

Y

Под действием внешних сил в поперечных сечениях стержней могут возникать нормальные sz и касательные tzx, tzy напряжения (рис.1).

tzy

 

X

tzx

Z

 

x

 

Рис.1

В силу того, что правая часть стержня отброшена, для сохранения равновесия оставшейся части в сечении необходимо приложить систему «внутренних» сил, эквивалентную действию отброшенной части.

Главным вектором сил этой системы будет вектор (Qx, Qy, N) и главным моментом (Мx, My, Mк). Проекции этих векторов на координатные оси XYZ будем называть интегральными характеристиками напряжений в поперечном сечении стержня (ИХНС). Эти величины выражаются следующими интегралами:

N = szdF; Qx = tzxdF; Qy = tzydF; (5)

M x=sz ydF ; My = -sz xdF; Mк = tzy xdF-tzx ydF,

где N – нормальная (продольная) сила;

Qx, Qy – поперечные силы;

Мx, My – изгибающие моменты;

Мк – крутящий момент.

Между ИХНС и внешними нагрузками существуют следующие дифференциальные зависимости:

= -qz(z); = -qy(z); = -qx(z); (6)

= Qy; = - Qx; = - mz.

Интегрируя эти зависимости, получают следующие выражения для нахождения интегральных характеристик напряжений в любом сечении стержня:

Qx(z) = Qx(0) - Yx(z); Qy(z) = Qy(0) - Yy(z); N(z) = N(0) - Y(z);

Mx(z) = Mx(0) + Qy(0)z - Фх(z); My(z) = My(0) - Qx(0)z - Фy(z);

Mк(z) = Mк(0) – Фz(z),

где Qx(0), Qy(0), N(0), Mx(0), My(0), Мк(0) – значения интегральных характеристик напряжений в начальном сечении стержня (при z = 0),

Yx(z), Yy(z), Yz(z), Фх(z), Фy(z), Фz(z) - соответственно интегралы от правых частей зависимостей (6) и являются функциями, зависящими от закона распределения внешних нагрузок по длине стержня. Эти функции в дальнейшем будем называть нагрузочными.

Ниже приведены значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся случаев нагружения.

1. К оси стержня приложены продольные внешние нагрузки

Рис.2

Yz(z) = q(z-a) - q(z-b) + P(z-c)0.

Здесь и далее следует иметь ввиду, что в том случае, когда выражение, стоящее в скобках, отрицательно, то все слагаемое равно нулю независимо от показателя степени. В случае приложения нескольких распределенных и сосредоточенных нагрузок соответствующие слагаемые нужно повторить для всех нагрузок. Все выражения нагрузочных функций записаны для положительных внешних нагрузок.

2. К оси стержня приложены внешние крутящие моменты

Рис.3

Фz(z) = mz(z-a) - mz(z-b) + Lz(z-c)0.

3.К оси стержня приложены силы в вертикальной плоскости

Рис.4

Yy(z) = qy(z-a) - qy(z-b) + Py(z-c)0,

Фх(z) = qy(z-a)2/2 - qy(z-b)2/2 + Py(z-c) + Lх(z-d)0.

4.К оси стержня приложены нагрузки в горизонтальной плоскости (перпендикулярно плоскости чертежа)

Рис.5

Yx(z) = qx(z-a) - qx(z-b) + Px(z-c)0,