Расчет прямых стержней на прочность (стр. 3 )

При изгибе с кручением возникают нормальные напряжения от изгиба и касательные напряжения от кручения. В силу принятых гипотез в продольных сечениях стержня нормальные напряжения sу и sх равны нулю.

y

tzx

txz

z sz

Рис.10

Если в окрестностях опасной точки радиальным, тангенциальным и поперечным сечениями выделить бесконечно малый элемент, то на гранях его будут возникать только напряжения, показанные на рис.10. Заштрихованная грань элемента совпадает с поперечным сечением. Инварианты напряженного состояния будут

J1 = sz; J2 = -tzx2; J3 = 0.

Следовательно, напряженное состояние будет двухосным и характеристическое уравнение примет вид

s(s2-J1×s+J2) = 0.

Один корень этого уравнения будет нулевой, т. е. одно главное напряжение равно нулю и два других определяются из квадратного уравнения и равны

s = .

Таким образом, главные напряжения в стержне будут равны

s1 = , s3 = .

Из рисунка 10 видно, что на площадке перпендикулярной оси Y отсутствуют касательные и нормальные напряжения, т. е. вторая главная площадка s2 = 0 и направляющие косинусы нормали к этой площадке будут l2 = 0, m2 = 1, n2 = 0.

Поскольку главные площадки взаимно перпендикулярны, то первая и третья главные площадки будут параллельны оси Y.

Следовательно,

m1 = m3 = 0 и нормали n1 и n2 будут параллельны плоскости XZ.

Для нахождения направляющих косинусов в этом случае можно воспользоваться каким-либо одним из уравнений. Найдем положение первой главной площадки. Для этого используем первое уравнение системы

(0-s1)×l1 + 0 + tzx×n1 = 0.

Если обозначить через a1 угол между нормалью n1 и осью Х, то получим l1 = cosa1, n1 = sina1 и

-s1×cosa1 + tzx×sina1 = 0.

Откуда tga1 = s1/tzx.

Из того же уравнения можно найти и положение третьей главной площадки

(0-s3)×l3 + tzx×n3 = 0.

Обозначив через точку b угол между нормалью и третьей главной площадкой и осью Х, получим

-s3×cos b + tzx×sin b = 0,

tgb = s3/tzx = s3/tzx.

Положительные углы a и b откладывать против часовой стрелки от оси Х.

Обобщенный закон Гука

Напряженное состояние в точке деформированного тела определяется составляющими по трем координатным площадкам sх, sу, sz, txy, txz, tyz. В той же точке деформированное состояние задается составляющими ex, ey, ez,, gху, gyz, gzx, где ex, ey, ez – линейные деформации в данной точке вдоль координатных осей; gху, gyz, gzx – угловые деформации или углы сдвига в координатных плоскостях.

На основании гипотезы об идеальной упругости материала детали связь между этими составляющими описывается следующими выражениями:

ex = [sx - m×(sy +sz)]/E,

ey = [sy - m×(sx + sz)]/E,

ez = [sz - m×(sy + sx)]/E,

gxy = txy/G, gzy = tzy/G, gxz = txz/G.

Эти шесть формул носят название обобщенного закона Гука для изотропного тела в общем случае трехосного напряженного состояния.

Упругие постоянные материала детали:

Е – модуль упругости первого рода или модуль Юнга,

G – модуль упругости второго рода или модуль сдвига,

m - коэффициент Пуассона.

Для стали можно считать

Е = 2×1011 Па; G = 8×1010 Па; m = 0,3.

Механические свойства материалов и расчеты на прочность

Основным методом определения механических характеристик материалов является испытание на растяжение. Определенные при этом предел текучести sт и предел прочности sв (временное сопротивление разрыву) являются основными характеристиками при расчете на прочность. Для пластичных материалов за предельное напряжение slim принимается предел текучести, а для деталей из хрупких материалов – предел прочности.

Разделив соответствующее предельное напряжение slim на коэффициент запаса прочности n, определяют допускаемое напряжение:

[s] = slim/n.

Ориентировочные значения допускаемых напряжений для часто применяемых материалов приводятся в соответствующих справочниках.

Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности детали по известному напряженному состоянию. Наиболее просто решается эта задача для случая одноосного напряженного состояния, так как механические характеристики sт и sв установлены при испытании на растяжение, когда в образце имеет место одноосное напряженное состояние. Таким образом, условие прочности для одноосного напряженного состояния принимает вид ½smax½ £ [s],

где smax – максимальное по абсолютной величине нормальное напряжение.

В случае сложного напряженного состояния, как показывают опыты, для одного и того же материала опасное состояние может наступить при различных предельных значениях главных напряжений s1, s2, s3 в зависимости от соотношений между ними. Поэтому экспериментально установить предельные величины главных напряжений очень сложно. Чтобы решить задачу о прочности материала, в этом случае вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора.

Полагают, что нарушение прочности материала при любом напряженном состоянии наступит только тогда, когда величина данного фактора достигает некоторого предельного состояния. Таким образом, введение критерия прочности позволяет заменить расчет на прочность сложного напряженного состояния равно опасным (эквивалентным) ему одноосным напряженным состоянием. Условие прочности в этом случае можно записать в виде sэкв £ [s].

Зависимость sэкв = f(s1, s2, s3) устанавливается по той или иной теории прочности.

Наибольшее распространение при расчетах на прочность в машиностроении получили: теория наибольших касательных напряжений

(III теория) и энергетическая (IV теория). Эти теории прочности хорошо подтверждаются опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие.

sэквIII = s1-s3,

sэквIV = /.

П р и м е р 1. По заданной схеме нагружения и форме поперечного сечения (рис. 11) подобрать размер d из расчета на прочность. Внешние нагрузки приложены к оси стержня.

Исходные данные:

q1=500 кН/м; q2=-30 кН/м; Р=20 кН; l1=2 м; l2=1 м; [s] = 100 МПа.

q1 q2

Р

2d

d

l1 l2