Расчет прямых стержней на прочность (стр. 5 )

Jх = 873 см4.

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений по высоте опасного поперечного сечения. Для этого вычислим величины sz и tzy в следующих трех точках сечения:

Точка 1- крайние точки у = ±h/2.

В этих точках нормальные напряжения достигают наибольшей величины и равны

sz(1) = Mx/Wх= 16/109×10-6 = 147 МПа.

Касательные напряжения в этих точках равны нулю tzy(1) = 0.

Следовательно, в данной точке имеет место одноосное напряженное состояние, и условие прочности в этой точке выполняется.

sz(1) = 147 МПа < [s].

Точка 2 – верхняя точка стенки двутавра (рис.17) с ординатой

у = ±(h/2-t).

Рис.17.

Из таблицы сортаментов выписываем значения размеров двутавра №16: h = 160 мм, b = 81 мм, d = 5 мм, t = 7,8 мм.

Нормальное напряжение в этой точке будет:

sz(2) = Mx(h/2 - t)/Jx = 16(80 – 7,8)/873×10-8 = 132 МПа.

В этой же точке будут возникать касательные напряжения, которые при поперечном изгибе можно определить по формуле Журавского:

tzy=Qy×Sx*/Jx×b(y).

Отсеченной будет одна из частей сечения, если через точку 2 проведем линию, параллельную оси Х. В данном случае удобней взять верхнюю часть, то есть полку двутавра F1. Рассматривая ее как прямоугольник, найдем

Sx*=F1×y1=b×t×(h/2-t/2)=8,1×0,78×(8-0,39)=48,1 cм3.

Ширину сечения в точке 2, не учитывая закругления, примем

b(y) = d = 0,5 см.

Тогда

tzy(2) = 52×48,1×107/873×0,5 = 57 МПа.

Точка 3 - лежит на оси Х.

В этой точке нормальные напряжения равны 0. Отсеченной будет половина поперечного сечения, статический момент ее найдем как сумму статических моментов двух прямоугольников

Sx* = F1×y1 + F2×y2 = b×t×(h/2 - t/2) + (h/2-t) ×d×(h/2 - t)/2 =

= 8,1×0,7,39) +,78) ×0,,78)/2 = 61 cм3.

Ширина сечения

b(y) = d = 0,5 см.

Касательные напряжения в точке 3

tzy(3) = 52×61×107/873×0,5 = 81 МПа.

По найденным значениям sz и tzy строим их эпюры (рис.18)

sz(y) tzy(y)

Рис. 18

Проверяем условия прочности в этих точках.

Точка 1. sz = 147 МПа и tzy = 0 МПа.

В рассматриваемой точке будет одноосное напряженное состояние, и условие прочности можно записать в виде

sz £ [s].

В данном случае sz =147 МПа < [s], следовательно, условие прочности в точке 1 выполняется.

Точка 2. sz = 132 МПа и tzy = 57 МПа.

В данной точке будет иметь место двухосное напряженное состояние s2 = 0

s1,3 = (sz ± = (132 ± ,

s1 = 153 МПа, s3 = -11 МПа.

Условие прочности для сложного напряженного состояния

sэкв £ [s].

По теории наибольших касательных напряжений

sэкв = s1 - s3 = 153 + 11 = 164 МПа.

Эквивалентное напряжение в точке получилось несколько выше допускаемого напряжения, но перегрузка составляет

[(/160]% = 2,5 %,

что лежит в допускаемых пределах.

Точка 3. sz = 0, tzy = 81 МПа.

Такой вид напряженного состояния называется чистым сдвигом. Главные напряжения в т.3 будут равны

s1 = tzy = 81 МПа; s2 = 0; s3 = -tzy = -81 МПа.

Эквивалентное напряжение будет

sэкв = s1 - s3 = 81 + 81 = 162 МПа.

Здесь тоже эквивалентное напряжение оказалось выше допускаемого, но это превышение тоже лежит в допускаемых пределах.

Можно сделать заключение, что условие прочности во всех точках опасного сечения выполняется.

П р и м е р 4. Стержень АВ имеет на правом конце кронштейн ВС, в верхней точке которого приложена горизонтальная сила Р.

Рис. 19

Найти наибольшие напряжения в стержне АВ, если Р = 50 кН,

l = 0,2 м, r = 1 см.

Проверить прочность стержня, приняв допускаемое напряжение

[s] = 200 МПа.

Решение

Приведем силу Р к оси стержня АВ и построим эпюры внутренних сил. При параллельном переносе силы Р из точки С в точку В она приведется к силе Р и паре сил L = Pl.

Уравнения внутренних сил

N(z) = N(0); Qy(z) = Qy(0); Mx(z) = Mx(0) + Qy(0)×z.

Граничные условия

N(0) = 0; Mx(0) = 0; Mx(4l) = L ,

откуда Qy(0) = L/4l = P/4.

Окончательно получаем

N(z) = P; Qy(z) = P/4; Mx(z) = P×z/4.

Эпюры внутренних сил приведены на рис.20.

N(z)

12,5

Qy(z)

0

Mx(z)

Рис. 20

Таким образом, для стержня АВ вид нагружения будет – растяжение с изгибом. И нормальные напряжения в точках поперечного сечения можно найти по формуле

sz = + y

Вычислим необходимые геометрические характеристики поперечного сечения стержня АВ (рис.21)

Xc

Рис. 21

Сложную фигуру можно представить как составленную из более простых фигур: прямоугольник и два полукруга, для которых известны площади положения центров тяжести и моменты инерции относительно своих центральных осей.

Предварительно определим геометрические характеристики каждой фигуры:

1 фигура – полукруг радиусом r.

Площадь фигуры F1 = pr2/2; осевые центральные моменты инерции Jx1 = 0,1124; Jy = pr4/8, расстояние до центра тяжести У0 = 4r/3p.

2 фигура – прямоугольник с основанием b = 2r и высотой h = 4r.

Площадь фигуры F2 = bh = 8r2.

Центральные осевые моменты инерции

Jx2 = bh3/12 = 2r×(4r)3/12 = 10,7r4; Jy = hb3/12 = 2,67r4.

3 фигура – полукруг радиусом r имеет те же характеристики, что и фигура 1.

Площадь поперечного сечения стержня

F = SFi = F1 + F2 - F3 = F2 = 8r2.

Для определения положения центра тяжести сечения выберем вспомогательные оси ХУ. Ось У является осью симметрии фигуры, и поэтому она будет центральной, а центр тяжести фигуры находится на этой же оси, т. е. абсцисса xс = 0. Ординату центра тяжести найдем по формуле

yc = SSxi/SFi = (S + S + S)/F = (F1y1 + F2y2 + F3y3)/F,

где y1, y2, y3 – ординаты центров тяжести отдельных фигур относительно оси Х.

Соответственно

y1 = 4r + 4r/3p; y2 = 2r; y3 = 4r/3p.

Теперь

yc = (pr2/2) × (4r + 4r/3p) + 8r2 × 2r - (pr2/2) × 4r/3p = 2,8r.

Проведем через точку С ось Хс, перпендикулярную оси Ус.

Эта ось будет являться не только центральной, но и главной, опять в силу того, что ось Y является осью симметрии. Таким образом, оси ХсYc есть главные центральные оси сечения.

Вычислим главные центральные моменты инерции сечения, используя формулы параллельного переноса осей.

Предварительно найдем расстояния между осью Хс и центральными осями отдельных фигур

a1 = y1 - yc = 4r + 4r/3p - 2,8r = 1,3r;

a2 = -(yc - y2) = -(2,8r - 2r) = -0,8r;

a3 = -(yc - y3) = -(2,8r - 4r/3p) = -2,38r.

Используя формулы параллельного переноса осей, получаем

Jxc = J+ J + J = (Jx1 + aF1) + ( Jx2 + aF2) - (Jx3 + aF3) =