Расчет прямых стержней на прочность (стр. 7 )

C a°

Mx0

X0

Рис. 25

Найдем требуемые моменты как сумму проекций Мхс, Мус на главные центральные оси сечения

Mx0 = Mxc×cosa0 – Myc×sina0 = 6,3 ×0,947 – 7,2 ×0,323 = 3,64 кНм,

My0 = Myc×cosa0 + Mxc×sina0 = 7,2 ×0,323 + 6,3 ×0,947 = 8,29 кНм.

Следует иметь ввиду, что в данном случае формулы преобразования получены для отрицательного угла a0.

Таким образом, для принятых обозначений осей в решении задачи формулу можно переписать в виде

sz = y - x.

Наибольшие нормальные напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Уравнение нулевой линии в системе главных центральных осей

y0 = ×x0,

где x0, y0 –координаты точек, лежащих на нулевой линии.

y0 = 8,29/3,64 × 1222/287 × x0 =9,7 x0.

Согласно полученному уравнению проводим нулевую линию и находим точки, наиболее удаленные от нее. Это точка А с координатами

xА = -8,7 см, yА = 2,9 см.

Нормальные напряжения в этой точке

sz(A) = [3,64/1222 × 2,9 – 8,29/287 × (-8,7)] × 106 = 259 МПа > [s].

Условие прочности для стержня не выполняется.

П р и м е р 6. Стержень круглого поперечного сечения нагружен горизонтальными и вертикальными нагрузками и крутящим моментом (рис. 26).

Определить диаметр поперечного сечения из расчета на прочность. Исходные данные: Р1 = 6 кН, Р2 = 10 кН, q = 4 кН/м, L = 5 кН×м,

l = 1 м, [s] = 160 МПа.

L

Рис. 26

Решение

Построение эпюр начнем с рассмотрения сил, действующих в вертикальной плоскости

Qy(z) = Qy(0) + P2,

Mx(z) = Mx(0) + Qy(0) × z + P2 × (z – l).

Граничные условия

Qy(0) = -P1, Mx(0) = 0.

Окончательно получаем:

Qy(z) = -6 + 10 , Mx(z) = - 6 × z + 10 × (z – 1).

Под действием сил, действующих в горизонтальной плоскости:

Qx(z) = Qx(0) + q × z – q × (z – 1,5l),

My(z) = My(0) - Qx(0) × z - q × z2/2 + q × (z – 1,5l)2/2.

Соответствующие граничные условия:

Qx(0) = 0, My(0) = 0.

Окончательно получаем:

Qx(z) = 4 × z – 4 × (z – 1,5),

My(z) = - 4 × z2/2 + 4 × (z – 1,5)2/2.

Уравнение крутящих моментов:

Mк(z) = L = 5 кНм.

Вычисляя значение функций на границах участков, строим их эпюры (рис. 27 )

L

6

Qy(z)

6

Mx(z)

0

Qx(z)

2

4

My(z)

5

Mk(z)

Рис. 27

Для того чтобы, произвести расчет на прочность, выберем опасное сечение стержня. Поскольку крутящий момент не меняется по длине стержня, то положение опасного сечения определяется величиной

Мизг = .

Сечение А:

Мх = 6 кНм, Му = 2 кНм, Мизг = = 6,3 кНм.

Сечение В:

Мх = 4 кНм, Му = 4 кНм, Мизг = = 5,7 кНм.

Опасным будет сечение В.

Поскольку в опасной точке стержня будет двухосное напряженное состояние, то условие прочности запишем в виде

sэкв £ [s].

По теории наибольших касательных напряжений

sэкв = s1 - s3.

В опасной точке поперечного сечения

sz max = = ,

t = = .

Главные напряжения в этой точке

s1 = , s3 = .

s2 = 0.

Тогда

sэкв = = £ [s].

Откуда

d ³ = = 0,0795 м = 79,5 мм.

Из нормального ряда диаметров выбираем D=80 мм.