Расчет прямых стержней на прочность (стр. 6 )

= 0,11r4 + (1,3)2 × pr2/2 + 10,7r4 + (0,8r)2 × 8r2 - 0,11r4 - (2,38r)2 × pr2/2 =

= 9,36r4 = 9,36 cм4.

Наибольшие параллельные напряжения будут возникать в поперечном сечении стержня В на правой опоре, где

N=P=50 кН, Мх=P×l=10кН×м.

Вычислим напряжения в крайних точках этого сечения.

Крайняя верхняя точка 1: y = 2,2 см.

sz(1) = 50/8 × 104 + 50 × 0,2/9,36 × 2,2 × 106 = 2413 МПа.

Крайняя нижняя точка 2: y = -2,8 см.

sz(2) = 50/8 × 104 + 50 × 0,2/9,36 × (-2,8) × 106 = -2929 МПа.

В обеих точках sz > [s], следовательно, условия прочности не выполняются.

П р и м е р 5. Проверить прочность балки (рис.21), нагруженной поперечными нагрузками, действующими в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Стержень изготовлен из швеллера №16 и равнополочного уголка №10с жестко соединенных между собой по всей длине.

Исходные данные: q = 5 кН/м, l = 0,6 м, Рх = Ру = Р = ql = 3 кН,

L = ql2 = 1,8 кНм, [s] = 160 МПа.

Рис. 22

Решение

Выписываем из таблиц прокатного сортамента необходимые данные для фигур, составляющих поперечное сечение:

Швеллер №16: h1 = 16 см, В1 = 6,4 см, F1 = 18,1 см2, Jx1 = 747 см4,

Jy1 = 63,3 см4, z1 = 1,8 см.

Уголок №10: В2 = 10 см, F2 = 15,6 см2, Jx2 = Jy2 = 147 см4, Ju = 233 см4,

Jv = 61 см4, z2 = 2,75 см..

При пользовании таблицами сортамента следует обратить внимание на возможное несовпадение в обозначении осей фигуры, выбранных в задаче и принятых в таблицах. Поэтому все характеристики, взятые из таблиц, необходимо снабдить индексами осей, принятыми в задаче.

Рис.23

Для определения положения центра тяжести сечения выбираем вспомогательные оси Х1У1, совпадающие с центральными осями швеллера. Вычисляем координаты центра тяжести всего сечения

yc = см,

xc = см.

Отмеряя по осям Х1У1, соответственно 2,11 см и 2,43 см, находим положение центра тяжести С поперечного сечения стержня. Проводим через эту точку вспомогательные центральные оси ХсУс, параллельные центральным осям швеллера и уголка. Для вычисления центральных осевых и центробежных моментов инерции определим координаты центров тяжести С1 и С2 в системе осей ХсУс:

a1 = - yc = -2,43 см; b1 = - xc = -2,11 см;

a2 = (h1/2 - yc - z2) =,43 - 2,75) = 2,82 см;

b2 = z1 + z2 - xc = 2,75 + 1,6 - 2,11 = 2,44 см.

Используя формулы преобразования, при параллельном переносе осей получаем

Jxc = S(Jxc)i = (Jx1 + aF1) + (Jx2 + aF2) =

=(747 + 2,432 × 18,1) + (147 + 2,82 × 15,6) = 1125 см4,

Jyc = S(Jyc)i = (Jy1 + bF2) + (Jy2 + bF2) =

= (63,3 + 2,112 × 18,1) + (147 + 2,442 × 15,6) = 384 см4.

Центробежный момент инерции швеллера Jx1y1=0, так как ось Х1 одновременно является осью симметрии. Для уголка главными осями инерции являются оси U и V, повернутые на угол a = 45° по отношению к осям Х2 У2. Для определения центробежного момента относительно этих осей воспользуемся формулами поворота

Jx2y2 = [(Ju - Jv)sin2a]/2 = [(sinp/2]/2=86 см4.

Теперь вычисляем центробежный момент инерции всего сечения относительно центральных осей ХсУ

Jxcyc = Jx1y1 + a1b1F1 + Jx2y2 + a2b2F2 = 0 + (-2,43) × (-2,11) × 18,1 + 86 +

+ 2,82 × 2,44 × 16,6 = 286 cм4.

Вычислим главные моменты инерции по формуле

Jmax, min=0,5[Jxc+Jyc

Принимаем Jx0 = Jmax = 1222 см4, Jу0 = Jmin = 287 см4.

Определим положение главных центральных осей Х0У0 по формулам:

tqa1 = tq(Xc, X0) = (Jxc – Jx0)/Jxcyc = -0,339; a1 = -18,8°.

tqa2 = tq(Yc, Y0) = (Jxc – Jy0)/Jxcyc = 2,93; a2 = 71,2°.

Перейдем к построению эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Qy(z) = Qy(0) – [-P – q(z – 2l)],

Mx(z) = Mx(0) + Qy(0)z – [-P(2 - l) – 0,5q(z – 2l)2].

Граничные условия Qy(3l) = 0; Mx(3l) = 0,

откуда Qy(0) = -P - ql =×0,8 = - 7 кН,

Mx(0) = - Qy(0) × 3l – P – 0,5 × q ×l2 =

=7 × 3 × 0,6 – 0,5 × 5 × 0,82 = 6,3 кН×м.

Окончательно Qy(z) = - 7 + 3 + 5(z - 1,2),

Mx(z) = 6,3 – 7z + 3(z - 0,6) + 0,5(z – 1,2)2.

Вычисляем значения функций на границах участков

0 < Z < l; Qy(0) = -7 кН; Mx(0) = 6,3 кНм,

Qy(l) = -7 кН; Mx(l) = 2,7 кНм.

l < Z < 2l; Qy(l) = -4 кН; Mx(l) = 2,7 кНм;

Qy(2l) = -4 кН; Mx(2l) = 0,9 кНм.

2l < Z < 3l; Qy(2l) = -4 кН; Mx(2l) = 0,9 кНм;

Qy(3l) = 0; Mx(3l) = 0.

В перпендикулярной плоскости

Qx(z) = Qx(0); My(z) = My(0) – Qx(0)z - L

Граничные условия Qx(3l) = P; Mx(3l) = 0.

Откуда Qx(0) = P; Mx(0) = Qx(0)×3l + L = 3 × 1,8 + 1,8 = 7,2 кНм.

Окончательно Qx(z) = 3; Mx(z) = 7,2 – 3z - 1,8.

Поперечная сила постоянна по всей длине стержня и равна 3 кН. Вычислим изгибающий момент на границах участков

0 < Z < l; My(0) = 7,2 кНм; My(l) = 5,4 кНм.

l < Z < 3l; My(l) = 3,6 кНм; Mx(3l) = 0.

По вычисленным значениям строим эпюры (рис. 24).

По полученным эпюрам выбираем опасное сечение стержня. В данном случае таковым будет являться левое концевое сечение (в заделке), так как именно в этом сечении оба изгибающих момента достигают наибольшей величины: Мх = 6,3 кНм, Му = 7,2 кНм. Нормальные напряжения при косом изгибе определяются по формуле:

sz = Mx×y/Jx – My×x/Jy,

где Jx и Jy – главные центральные моменты инерции, т. е. Jx=Jx0=1222 см4, Jx=Jу0=287 см4. Изгибающие моменты должны быть определены тоже относительно главных центральных осей.

3

6

3

Qy(z)

2,7

Mx(z)

Qx(z)

My(z)

Рис. 24

Поскольку внешние заданные нагрузки действуют в вертикальной и горизонтальной плоскостях, то на рис. 25 имеем эпюры изгибающих моментов, действующих в этих плоскостях, т. е. моменты относительно осей ХсУс. В используемой формуле необходимы моменты относительно главных центральных осей: Мхс = Мх = 6,3 кНм, Му с = Му = 7,2 кНм.

Yc Y0

Myc My0

Mxc

Xc