5) Как используется теорема Лапласа?
6) Если строки матрицы линейно зависимы, то чему равен определитель?
Тема 4:. Методы вычисления обратной матрицы и ее применение
Контрольные вопросы:
1) Какая матрица называется обратимый?
2) В каком случае есть обратная матрица?
3) Как вычислить обратную матрицу?
4) Что значит матричная форма записи системы уравнений?
5) Сформулируйте правило нахождения обратный матрицы?
Тема 5: Алгебраическая форма комплексные числа.
Контрольные вопросы:
1) Как записывается тригонометрическая форма комплексного числа?
2) В чем заключается геометрическая интерпретация комплексного числа?
3) Что такое модуль комплексного числа?
4) Что такое радиус комплексного числа?
Тема 6: Тригонометрическая форма комплексных чисел
Контрольные вопросы:
1) Как записывается тригонометрическая форма комплексных чисел?
2) Какие операции выполняются для чисел, заданных в тригонометрическом форме комплексных чисел?
3) В чем заключается формула Муавра?
4) Что такое корни n-й степени из единицы?
5) Геометрическое интерпретация корней n-й степени из единицы?
6) По какой формуле выполняются различные корни n-й степени из единицы?
Тема 7: Системы линейных алгебраических уравнений
Контрольные вопросы:
1) Что называется решением системы m линейных уравнений с n переменными?
2)Какая система уравнений называется совместной, несовместной?
3) Когда совместная система уравнений называется опрделенной; неопределенной?
4) В каком случае две системы уравнений называются
равносильными?
5)Какой вид имеет система m линейных уравнений с n неизвестными, записанная в матричной форме?
6)Как решить систему линейных уравнений, используя метод обратной матрицы?
7) Сформулируйте теорему Крамера.
8) В чем заключается метод Гаусса решения систем линейных уравнений?
9) Каковы достоинства метода Гаусса?
10) Какая матрица называется расширенной матрицей системы линейных уравнений?
11) Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
12) Какое решение системы линейных уравнений называется базисным?
13) Когда система m линейных уравнений с n переменными называется однородной?
14) Какими свойствами обладают решения системы линейных однородных уравнений?
15) Что такое фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений?
16) Какой вид имеет общее решение системы линейных однородных уравнений?
Тема 8: Линейные евклидовые пространства
Контрольные вопросы:
1) Дайте определение n-мерного вектора.
2) Что такое векторное пространство?
3) Что называется линейной комбинацией векторов?
4) Дайте определение линейной зависимости и линейной
независимости векторов линейного пространства.
5) Как определяется размерность линейного пространства?
6) Что называют базисом линейного пространства?
7) Сформулируйте теорему о единственности представления вектора линейного пространства.
8) Сформулируйте теорему о размерности и базисе пространства.
9) Какое пространство называется евклидовым?
10) Дайте определение нормы вектора в евклидовом пространстве.
11) Когда два вектора называются ортогональными?
12) Какой базис называется ортонормированным?
Тема 9: Подпространства векторного пространства
Контрольные вопросы:
1) Что называется подпространством векторных пространств?
2) Что такое линейная оболочка множества векторов?
3) Сформулируйте свойства суммы подпространств?
4) Какое пространство называется порожденным?
Тема 10: Линейные операторы
Контрольные вопросы:
1) Дайте определение линейного оператора.
2)Сформулируйте теорему о зависимости между матрицами оператора в разных базисах.
3) Дайте определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора.
4) Сформулируйте теорему о матрице оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов.
5) Что такое квадратичная форма? каноническая форма?
6) Сформулируйте критерий Сильвестра.
Тема 11: Делимость многочленов.
Контрольные вопросы:
1) Какими операциями обладают многочлены?
2) Сформулируйте теорему о делении с остатком.
3) В чем заключается схема Горнера, НОД, НОК, алгоритм Евклида?
4)Какие многочлены называются приводимыми и неприводимыми?
5)Что такое неприводимость многочленов над полем действительных многочленов?
6) Что такое корни многочленов?
7) Как происходит делимость многочленов?
Тема 12: Разложение многочлена на множители
Контрольные вопросы:
1) Какой полином называется приводимым?
2) Какой полином называется неприводимым?
3) Приведите примеры неприводимых многочленов?
4) Сформулируйте теорему разложении полинома в произведение неприводимых множителей?
5) Сформулируйте теорему о сопряженности мнимых корней полинома с действительными корнями?
Тема 13:. Элементы аналитической геометрии
Контрольные вопросы:
1) Дайте определение уравнения линии на плоскости.
2) Какими способами можно задать прямую на плоскости?
3) Как записывается уравнение прямой, проходящей через две данные точки?
4) Какое уравнение называется уравнением прямой в отрезках?
5) Как записывается уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении?
6) Какое уравнение называется общим уравнением прямой?
7) Какая прямая, заданная общим уравнением, проходит через начало координат?
8) Как записывается уравнение прямой с угловым коэффициентом?
9) Как вычисляется угол между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом?
10) Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.
11) Как находится расстояние от точки до прямой?
12) Что называется окружностью?
13) Какой вид имеет общее уравнение окружности? Какое уравнение окружности называется нормальным?
14) Что называется вектором?
15) Что называется длиной и направлением вектора?
16) Какой вектор называется нулевым? Имеет ли он направление?
17) Как называется угол между двумя векторами?
18) Какой вектор называется суммой двух данных векторов? Сформулируйте правило треугольника сложения двух векторов.
20) В чем состоит правило многоугольника сложения нескольких векторов? Какой вектор называется разностью двух векторов?
21) Что называется произведением вектора на число?
22) Какие два вектора называются коллинеарными?
23) Что называется скалярным произведением двух векторов?
24) Как найти угол между векторами, используя скалярное произведение?
Решение задач: №№ 4.14 – 4.32 /С. 121-122/1/.
Тема 14:. Векторное и смешанное произведения векторов
Контрольные вопросы:
1) Что называется векторным произведением?
2) В чем заключается геометрический смысл векторного произведения?
3) Как выражается векторное произведение через компоненты векторов в декартовой системе координат?
4) В чем заключается механический смысл векторного произведения?
5) Что называется смешанным произведением?
6) Геометрическая интерпретация смешанного произведения?
7) Свойства смешанного произведения?
Тема 15:. Кривые второго порядка
Контрольные вопросы:
1) Что называется эллипсом?
2) Какой вид имеет каноническое уравнение эллипса?
3) Какие точки плоскости называются фокусами эллипса? Сколько фокусов у эллипса? Как называется расстояние между фокусами?
4) Какие точки эллипса называются его вершинами?
5) Что называется эксцентриситетом эллипса?
6) Что называется гиперболой?
7) Какие точки плоскости называются фокусами гиперболы?
8) Какой вид имеет каноническое уравнение гиперболы?
9) Какие прямые называются асимптотами гиперболы?
10) Что называется параболой?
11) Какая точка плоскости называется фокусом параболы? Что называется директрисой параболы?
12) Что называется вершиной параболы?
13) Почему окружность, гипербола, эллипс и парабола называются кривыми второго порядка?
Методические рекомендации: Подготовку к каждому практическому занятию следует начинать с повторения основных моментов темы (по учебнику или конспектам), ответов на контрольные вопросы и детального разбора примеров, рассмотренных на лекции или в учебниках. Очень полезно, взяв условия примера из текста учебника, самостоятельно произвести для него все требующиеся расчеты, а затем сверить их с расчетами в учебнике.
Основные типы задач решаются на аудиторных практических занятиях. Здесь разрабатывается полный и подробный план решения задач.
Основная и дополнительная литература приведена в подразделе 2.2. Курс содержит много формул. Чтобы запомнить эти формулы, необходимо хорошо разбираться в принципах их построения. Содержание каждой темы надо кратко законспектировать, записывая основные определения и все без исключения формулы и характеризуя их смысл. Записи следует вести в особой тетради (т. е. для практических работ). В ней же следует решать основные типы задач по каждой теме (можно записывать решение примеров из учебника). Эта тетрадь затем не только окажет большую помощь при повторении курса перед экзаменом, но и может быть использована как справочный материал в дальнейшей работе во всех случаях, когда придется иметь дело с математическими методами. Тема может считаться усвоенной, если студента не затруднят ответы на контрольные вопросы и решение задач, помещенных в рекомендованных учебниках.
2.5 Планы занятий в рамках самостоятельной работы студентов под руководством преподавателя.
Форма проведения СРСП: практическая занятия. Ниже приведены темы указанных занятий:
Тема 1: Определители и их свойства
1Вычисление определителей 3го порядка по правилу треугольнике.
2. Приведение определителя к треугольному виду.
3. Вычисление определителя к треугольному виду.
4. Вычисление определителя путем разложения по строке или по столбцу.
Форма проведения СРСП: Индивидуальная консультация.
Тема 2: Матрицы и операции над ними
1. Сумма, разность матриц.
2. Умножение матриц.
3. Элементарные матрицы.
Форма проведения СРСП:
Тема 3: Методы вычисления определителей высших порядков
1. Опоеделитель Вандермона.
2. Теорема Лапласа.
3. Вычисление определителя, используя ее свойства.
Форма проведения СРСП: Практикум по решению задач
Тема 4: Методы вычисления обратной матрицы и ее применение
1. Вычисление обратный матрицы, используя элементарные преобразования.
2. Вычисление обратный матрицы с применением дополнительный матрицы и определителя.
3. Решение систем линейной алгебраических уравнений, используя обратную матрицу.
Форма проведения СРСП: Практикум по решению задач
Тема 5: Алгебраическая форма комплексных чисел.
1. Операции над комплексными числами.
2. Нахождение модуля и аргумента комплексных чисел.
3. Комбинированные задачи.
Форма проведения СРСП: Индивидуальная консультация
Тема 6: Тригонометрическая форма комплексных чисел
1. Возведение в n-ю степень комплексных чисел.
2. Извлечение корня n-й степени из комплексных чисел.
3. Решение уравнений.
Форма проведения СРСП:
Тема 7: Системы линейных алгебраических уравнений.
1. Теорема Кронекере-Капелли.
2. Правила Крамера.
3. Общее решение система.
4. Фундаментальная система решений однородной системы.
Форма проведения СРСП:
Тема 8: Векторное пространство
1. Простейшие свойства векторных пространств.
2. Линейная зависимость и независимость системы векторов.
3. Линейная оболочка множества векторов.
4. Изоморфизм векторных пространств.
5. Норма вектора. Ортонормированный базис Евклидова пространства.
Форма проведения СРСП: Защита проектов
Тема 9: Подпространства векторного пространства
1. Инвариантные подпространства.
2. Собственные векторы и собственные значения.
Форма проведения СРСП:
Тема 10: Линейный оператор
1. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.
2. Представление линейного оператора в данном базисе.
3. Ядро и образ линейного оператора.
4. Операции над линейными отображениями.
5. Матрица линейного оператора.
6. Связь между координатными столбцами векторов.
Форма проведения СРСП:
Тема 11: Делимость многочленов
1. Деление полинома на двучлен и корни полинома.
2. Деление с остатком.
3. неприводимые над данным полем полиномы.
4. Разложение полинома и произведение нормированных неприводимых множителей.
Форма проведения СРСП: Практикум по решению задач.
Методические рекомендации к выполнению: Чтобы научиться решать задачи того или иного типа, рекомендуется сначала изучить план решения в общем виде (алгоритм), затем рассмотреть пример реализации плана в конкретном случае и, по аналогии с ним, решить несколько задач из числа предлагаемых для самостоятельного решения. Чтобы приобрести устойчивый навык решения типовых задач, необходимо решить не менее трех – пяти задач каждого типа.
Рекомендуемая литература: Индивидуальные задания по высшей математике. / Под ред. . – Минск: Высшая школа, 2000. Ч1, 2.
2.6 Планы занятий в рамках самостоятельной работы студентов.
В ходе изучения дисциплины каждый студент получает индивидуальные задания (ИЗ), которые охватывают основные разделы курса и позволяют выяснить, насколько хорошо усвоены теоретические положения и может ли студент применять их для решения практических задач.
График выполнения и сдачи индивидуальных заданий по дисциплине «Линейная алгебра и геометрия»
Таблица 5
Неделя | Выполненная работа |
1 | Установочная неделя. Определение типов и видов заданий. |
2 | Раздача заданий. |
3 | Работа над заданиями. Консультации. |
4 | Сдача первого задания (домашняя контрольная работа) |
5 | Работа над заданиями. Консультации. |
6 | Работа над заданиями. Консультации. |
7 | Сдача второго задания (ИЗ по изученным темам). |
8 | Работа над заданиями. Консультации. |
9 | Работа над заданиями. Консультации. |
10 | Сдача третьего задания (коллоквиум). |
11 | Сдача четвертого задания (задачи). |
12 | Работа над заданиями. Консультации. |
13 | Сдача пятого задания (задачи). |
14 | Работа над заданиями. Консультации. |
15 | Сдача шестого задания (коллоквиум). |
В течение изучения дисциплины студент должен самостоятельно выполнить шесть заданий, причем два из них (№3 и №6) имеют теоретический характер, остальные на выполнение упражнений и решение задач. Цель выполнения этих заданий – усвоить, закрепить и углубить материал, изученный на лекциях и практических занятиях.
Тематика заданий:
№1: Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. Элементы векторной алгебры и матричного анализа.
№2: Уравнение линии. Предел и непрерывность. Производная и дифференциал функции.
№3: Коллоквиум – письменный опрос по пройденным темам.
№4: Приложение производной. Неопределенный и определенный интеграл. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
№5: Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Числовые ряды. Функции нескольких переменных.
№6: Коллоквиум – устный опрос по пройденным темам.
Методические рекомендации к выполнению: каждое ИЗ должно быть выполнено в тетради (или на листах формата А4) , на обложке которой указывается специальность, курс, группа, фамилия и имя студента, номер варианта и дата сдачи работы.
Работа должна быть написана разборчивым почерком, на страницах следует оставить поля.
Решение задач необходимо сопровождать краткими пояснениями, обязательно приводить все формулы, используемые в задаче.
Решение задач ни в коем случае не следует откладывать на последний вечер перед занятиями, как, к сожалению, нередко поступают студенты. В этом случае более сложные и притом наиболее содержательные и полезные задачи заведомо не могут быть решены.
Задания, выполненные с опозданием, будут оцениваться ниже.
Содержание заданий будет сообщено каждому студенту индивидуально.
Рекомендуемая литература: Индивидуальные задания по высшей математике. / Под ред. . – Минск: Высшая школа, 2000. Ч1, 2.
2.7 Тематика письменных работ по курсу.
Контрольная работа № 1: матрицы, определители, системы линейных уравнений, векторная алгебра.
Контрольная работа № 2: аналитическая геометрия, пределы, производные и их приложения.
Контрольная работа № 3: неопределенные интегралы, определенный интеграл и его приложение, дифференциальные уравнения.
Тематика рефератов: №1. Элементы аналитической геометрии.
./1 – 3,7,8,10,17,18/
2.8 Тестовые задания для самоконтроля.
1. Найдите произведение матриц: 
;
А. 
;
Б. 
;
В.
;
С.
;
D. 0.
2. Найдите произведение матриц: 
;
А. 
;
Б. 
;
В.
;
С. 
;
D. 
.
3. Выполните действия:
А. ;
Б. 
;
В.
;
С. 
;
D. 
.
4. Выполните действия : 
;
А. 1.
Б. 
;
В. 
;
С.
;
D. 
.
5. Выполните действия: 
;
А. 
;
Б. 
;
В.;
С. 
;
D. 
6. Вычислите, если
и
существует 
.
А. Е;
Б.(1);
В. 
;
С. 
;
D. (19).
7. Вычислите определитель: 
А. -4;
Б. 1;
В. 1,5;
С. 2;
D. -5.
8. Вычислите определитель: 
А. 
;
Б. 1;
В. 
;
С. 0;
D. 
.
9. Решите уравнение:
;
А. 
Б. 
В. 
С.
;
D.
10. Найдите обратную матрицу : 
А
Б.
В.
С.
;
D.
11. Вычислите ранг матрицы.
;
А. 3;
Б. 1;
В. 1,5;
С. 2;
D. 4.
12.Решите систему:
А. 
Б. 
В.
С.
D.
13. Даны векторы 
Найдите скалярное произведение этих векторов.
А. 12;
Б. 10;
В. 8;
С. 1;
D. 3.
14. Найдите площадь треугольника с вершинами А(1;2;0), В(3;2;1), С(-2;1;2).
А. 3;
Б. 
;
В. 1;
С. 
;
D. 
15. Найдите точку, в которой прямая, проходящая через точки А(5; 5) и В(1; 3), пересечет ось Ох.
А. (1; 1);
Б. (5; 0);
В. (-5; -1);
С. (-5; 0);
D. (0; 5).
16. Найдите точки пересечения линий 
и 
А. (1; 1);
Б. (5; 0), (-3;-4);
В. (-5; -1);
С. (-5; 0), (0; 5);
D. (-3; 4), (4; 3).
17. Найдите угол между прямыми 
и 
А. 
;
Б. /4;
В. /2;
С. /3;
D. 0.
18. Найдите координаты ценра и радиус окружности 
А.(3; 2) и R=5.
Б. (2; 2) и R=2.
В. (-3; -2) и R=3.
С. (3/7; 2) и R=5.
D. (-7/3; 3) и R=5.
19. На оси Оу найти точку С(ч; у; z), равноудаленную от двух точек А(2; 3; 1) и В(-1; 5; -2).
А. (1; 1; 4);
Б. (5; 0;1);
В. (-2; -1; 2);
С. (0;4; 0);
D. (0; 0;5).
20. Найдите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (1; 0; -1) и параллельной вектору 
.
А. 
Б. 
В. 
С. 
D. 
Ключи правильных ответов
№ | Правильные ответы | № | Правильные ответы |
1 | В | 11 | А |
2 | А | 12 | А |
3 | С | 13 | D |
4 | А | 14 | С |
5 | С | 15 | С |
6 | В | 16 | D |
7 | А | 17 | Б |
8 | В | 18 | D |
9 | С | 19 | C |
10 | А | 20 | Б |
2.9 Экзаменационные вопросы по курсу:
1.Определители и их свойства.
2.Способы вычисления определителей. Разложение определителя по строке или столбцу.
3.Матрицы, их виды. Линейные операции над матрицами, эквивалентные преобразования матриц.
4.Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы для невырожденной матрицы А.
5.Системы алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы с помощью определителей и матриц.
6.Координаты на прямой. Декартовы координаты на плоскости. Полярные координаты. Направленный отрезок. Проекция отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка.
7.Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
8.Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. Преобразование координат.
9.Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми.
10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Неполные уравнения прямой. Уравнения прямой в «отрезках». Нормальное уравнение прямой. Задача определения расстояния от точки до прямой.
11. Геометрические свойства линий второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
12. Поверхности вращения: эллипсоид, гиперболоид, параболоид.
13. Операции над многочленами. Делимость многочленов.
14.Теорема о делении с остатком.
15.Схема Горнера. НОД, НОК. Алгоритм Евклида. Корни многочленов.
16. Приводимые и неприводимые многочлены. Неприводимость многочленов над полем действительных многочленов.
17.Основная теорема. Следствия теоремы.
18.Комплексные числа и их геометрические истолкования на плоскости. Основные понятия. Операции над комплексными числами.
19.Общие основы теории чисел. Простые числа. Целые числа. Конечные цепные дроби. Иррациональные числа. Сравнения. Классы.
20.Определение линейного пространства. Изоморфизм. Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы.
21.Ортогональные матрицы, ортогональные преобразования. Ортогональное дополнение к подпространству. Процесс ортогонализации.
22.Определение и примеры линейных операторов.
23.Матрица линейного оператора. Связь между координатами вектора-образа и вектора-прообраза. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Действия с линейными операторами.
24.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
