Методические указания (стр. 5 )

где - расстояние рассматриваемых точек, отсчитанное от раздела металл – форма;

- время от момента заливки (предполагается, что металл занимает форму мгновенно);

- функция Гаусса.

4.2 Решение типовых задач

Задача №1. Плоская отливка толщиной δ=5 см из алюминия затвердевает в песчаной форме. Определить продолжительность затвердевания без учета технологических факторов. Начальная температура формы tН. Ф.=200С. Сплав залит без перегрева.

Ответ. Время затвердевания =25 мин.

Решение. Для неметаллических форм используем формулу (49). По таблице 1 и таблице 2, приложения I находим для алюминия при начальной температуре формы t=2980К; υкр=933-298=635 К; ф=0,95·103 Вт·с0,5/м2·К; L=390 кДж/кг; ρме=2700 кг/м3.

Для плоской отливки , откуда

Задача №2. Цилиндрическая отливка диаметром D=10 см из углеродистой стали затвердевает в металлической (чугунной) неокрашенной форме, нагретой до tн. ф.=673 К (4000С). Перегрев металла при заливки ∆tпер=75 К. Рассчитать продолжительность затвердевания.

Ответ. Время затвердевания =7,7 мин.

Решение. По условию задачи необходимо ввести поправки на технологические факторы (, , , ). Исходя из этого необходимо вычислить время затвердевания без учета технологических факторов по формуле (48) . Приведенная толщина цилиндрической отливки равна . Критерий коэффициента затвердевания Кк определим по рассчитанным значениям Кв и КL. Для определения Кв по таблицам Приложения I находим для чугунной формы ф=1,30·104 Вт·с0,5/м2·К, для стали ме=1,76·104 Вт·с0,5/м2·К, откуда и получаем

.

Величину КL рассчитываем по известным L=259 кДж/кг, Сме=0,75 кДж/кг·К, tлик =1780 К, tсол=1740 К, ; υкр=tкр-tн. ф==1087 К

Тогда получим

Вычисляем

Далее определяем поправочные коэффициенты. Принимаем по табл. 4 . Поправку на перегрев () находим по формуле (50 ) с учетом данных табл. 5 (β=0,35)

Далее вычисляем по формуле (51) поправку на интервал кристаллизации ()

Поправку на зазор для неокрашенной формы рассчитываем по формуле (52) с учетом значений входящих в нее величин ; Вт/м·К и Вт/м·К

Подставляя все полученные величины в формулу (54) получим время затвердевания отливки с учетом технологических факторов

4.3 Задачи для самостоятельного решения

Задача №Вычислить продолжительность затвердевания в песчаной форме стальных отливок различной конфигурации при коэффициенте затвердевания равном К=0,05 м/час0,5. Необходимые данные и ответы приведены в таблице 6.

Таблица 6 - Исходные данные и ответы к задачам

Номера задач	Тип отливки	Размер отливки, м	Ответ
1	плита	0,5×2,0×3,0	4,9 час
2	цилиндр	D=0,4; h=1,0	2,6 час
3	шар	D=0,4	1,7 час

Задача №4. Определить продолжительность затвердевания алюминиевой отливки с приведенной толщиной стенки R=3 см, если при заливке жидкий металл имел температуру 7800С. Форма песчаная.

Ответ. Время затвердевания =42 мин.

Задача №5. Цилиндрическая чугунная отливка диаметром 100 мм и высотой 250 мм затвердевает в песчаной форме. При заливке металл имел температуру 13500 С. Температура ликвидуса tлик=12400С. Температура солидуса tсол=11400С. Теплота затвердевания L=215 кДж/кг; теплоемкость Сме=0,56 кДж/кг·К. Определить продолжительность затвердевания.

Ответ. Продолжительность затвердевания отливки =30 мин.

5 Численный метод расчета теплообмена между плоской отливкой и песчаной формой

5.1 Теоретические сведения

Аналитические и критериальные способы расчета теплообмена между отливкой и формой возможны лишь в некоторых случаях и при определенных допущениях (постоянство температуры на границе отливка форма, независимость теплофизических свойств металла отливки и материала формы от температуры и пр.). В реальной обстановке многие из этих допущений не оправданы. Поэтому разработаны численные методы решения подобных задач. Численные методы по своей сущности дают приближенные ответы, но в них можно задать любую степень точности сообразно с точностью значений теплофизических свойств металлов и точностью оценки краевых условий. Численные методы разработаны для решения задач на ЭВМ, однако в простейших случаях решение может быть получено без использования ЭВМ.

В плоских отливках, а также в литейной форме с плоскими границами контакта отливка-форма тепловой поток является одномерным, и его температурное поле описывается уравнением теплопроводности Фурье, которое в этом случае записывается следующем образом:

(58)

где Т –температура, 0С;

r –время, с;

d –температуропроводность, м2/с;

х - координата по оси х, м.

При численном расчете бесконечно малые приращения dT, de и dx заменяют конечными разностями ∆ Т, ∆r и ∆ x=h тогда вместо уравнения (58) получают систему из m уравнений типа

(59)

где j = 1+ …m –номер слоя в сечении рассматриваемого тела(m –число слоев толщиной h, параллельных поверхности охлаждения, на которое условно расчленено тело);

Tj, τ + ∆ τ –температура в j-м слое в момент времени r+∆r, 0C;

Tj, τ -температура в j –м слое в момент времени r, 0С;

∆τ –промежуток времени между отдельными итерациями численного расчета, с;

Tj,r, Tj +, τ –температура в слоях с номерами j-1 и j+1 и момент времени r, 0С.

Таким образом, непрерывную функцию T = f(x,r) (58) рассматривают как дискретную по Х и r (59), и вычисления ведут в следующей последовательности. По известному распределению температуры в слоях рассматриваемого тела Tj, r в момент r по формуле (59) рассчитывают дискретные значения температур во всех сечениях тела Tj,r +∆r для промежутка времени r+∆r; затем аналогичным образом рассчитывают распределение температур в тех же сечениях для следующего промежутка времени r+2∆r.

Описанный цикл расчета повторяют заданное число раз или до получения необходимого результата (например, прогрева формы до заданной температуры).

Формула (59) позволяет рассчитать температурное поле внутри плоского тела (отливки) при известной температуре контактирующей с ним внешней среды (формы или

При расчете температурного поля плоского тела необходимо учесть, что оно симметрично относительно осевой плоскости, параллельной поверхности охлаждения, поэтому наряду с граничным условием на контактной границе ( первенство тепловых потоков от тела к среде и наоборот) следует ввести для центра тела граничное условие dТ /dx = о.

Расчет выполнятся по уравнению (59), устойчивое решение которого обеспечивается при условии

(60)

Обозначим . Приняв для упрощения расчетных формул М =1/2 и учтя граничные условия для контактной границы и центра, из (59) получим систему уравнений для расчета температурного поля плоского тела : для контактного слоя

(61)

для слоя I, центр которого отстоит от контактной границы на расстоянии h/2.

(62)

для слоев 2…(m-1)

(63)

для слоя m

(64)

где Тс, τ - температура среды (отливки для прогревающейся формы), ºС

К - коэффициент, равный отношению

(65)

В и В2 - коэффициенты аккумулирующей способности контактирующих друг с другом тела и среды соответственно Вт, с1/2/ (м2.к К).

Величины h и ∆r съязвят соотношением (60) выбор (произвольный) значения одной из них предопределяет значение другой. Для повышения точности расчета стремятся уменьшать h , но при этом из-за увеличения числа 1 итерации возрастает продолжительность расчета. Обычно стремятся к компромиссному варианту: выбирают значение h (или задают число слоев m) , которое обеспечивает приемлемую точность при максимально возможном сокращении длительности (трудоемкости) расчета.

Для плоских протяженных тел, обогреваемых с двух сторон, а также для цилиндрических и сферических при задании числа элементарных слоев т величину И находят из соотношения

(66)

где S - толщина (диаметр) тела, м. В этом случае ∆r определяют по формуле (60) при принятом значение М При М = ½

(67)

Численный метод расчета продолжительности выдержки отливки в форме =rпер + основан на определении для каждого интервала времени температурного поля по соотношениям (61) … (63), затем нахождения количества теплоты, аккумулированной формой от отливки и соответствующего падения температуры металла или теплоты кристаллизации сплава.

I этап. Рассчитываем продолжительность отвода тепла перегрева . Расплав залитый в форму с начальной температурой Тн. ф., остывает с температуры заливки ТЗ до температуры ликвидуса Тл. Охлаждение металла до Тл соответствует окончанию первого этапа. По формулам (61) … (63) находим текущее распределение температур и в форме через интервал времени , значение которого связано с шагом разбиения h1 соотношением (67). На этом этапе расчета .

По разности между текущей и начальной температурами в слоях формы определяем изменение количества теплоты , аккумулируемой формой на этапе отвода теплоты перегрева сплава

(68)

где Сф – теплоемкость уплотненной формовочной смеси, Дж/(кг·К);

ρ – плотность формовочной смеси, кг/м3;

F – площадь поверхности охлаждения отливки м2;

Убыль теплосодержания отливки при остывании его с ТЗ до равна

(69)