Нетрудно видеть, что постановка прямой задачи (10)-(12) подобна постановке прямой задачи (6)-(8).
Будем считать, что
,
где U1 и U2 вектор-функции, каждая в своей области определения удовлетворяющая системе (6).
Обобщенная производная будет равна:
и нетрудно получить
Подставим данные выражения в систему (6), придём к равенству:
Следовательно, приравнивая коэффициенты при дельта-функции и её производной, получим условия склейки в точке x*3, тогда постановку (6)-(8) можно переписать в следующем виде:
(13)
(14)
(15)
(16)
2 Метод послойного пересчёта в применении к системе дифференциальных уравнений теории упругости
Введем квадратную матрицы S и X порядка 3 следующими соотношениями:
, 
,
(17)
, 
.
Подставим (17) в (13) и найдем дифференциальное уравнения, которым удовлетворяют матрицы X и S. Оно может быть записано в следующей форме:
, ,
(18)
, .
Условия склейки (8), равенство (17) дают в силу произвольности вектор-функции U условия склейки для матрицы X, как решения матричного дифференциального уравнения с кусочно-постоянными коэффициентами на отрезке
, в следующем виде:
. (19)
То же самое условие склейки имеет место и для матрицы S в своей области определения.
Пусть 
, m — любое натуральное число из 
. Для каждого такого интервала матрицы A, D, 
, 
являются постоянными. Пусть известно частное решение дифференциальному матричному уравнению Риккати (18). Обозначим его за R. Положим X = Z + R. Тогда уравнение для матрицы Z имеет вид дифференциального матричного уравнения Бернулли
, (20)
= А-1(R — iB), 
=(R + iB')A-1. (21)
Решение дифференциального матричного уравнения Бернулли строится следующим образом. Введем матрицу L=Z-1. Нетрудно проверить, что матрица L будет удовлетворять матричному уравнению
,
решение которого, если матрицы А, , постоянные, на отрезке 
дается формулой
, (22)
где Lm — известное значение матрицы L в точке x3m.
Таким образом, зная матрицу L и R, определяем матрицу X на [x3m-1, x3m], т. е. вопрос решения данного матричного уравнения, сводится к умению находить частное решение дифференциального матричного уравнения Риккати и определять начальные условия на интервале, на котором данное матричное уравнение решается.
Заметим, что решение матричного уравнения Риккати
(X + iB')A-1(X — iB) = D (23)
является частным решением дифференциального матричного уравнения Риккати (18).
Нетрудно видеть, что для матриц и , введенных соотношениями (21), уравнение (23) примет вид
. (24)
Матрицы и связаны соотношениями
, 
, 
. (25)
Заменяя в (24) матрицу ее выражением через матрицу из (25), приходим к следующему уравнению:
. (26)
Известно, собственные числа матриц , удовлетворяющих уравнению (26), должны удовлетворять уравнению
det[Aλ2 + i(B + B' ) λ - D] = 0. (27)
Нетрудно видеть, что уравнение (27) есть ни что иное, как характеристическое уравнение для системы (6), которое является алгебраическим уравнением шестого порядка.
Известно, что в анизотропной среде в общем случае распространяется три волны — две квазипоперечных и одна квази-продольная. Шесть собственных чисел (решений уравнения (27)) должны распасться на две группы: три собственных числа λj (j =
) будут иметь положительную действительную часть, а три λj (j = 
) - отрицательную. Это объясняется тем, что в среде распространяются два вида волн: падающие и отраженные. В некоторых случаях происходит слияние квазипоперечных волн и в среде распространяется две волны: поперечная и продольная. Математически это будет проявляться в том, что два корня λ1 и λ2 могут совпадать, а корень λ3 будет всегда отличен от корней λ1 и λ2. Примером этому может служить изотропная среда. В ней распространяется две волны — продольная и поперечная, скорость продольной волны всегда больше поперечной. Характеристическое уравнение (27) для изотропной среды имеет вид
.
Итак, решая задачу (27), имеем шесть корней: три с положительными и три с отрицательными действительными частями.
Из возможных различных троек чисел λk, k =
, выберем только две: первая тройка будет содержать только λk с отрицательными действительными частями, вторая тройка будет содержать только те λk, которые имеют только положительные действительные части.
Почему мы останавливаем наш выбор только на этих тройках? Если некоторая вектор-функция 
для x3 > 0 является решением уравнения
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
