Формулы для численного решения прямой динамической задачи сейсмики в частотной области для горизонтально-слоистых сред (стр. 6 )

а0 = det D,

где для краткости введено обозначение

, det{BBB} = det B,

и Aij, Bij и Dij являются компонентами матриц A, B и D соответственно.

Для решения уравнения (44) может быть использован метод Хичкока [7] выделения многочлена меньшей степени из исходного многочлена.

Выделим многочлен второго порядка из многочлена шестого порядка. Разделим уравнение (44) на первый коэффициент c 6 и представим уравнение в следующем виде:

λ6 + d5λ5 — d4λ4 — d3λ3 + d2λ2 + d1λ — d0 = (λ2 + rλ + q)( λ4 + S1λ3 + s2λ2 + s3λ + s4) + Rλ + Q.

Здесь введены обозначения:

, , , , .

Нетрудно видеть, что R = R(r, q) и Q = Q(r, q).

Согласно методу Хичкока ищутся такие r и q, для которых

R(r, q)=0, Q(r,q)=0. (45)

Для поиска решения системы (45) используется метод Ньютона

Частные производные Rг, Qq, Rq, Qr и значения функций R, Q взяты в точке (r{k},q{k}), частные производные вычисляются по формулам:

Rr = -s4 - qr2 –rr3, Rq = r3, Qr = -qr3, Qq = -a4 - qr2,

r1 = r -s1, r2 = q - s2 - rr1, r3 = -s3 - qr1 — rr2.

Для того чтобы итерационный процесс Ньютона сходился, необходимо выбрать начальное приближение (r{0},q{0}) достаточно близко к решению. От выбора точки начального приближения зависит как сходимость процесса минимизации метода Ньютона (см., например, [6]), так и количество итера­ций, необходимых для достижения точки минимума с необходимой точностью.

Рассмотрим уравнение λ2 + rλ + q = 0, очевидно, что r =-(λ1 + λ2) и q = λ1λ2 (здесь λj - корни квадратного уравнения).

Принимая во внимание исследование корней из [3], выберем начальное приближение для величин r и q в следующем виде:

r0 = 0, q0 = - (р2/сзз + v2). (46)

Данный выбор обусловлен следующими соображениями: из [3] известно, что решения характеристического уравнения (43) изменяются в узких пределах. Для изотропной среды матрица A имеет вид

и характеристическое уравнение (44) имеет следующие корни: пару корней кратности два и пару простых корней.

Таким образом, выбор начального приближения в форме (46) есть точные значения для r и q в случае изотропной среды для простых корней .

Тестирование алгоритма проводилось для трансверсально-изотропной среды, когда ось симметрии бесконечного порядка принадлежит плоскости Ox1x2. В этом случае характеристическое уравнение (44) является бикубическим и его корни могут быть вычислены при помощи формул Кардано.