Формулы для численного решения прямой динамической задачи сейсмики в частотной области для горизонтально-слоистых сред (стр. 4 )

,

и если матрица имеет все собственные числа с положительными действительными частями, то

,

а если матрица имеет все собственные числа с отрицательными действительными частями, то

.

Обозначим

, (28)

где матрица строится с использованием набора собственных чисел с положительными и отрицательными действительными частями соответственно, индекс m означает, что значения матриц A, D, , берутся на интервале [x3m-1, x3m].

Таким образом, если в точке x3N + 0 положить

X = X(-)N+1

то в подстилающем слое решение ДМУР будет постоянным, вектор-функция U будет затухать на бесконечности, что отвечает второму краевому условию (14).

В силу условия склейки (19) известно краевое условие XN для решения дифференциального матричного уравнения Риккати на интервале [x3N-1, x3N]. Решив дифференциальное матричное уравнение Риккати на этом интервале, знаем значение матрицы X в точке x3N-1 + 0. Используя условия склейки (19), получаем краевое условие XN-1 для решения дифференциального матричного уравнения Риккати на интервале [x3N-2, x3N-1], и так далее, то есть переходим со слоя на слой справа налево.

В качестве частного решения дифференциального матричного уравнения Риккати (18) на интервале [x3m-1, x3m] возьмем матрицу X(+)m.

Таким образом, имеем решение дифференциального матричного уравнения Риккати в следующем виде:

, (29)

.

Действуя аналогичным образом, можем получить для решение дифференциального матричного уравнения Риккати на отрезке [x3n-1, x3n] для послойного пересчёта слева направо:

, (30)

В силу первого краевого условия (14) S0 = S(0) = 0, т. е. известно краевое условие для решения дифференциального матричного уравнения Риккати на интервале [x30, x31]. Решив дифференциального матричного уравнения Риккати на этом интервале, знаем значение матрицы S в точке x31-0. Используя условия склейки (19), получаем краевое условие S1 для решения дифференциального матричного уравнения Риккати на интервале [x31 , x32], и так далее, т. е. переходим со слоя на слой слева направо.

3 Решение системы дифференциальных уравнений теории упругости в любой точке x3 и след решения в точке x3=0

Из условий склейки (16) в точке x3* и определения матриц X и S (18) получим

(31)

,

где

, .

Из (31) получим

, (32)

(33)

т. е. получили краевые условия, чтобы решить дифференциальные уравнения (17). Рассмотрим первое из них и решим его на интервале [x3m-1, x3m]. Имеем задачу

, . (34)

Очевидно, если , то для дифференциального уравнения (34) необходимо взять начальное условие , значение которого вычислено в (32).

На интервале имеем представление , следовательно, дифференциальное уравнение (34) перепишется

. (35)

Умножим (35) слева на матрицу Z, получим

. (36)

Заменим выражение в скобках на выражение, следующее из (20), получим:

или

. (37)

Следовательно,

или

, (38)

Если x3 = x3m, то

, (39)

т. е. получили рекурентную формулу. На интервале [x3*, xi3] имеем