,
.
Если необходимо вычислить решение системы дифференциальных уравнений теории упругости до точки x3*, то можно действовать так же, как и выше, следовательно, можно получить:
, 
(40)
Если x3 = x3n-1, то
, (41)
Т. о., если источник лежит в первом слое, то:
, (42)
здесь учтено, что S0 = 0.
4 Порядок вычислений при нахождении следа в точке x3 = 0
Для определенности будем считать, что точка 
.
Для определения 
выполняем следующие действия:
• Для системы дифференциальных уравнений теории упругости в полупространстве 
находим корни характеристического уравнения (43) методом Хичкока.
• Выбираем три из шести корней характеристического уравнения с отрицательными действительными частями и строим матрицу 
, а по ней строим матрицу 
(см. (28)), в силу условий склейки (19) матрица будет равна матрице XN, которая является начальным условием для решения дифференциального матричного уравнения Риккати, выраженного формулой (29), на интервале 
.
• Для определения матрицы X в точке 
выполняем следующие действия:
- Для системы дифференциальных уравнений теории упругости на интервале 
находим корни характеристического уравнения (43) методом Хичкока.
- Выбираем три из шести корня характеристического уравнения с положительными действительными частями и строим матрицы и 
, а по ним строим матрицу 
(см. (28). Таким образом, на этом шаге имеем матрицы , , и с предыдущего шага имеем матрицу 
.
- Вычисляем матрицу I, положив 
(см. параграф 5.3), и, следовательно, имеем по формуле (29) решение дифференциального матричного уравнения Риккати X в точке 
.
- В силу условий склейки (19) имеем значение 
для следующего интервала.
- Повторяем данные действия, пока 
.
• После предыдущих действий имеем значение матрицы X в точке
, а в силу условий склейки (19) имеем матрицу X1 .
• Для системы дифференциальных уравенний теории упругости на интервале [0, x31 ] находим корни характеристического уравнения (43) методом Хичкока.
• Выбираем три из шести корня характеристического уравнения с положительными действительными частями и строим матрицы и , а по ним строим матрицу 
(см. (28)), таким образом, на этом шаге имеем матрицы , , и с предыдущего шага имеем матрицу 
.
• Вычисляем матрицу I, положив x3 = x3* (см. параграф 5.3), и, следовательно, вычисляем по формуле (29) решение дифференциального матричного уравнения Риккати X в точке x3 = x3*, т. е. получаем матрицу X*.
• Используем три оставшихся корня характеристического уравнения с отрицательными действительными частями и строим матрицы и , а по ним строим матрицу 
(см. (28)), таким образом, на этом шаге имеем матрицы , , и имеем матрицу S0 = 0. Значение матрицы S* даёт формула (30), если положить x3 = x*3.
• Вычислим значение 
по формуле (32).
• Вычислим значение 
по формуле (42).
Для численного решения обратной задачи для системы дифференциальных уравений теории упругости для горизонтально-слоистой однородной анизотропной среды, когда дополнительная информация задана на поверхности x3 = 0 и источник сейсмических колебаний находится в первом слое, порядок вычисления значений 
полностью описан. Если источник лежит не в первом слое, а в любом другом, то очевидно, как данный порядок действий может быть изменён.
5 Решение вычислительных проблем
Можно сформулировать три основных вычислительных проблемы:
Проблема 1: Численное определение корней характеристического уравнения системы (6).
Проблема 2: Вычисление матриц и .
Проблема 3: Вычисление значений решения дифференциального матричного уравения Риккати по формулам (29) и (30).
5.1 Решение Проблемы 1
Метод решения прямой задачи (13)-(16) разрабатывается для численного решения обратной задачи для системы дифференциальных уравнений теории упругости, для задач математического моделирования волновых полей в горизонтально-слоистых однородных изотропных и анизотропных средах. Эти задачи требуют многократного решения прямой задачи. Таким образом, очевидно требование к алгоритму нахождения корней характеристического уравнения: численный алгоритм должен позволить вычислять их быстро и с приемлемой точностью. От скорости счета по этому алгоритму зависит скорость счета при решении прямой задачи и, следовательно, других задач на ее основе.
Каким образом удовлетворить данное требование?
Поскольку метод нахождения корней характеристического уравнения является итерационным, то важна скорость сходимости данного метода. Желаемая скорость сходимости метода — скорость сходимости метода Ньютона. Второй немаловажный фактор — скорость решения задачи итерационным методом и выбор начального приближения. Чем лучше выбрано начальное приближение, тем меньше необходимо итераций для достижения решения с выбранной точностью. Для того чтобы выбрать такое начальное приближение, необходимо проанализировать априорную информацию о решении задачи. Выбранный метод итерационного решения задачи должен позволить учесть данную априорную информацию.
Проведем необходимое исследование.
Система (13) имеет постоянные коэффициенты, и, следовательно, ее решение может быть получено в виде комбинации матричных экспонент, для чего необходимо найти все решения характеристического уравнения данной системы
det[Aλ2 + iBλ-D] = 0. (43)
Уравнение (43) может быть представлено в виде
. (44)
Здесь коэффициенты уравнения имеют вид
а6 = det A,
a5 = det{AAB} + det{ABA} + det{BAA},
a4 = det{AAD} + det{ABB} + det{ADA} + det{BAB} + det{BBA} + det{DAA},
a3 = det{ABD} + det{ADB} + det{BAD} + det{BBB} + det{BDA} + det{DAB} + det{DBA},
a2 = det{ADD} + det{BBD} + det{BDB} + det{DAD} + det{DDA} + det{DBB},
a1 = det{DDB} + det{DBD} + det{BDD},
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
