Формулы для численного решения прямой динамической задачи сейсмики в частотной области для горизонтально-слоистых сред (стр. 1 )

, , Т. Миргаликызы

Формулы для численного решения прямой динамической задачи сейсмики в частотной области для горизонтально-слоистых сред

(Евразийский национальный университет им. ёва, г. Астана)

Данную работу можно рассматривать как продолжение работы [1] этого сборника. При решении обратной динамической задачи сейсмики можно считать, что известна информация следующего вида:

где вектор-функция состоит из и которые являются компонентами вектора смещений на поверхности земли, — параметр преобразования Лапласа по временной переменной, и — параметры преобразования Фурье по горизонтальным переменным.

Численно обратная динамическая задача сейсмики может решаться при помощи минимизации функционала невязки:

.

Минимизация требует многократного решения прямой задачи, т. е. скорость решения обратной задачи напрямую зависит от скорости решения прямой задачи, следовательно, необходимо построить быстрый алгоритм решения системы дифференциальных уравнений теории упругости. С этой целью выберем горизонтально-слоистую модель среды и метод послойного пересчёта для решения прямой задачи [2, 3]. Все полученные ниже формулы будут записаны так, чтобы при послойном пересчёте ошибка вычислений не накапливалась.

1 Система дифференциальных уравнений теории упругости для смещений и её сведение в частотную область

Рассмотрим среду - n-слойную структуру с границами раздела ; m-ый слой находится в интервале , последний N+1 (подстилающий) слой есть . Физические свойства каждого слоя характеризуются величинами модулей упругости Cmjkl и плотностью , то есть Cmjkl и - кусочно-постоянные функции переменной x3, 0<x3<.

Источник вида

(1)

в начальный момент времени t = 0 возбуждает в среде упругие колебания. Источник находится в одном из слоев, то есть . Источник вида (1) служит моделью взрыва.

Продольные и поперечные смещения среды под действием источника (1) могут быть определены из системы дифференциальных уравнений теории упругости следующего вида:

,

, , .(2)

В начальный момент времени имеют место следующие условия:

, . (3)

Отсутствие нормальных напряжений на поверхности x3=0 обеспечивают краевые условия

, . (4)

Считаем, что при переходе через точки разрыва среды поля смещений и напряжений остаются непрерывными, т. е. в любой точке имеют место условия склейки

, , . (5)

Целью настоящей работы является создание метода вычисления величин

, ,

где функции есть образ функций, - параметр преобразования Лапласа по временной переменной t, и — параметры преобразования Фурье по пространственным переменным x1 и x2 соответственно.

Проведем стандартные действия для прямой задачи (2)-(5) с целью получить задачу для функций um. Учтем известные соотношения для упругих постоянных Cmjkl(x3)

Cmjkl= Cjmkl= Cmjlk= Cklmj, Cqp= Cmjkl, q=(mj), p=(kl),

(11) → 1, (22) → 2, (33) → 3, (23) = (32) → 4, (13) = (31) → 5, (12) = (21) → 6.

Тогда матрица независимых модулей упругости примет вид симметричной квадратной матрицы C = {Cqp} порядка 6:

После преобразования Лапласа по переменной t, после преобразования Фурье по переменным x1 и x2

приходим к следующей постановке:

, (6)

, , , (7)

, , . (8)

Здесь штрих ' обозначает, что матрица транспонированная, и введены следующие обозначения:

, , ,

,

, , ,

и cqp = Cqp/p - приведеные модули упругости.

Нетрудно видеть, что матрицы A, D - симметричные, функция F(p) - образ Лапласа функции.

1.1 Изотропная среда, основные виды анизотропных сред, используемые в геофизике

Основные модели сред, использующиеся в геофизике:

1) Изотропная среда

, ,

здесь , скорости продольных и поперечных волн, - параметры Ламе;

2) Трансверсально-изотропная среда (ось бесконечной симметрии совпадает с осью Ox3)

, ;