Методические рекомендации и указания по изучению дисциплины Математика в экономике (стр. 3 )

2. Геометрические вероятности № 26-45 [9].

3. Теоремы сложения и умножения 46-79 [9].

4. Вероятность появления хотя бы одного события № 80-88 [9].

5. Формула полной вероятности № 89-96 [9].

6. формула Байеса № 97-109 [9].

7. Формула Бернулли № 000-118 [9].

8. Локальная и интегральная теоремы Лапласа № 000-130 [9].

9. Дискретные случайные величины и их характеристики

a) Закон распределения вероятностей ДСВ. Законы биномиальный и Пуассона № 000-183 [9];

b) Простейший поток событий № 000-187 [9].

c) Числовые характеристики ДСВ № 000-227 [9].

10. Законы больших чисел. № 000-251[9]

Литература

1. Сборник задач по аналитической геометрии. М.,Н. 19с.

2. Сборник задач по курсу математического анализа. 1985.416 с.

3. Задачи и упражнения по высшей математике. Ч.1. . Минск, Вышэйшая

школа. 19с.

4. Задачи и упражнения по высшей математике. Ч. 2. . Минск, Вышэйшая

школа. 19с.

5. Сборник задач по математическому анализу. Под ред. . М. Наука 2003.624с.

6. Сборник задач по аналитической геометрии. . 1980.240 с.

7. Сборник задач по высшей математике. . М. Наука. 1987.359 с.

8. Сборник задач по линейной алгебре. . М., Лаборатория базовых знаний. 20с.

9. Теория вероятностей и математическая статистика. . М. Высшая школа.19с.

10. Общий курс математики для экономистов под редакцией проф. , Москва, ИНФРА-М, 2005г.

11. Сборник задач по высшей математике для экономистов под редакцией проф. , Москва, ИНФРА-М, 2005г.

12. Кремер для экономистов. М. Юнити, 2006.

Практическая работа №1

Тема: Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии

1 Определители и матрицы

1.1 Раскрытие определителей

Пример 1 Раскрыть

Пример 2 Раскрыть

1.2 Действия над матрицами

Сложение, вычитание. Складываются и вычитаются элементы на соответствующих местах.

Пример 3

Пример 4

1.3 Умножение матриц

Для умножения необходимо равенство количества столбцов первой матрицы с количеством строк второй матрицы.

(23) (33) (23).

Каждая строка первой матрицы умножается на каждый столбец второй матрицы, и результат каждого умножения складывается и помещается в строку.

1.4. Ранг матрицы

Рангом называется наибольший порядок неравного нулю минора, т. е., порядок наибольшего определителя, неравного нулю, «вырезанного» из матрицы.

Пример 5 Найти ранг

Решение Определитель матрицы , т. к. первая и третья строки пропорциональны, поэтому . .

Следовательно , т. к. минор второго порядка не равен нулю.

Пример 6 Найти ранг . . Наибольший минор первого порядка.

1.5. Обратная матрица

Обратная матрица существует только у квадратной матрицы и только тогда, когда её определитель не равен нулю.

Она находится по формуле:

, если .

Например: ; .

Знаки определяются по суммам индексов: если чётное – плюс, а если нечётное, то минус.

Пример 7 Найти обратную матрицу

.

.

Пример 8 Найти обратную матрицу

Решение , ..

Механически: у матрицы второго порядка на главной диагонали элементы местами меняются, а на побочной знаки меняются.

1.6 Решение матричного уравнения

- матричное уравнение, где A, B, X – матрицы. Алгоритм решения .

Пример 9 Решить матричное уравнение.

Решение ; ;

; .

Пример 10 - единичная матрица (может быть любого порядка). , . Найти .

Решение

.

2 Векторная алгебра

2.1 Сложение и вычитание векторов, длина вектора

Пусть , тогда .

Если , то

Пример 11 Найти , если

Решение Найдем . Тогда

2.2 Скалярное произведение векторов

или

или

Пример 12 Даны . Найти .

Решение

Пример 13 Найти косинус угла между векторами и

Решение

Пример 14 Найти проекцию вектора на вектор

Решение Проекция вектора на вектор находится по формуле Если , то угол между ними . Тогда , то есть - признак перпендикулярности двух векторов.

Пример 15 При каком значении векторы и перпендикулярны?

Решение , .

2.3 Векторное произведение двух векторов

- векторное произведение, где . Модуль векторного произведения находится по формуле . Формула векторного произведения (т. е. координаты вектора ) имеет вид

Пример 16 Найти векторное произведение векторов , а также модуль данного векторного произведения.

Решение ,

Пример 17 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах из предыдущего примера.

Решение Площадь параллелограмма численно равен модулю векторного произведения,

Пример 18 Найти площадь треугольника, построенного на этих векторах.

Решение .

Условия коллинеарности векторов: или .

Пример 19 При каких значениях и векторы коллинеарны?

Решение , отсюда

2.4 Направляющие косинусы и орт вектора.

Ортом вектора называется единичный вектор, сонаправленный с ним. Если углы между вектором и координатными осями, то косинусы этих углов называются направляющими косинусами.

Координаты орта вектора и направляющие косинусы этого вектора находят из следующей формулы: если , то орт вектора равен , а направляющие косинусы .

Пример 20 Найти координаты орта вектора .

Решение

2.5 Разложение вектора на плоскости по базису двух других векторов

Разложить вектор – означает представить данный вектор в виде линейной комбинации двух других.

Пример 21 , , . Найти разложение по базису и . , где неизвестные числа.

Решение Данную векторную запись представим в координатной форме: ,

Ответ:

2.6 Смешанное произведение трёх векторов

Даны координаты векторов: , , .

Смешанное произведение векторов:

Приложения:

1) Условие компланарности трёх векторов. .

2) Объём параллелепипеда, построенного на векторах .

3) Объём пирамиды

Пример 22 При каком значении «m» векторы компланарны, если .

Решение ,

Пример 22а Образуют ли векторы базис?

Решение Если , то они образуют базис.

3 Аналитическая геометрия на плоскости

3.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y=kx+b, где k – угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси ox)

Пример 23 Найти угловой коэффициент прямых: у=3х+5;4у+2х-1=0 , k=3; у=-2\4х+1\4, откуда k=-2\4=-1\2

3.2 Условие параллельности двух прямых на плоскости

Пример 24 Параллельны ли прямые 3х+4у+5=0, 6х+8у-1=0?

Решение 4у=-3х-5, у=-3\4х-5\4, ; 8у=-6х+1, у=-6\8х+1\8, . Да, параллельны.

3.3 Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости.

или

Пример 25 Проверить перпендикулярность прямых 3х+4у+1=0 и 4х-3у+5=0.

Решение , то есть прямые перпендикулярны.

3.4 Уравнение прямой, проходящей через одну точку

, где - координаты данной точки, а - угловой коэффициент.

Пример 26 Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(3;1) и перпендикулярно прямой 5х-у+2=0.

Решение Найдем угловой коэффициент данной прямой, переписав уравнение прямой в виде у=5х+2, откуда . Тогда для искомой прямой . Таким образом, у-1=-1/5(х-3). Раскрыв скобки, получим 5у+х-8=0.

3.5 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

:

Пример 27 Написать уравнение медианы из вершины А треугольника АВС, если А(2;1), В(3;0), С(4;7).

Решение Пусть Д – основание медианы, середина отрезка ВС. Тогда координаты точки Д находим по формуле

, Д(3,5;3,5)

Уравнение медианы АД:

, ,

Пример 28 Найти длину медианы АД.

Решение

3.6 Уравнение прямой в отрезках

,

где - отрезки, отсекаемые прямой на осях ОХ и ОУ.

Пример 29 Привести уравнение прямой к виду « в отрезках».

Решение перенося свободный член вправо и деля на него, получим: , .

Пример 30 Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и прямой .

Решение Найдем отрезки, отсекаемые этой прямой на осях координат и вычислим площадь прямоугольного треугольника. , откуда

Пример 31 Записать уравнение прямой, проходящей через точку Р(5;2) и отсекающей равные отрезки на осях.

Решение , подставив вместо переменных координаты точки Р, найдем , откуда , то есть уравнение прямой имеет вид или .

3.7 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

где - расстояние от начала координат до данной прямой : .

Расстояние от точки до прямой определяется по формуле

,

где - координаты данной точки.

Пример 32 Привести общее уравнение прямой к нормальному виду.

Решение Уравнение умножаем на нормирующий множитель , знак выбирается противоположный знаку свободного члена.

Пример 33 Найти длину высоты из вершины , если

Решение Составим уравнение как уравнение прямой, проходящей через две точки:

или

.

Находим длину высоты из вершины как расстояние от точки до прямой .

3.8 Прямая на плоскости (другие задачи)

Пример 34 Записать уравнения прямых, которые проходят через точку А(3;-1) и 1) параллельно оси ОХ: у=1; 2)параллельно оси ОУ: х=3; 3) параллельно биссектрисе первого координатного угла, т. е. у=х:

Решение у+1=1(х-3), отсюда у=х-4; 4) параллельно прямой у=3х+9: у+1=3(х-3), у=3х-10

Пример 35 Точка А(2;-5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой х-2у-7=0. Вычислить площадь квадрата.

Решение Найдем длину стороны квадрата как расстояние от точки А до данной прямой, так как А не лежит на данной прямой:

, .

Пример 36 Найти угол между прямыми 3х-у+1-0 и х-2у-2=0.

Решение Угол находится по формуле , где угловые коэффициенты соответствующих прямых. , отсюда

3.9 Кривые второго порядка

Пример 37 Что определяет уравнение:

1) − окружность, где − центр, − радиус.

2) - окружность, где − центр, - радиус.

3) − эллипс, − полуоси

, если − большая полуось , если − большая полуось

− половина расстояния между фокусами

(либо ) – эксцентриситет

4) − гипербола, − действительная полуось, − мнимая полуось: , − асимптоты гиперболы, − эксцентриситет.

5) параболы:

симметрична относительно ,

симметрична относительно оси .

Фокусы параболы находятся на осях симметрии.

6) − нижняя часть параболы

7) − верхняя половина окружности

Пример 38 Найти фокусы эллипса .

Решение , ,

Пример 39 Найти эксцентриситет гиперболы .

Решение , .

Пример 40 Найти центр и радиус окружности .

Решение Сгруппировав переменные и выделив полный квадрат, получим: , , - центр, - радиус.

4 Аналитическая геометрия в пространстве

4.1 Уравнение плоскости, проходящей через одну данную точку с данным нормальным вектором

где - нормальный вектор плоскости, - координаты точки.

Пример 41 Записать уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющий нормальный вектор .

Решение , .

Пример 42 Записать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам.

Решение Так как нормальный вектор плоскости будет перпендикулярен этим векторам, координаты его найдем по формуле:

;

4.2 Уравнение плоскости в отрезках

где - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях ОХ, ОУ, ОZ

Пример 43 Привести общее уравнение плоскости к виду «в отрезках».

Решение , , .

Пример 44 Найти объем пирамиды, «отсеченной» плоскостью от координатных плоскостей.

Решение , отсюда , .

4.3 Угол между плоскостями