Методические рекомендации и указания по изучению дисциплины Математика в экономике (стр. 4 )

Величина угла между плоскостями определяется

.

Пример 45 Найти между плоскостями и .

Решение .

4.4 Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

− условие параллельности.

− условие перпендикулярности.

Пример 46 Определить при каком значении плоскости будут перпендикулярны?

Решение и . ; .

Пример 47 Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка и перпендикулярно к этому отрезку.

Решение Пусть , , - середина отрезка . − будет нормальным вектором для искомой плоскости.

Пример 48 При каких значениях и плоскости и будут параллельны?

Решение По признаку параллельности плоскостей

,

4.5 Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пример 49 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(2;1;0), В(0;3;5), С(0;0;1).

Решение

,

,

4.6 Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

,

где и .

,

где − координаты данной точки.

Пример 50 Найти длину высоты пирамиды АВСД, опущенной из вершины Д, если А(3;1;2), В(1;1;0), С(1;2;3), Д(3;4;5).

Решение Составим уравнение плоскости АВС:

, .

Искомая высота есть расстояние от точки Д до плоскости АВС:

Пример 51 Привести уравнение плоскости 2x−3y+4z+7=0 к нормальному виду.

Решение Составляем нормирующий множитель, знак которого выбирается противоположный знаку Д:

Уравнение плоскости умножив на этот множитель, получим:

.

4.7 Неполные уравнения плоскостей

Пример 52 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(3;-4;1) параллельно плоскости ОХZ.

Решение Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен плоскости OXZ, поэтому в его уравнении А=С=0 и Ву+Д=0. Подставив координаты точки А, получим -4В+Д=0, Д=4В, Ву+4В=0, у+4=0.

Пример 53 Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ и точку М(3;-5;2).

Решение Искомое уравнение имеет вид Ах+Сz=0.Здесь В=0 и Д=0, потому что нормальный вектор перпендикулярен оси ОУ и плоскость проходит через начало координат. Подставив координаты точки М, получим 3А+2С=0, С=-3А/2, Ах-3/2Аz=0, x-3/2z=0, 2x-3z=0.

4.8 Прямая в пространстве

1) Каноническое уравнение прямой:

,

где - направляющий вектор прямой, - координаты точки, принадлежащей прямой.

2) Параметрическое уравнение:

3) Общее уравнение прямой:

4) Уравнение прямой проходящей через две заданные точки:

5) Угол между двумя прямыми в пространстве:

6) Условие параллельности двух прямых в пространстве

7) Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве:

8) Угол между прямой и плоскостью

9) Условие параллельности прямой и плоскости:

10) Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

11) Условие пересечения прямых в пространстве:

Чтобы прямые в пространстве пересекались, они должны лежать в одной плоскости, поэтому

12) Расстояние от точки до прямой, проходящей через точку с направляющим вектором вычисляется по формуле: .

Пример 54 Написать уравнение плоскости, перпендикулярной прямой

Решение и проходящей через точку с координатами (2;0;1). Направляющий вектор данной прямой может служить нормальным вектором для искомой плоскости, т. е. , тогда , .

Пример 55 Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Решение Перепишем уравнение прямой в параметрическом виде и подставим вместо переменных в уравнение плоскости их выражения через параметр:

, , отсюда .

Подставив в параметрическом уравнении прямой вместо параметра найденное значение, получим координаты искомой точки,

Пример 56 Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(2;0;-3) и параллельно прямой .

Решение Направляющий вектор данной прямой будет также направляющим и для искомой прямой, т. е. . Напишем каноническое уравнение для искомой прямой: .

Пример 57 Вычислить угол между прямой и плоскостью .

Решение Найдем угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. , , .

Пример 58 При каких значениях и прямая перпендикулярна к плоскости ?

Решение По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: , отсюда

.

Пример 59 Пересекаются ли прямые и ?

Решение . Не пересекаются.

Практическая работа № 2

Тема: Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.

1 Область определения функции

Схема:

1) если , то область определения имеет вид ,

2) если , то область определения имеет вид ,

3) если , то область определения имеет вид ,

4) если , то область определения имеет вид .

Пример 1 Найти область определения функции .

Решение , . Ответ:

Пример 2 Найти область определения функции .

Решение , . Ответ: .

Пример 3 Найти область определения функции .

Решение , , , , . Ответ:

Пример 4 Найти область определения функции .

Решение , , . Ответ: .

2 Предел функции

Правило Лопиталя

; .

Пример 5 .

Пример 6 .

Пример 7

.

Пример 8 .

3 Первый замечательный предел

.

Следствия: , , .

Эквивалентность бесконечно малых величин (при ):

, , ,

, , .

Нижеследующие пределы можно решать с помощью 1-го замечательного предела, с помощью эквивалентности бесконечно малых величин, а также по правилу Лопиталя.

Пример 9 или

Пример 10 или (применим сначала эквивалентность, затем правило Лопиталя):

4 Второй замечательный предел

или .

Пример 11

Пример 12 . В нижеследующих примерах нет неопределенности .

Пример 13.

Пример 14 .

Пример 15 .

5 Следствия из второго замечательного предела

, , , ,

6 Односторонние пределы

- предел слева, - предел справа.

Пример 16 Найти предел слева функции при .

Решение .

Пример 17 Найти предел справа функции при .

Решение .

Пример 18 Найти предел слева функции при .

Решение

.

Пример 19 Найти точки разрыва функции .

Решение , , точки разрыва .

Пример 20 Найти точки разрыва функции .

Решение - точка разрыва 2-го рода, так как .

7 Дифференциальное исчисление функции одной переменной

7.1 Производная функции

Производной функции называется .

Таблица производных:

Основные правила дифференцирования:

1) 3)

2) 4)

7.2 Логарифмическое дифференцирование

а) применяется при произведении и частном более двух функций, , , .

б) при дифференцировании сложной показательной функции,

, .

Производную сложной показательной функции можно найти по формуле:

.

7.3 Дифференцирование функции, заданной в параметрическом виде.

, .

Пример 21 Найти производную функции .

Решение .

7.4 Дифференцирование сложной функции

, .

Пример 22 .

Пример 23 .

Пример 24 .

Пример 25 .

Пример 26 .

7.5 Дифференцирование неявной функции

Пример 27 , ,

, .

7.6 Геометрический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной равен производной от данной функции в точке касания, т. е. , если дана и - точка касания, то . Уравнение касательной имеет вид: .

Пример 28 Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

Решение , , , , .

Пример 29 Выяснить, в какой точке кривой касательная составляет с осью угол .

Решение , , ,

.

Пример 30 Найти точку на кривой , касательная в которой параллельна прямой .

Решение Угловой коэффициент прямой равен 3, поэтому производную от этой кривой приравниваем к этому числу:, , . .

Ответ: (2;26).

Пример 31 Найти угловой коэффициент нормали к кривой в точке .

Решение Нормаль перпендикулярна касательной, поэтому угловые коэффициенты их обратно пропорциональны:

.

Механическое приложение производной : .

Пример 32 Закон движения материальной точки . Найти скорость движения точки в момент времени сек.

Решение 6 м/сек.

Пример 33 По оси движутся две материальные точки, законы движения которых и . В какой момент времени их скорости окажутся равными?

Решение .

,.

7.7 Приложения производной к исследованию функции. Экстремумы функции

1-й способ 1) Находим . 2) Приравняем критические точки. 3) Исследуем изменение знака при переходе слева направо через каждую критическую точку. Если знак меняется с «+» на «- », то в этой критической точке «max»; если знак производной меняется с «- » на «+», то – «min»

Пример 34 Найти экстремумы функции .

Решение Находим критические точки: , . Проверяем знак производной на следующих интервалах: при ; при ; при . Значит - точка «max», - точка «min».

2-й способ 1) Находим ; 2) Приравняем критические точки; 3) находим ; 4) Подставляем в каждую критическую точку: если при этом , то в критической точке «min»; если , то в этой критической точке «max».

Пример 34а .

Решение Проверяем знак второй производной в критических точках: , значит точка - точка «min»; ,то точка - точка «max».

Пример 35 Найти экстремумы функции .

Решение ни при каком действительном , поэтому критических точек нет, т. е. нет точек экстремума.

Пример 36 Исследовать на экстремум функцию .

Решение - критическая точка. Дальше не исследуя, можно заключить, что - точка « max», так как данная кривая является параболой ветвями вниз и эта критическая точка вершина параболы.

Пример 37 Найти экстремумы функции .

Решение Графиком этой кривой также является парабола, вершина которой находится в точке (0;4). Значит - точка «min».