7.8 Наименьшее и наибольшее значение функции на интервале

Схема: 1) Находим критические точки, входящие в данный интервал. 2) Вычисляем значения функции во всех критических точках и на концах интервала. Из этих значений выбираем наименьшее и наибольшее.

Пример 38 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение , критических точек нет. Находим значения функции на концах отрезка: − наименьшее значение. − наибольшее значение.

Пример 39 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение - критическая точка, но она не входит в данный интервал, поэтому проверяем значения функции на концах отрезка: - наименьшее, - наибольшее значение.

Пример 40 Найти экстремумы функции .

Решение , при - четном - «max», при - нечетном – «min».

7.9 Интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

В интервале, где , функция возрастает; в интервале, где , функция убывает.

Пример 41 Найти интервал возрастания функции .

Решение при любых значениях независимой переменной, поэтому функция возрастает на всей действительной оси.

Пример 42 Найти интервал убывания функции .

Решение при любых значениях независимой переменной, поэтому функция не имеет интервала убывания.

Пример 43 Найти интервал возрастания функции .

Решение , функция возрастает на .

Пример 44 Найти интервал убывания функции .

Решение , функция убывает на .

Пример 45 Найти интервалы монотонности функции .

Решение ; ; интервал возрастания . ; интервал убывания .

7.10 Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба.

Точки, в которых , называются критическими точками второго рода.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Если вторая производная меняет знак при переходе через эти критические точки, то они называются точками перегиба.

В интервале, где , кривая выпукла; если в интервале , то кривая вогнута.

Пример 46 Найти интервал вогнутости графика функции .

Решение , кривая всюду вогнута, так как вторая производная положительна для всех значений независимой переменной.

Пример 47 Найти точки перегиба для функции

Решение ; при , функция выпукла; при , функция вогнута. Точка − точка перегиба.

Пример 48 Найти интервал выпуклости графика .

Решение , кривая нигде не выпукла.

7.11 Дифференциал функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

, - формула приближенного вычисления.

Пример 49 Найти дифференциал функции .

Решение .

Пример 50 Найти дифференциал функции .

Решение .

Пример 51 Вычислить приближенно .

Исходная функция , , , где . Подставим в формулу приближенного вычисления эти данные:

Пример 52 Вычислить приближенно .

Решение

, .

Пример 53 Вычислить приближенно .

Решение Исходная функция

, ,

где .

.

Пример 54 Вычислить приближенно .

Решение , .

.

7.12 Дифференцирование неявных функций

Пример 55 Найти от функции .

Решение При нахождении производной переменная считается неизвестной функцией зависящей от :

, .

Пример 56 Найти от функции

Решение

,

,

Пример 57 Вычислить первую производную от функции в точке (0;1).

, , .

7.13 Асимптоты графика функции

1) Горизонтальные асимптоты существуют, если , т. е. предел стремится к конечному числу.

2) вертикальные асимптоты существуют в точках разрыва 2-го рода, т. е., если точка разрыва, то .

3) Наклонные асимптоты находятся по следующей формуле:

.

Пример 58 Найти асимптоты кривой .

1) Горизонтальной асимптоты нет, так как .

2) Вертикальные асимптоты существуют, так как в точках разрыв 2-го рода, т. е. . Прямые - вертикальные асимптоты.

3) Наклонные асимптоты:

.

Прямая − наклонная асимптота.

Практическая работа № 3

Тема: Интегральное исчисление

1 Неопределенный интеграл

Таблица основных интегралов

1) 11)

2) 12)

3) 13)

4) 14)

5) 15)

6) 16)

7) 17)

8) 18)

9) 19)

10) 20)

2 Простейшие приемы интегрирования. Подведение под знак дифференциала

Дифференциал функции: .

Например: , или ,

Пример 118

Пример 119 .

Пример 120 .

Пример121 .

Пример122

.

Пример 123 .

Пример 124 .

Пример 125 .

Пример 126

.

Пример 127 .

Пример 128 .

Пример 129

.

Пример 130 .

Пример 131 .

Пример 132 .

Пример 133

3 Интегрирование по частям

- формула интегрирования.

Пример 134

.

Пример 135

Пример 136

.

Пример 137

,

.

4 Определенный интеграл и его приложения

4.1 Формула Ньютона-Лейбница

Пример 1

.

Пример 2

Пример 3

.

Пример 4

.

4.2 Вычисление площади плоской фигуры

- площадь фигуры в декартовых координатах

- площадь фигуры в полярной системе координат

- площадь фигуры в параметрическом виде.

Пример 5 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , (или .)

Решение Найдем точки пересечения парабол:

, .

Пример 6 Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли (или в полярных координатах , где ).

Решение С учетом симметрии фигуры

Пример 7 Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом .

Решение

4.3 Вычисление длины дуги линии

- в прямоугольных координатах;

- в полярных координатах;

- в параметрическом виде.

Пример 8 Вычислить длину дуги кривой от до .

Решение ,

.

Пример 9 Вычислить длину первого витка логарифмической спирали .

Решение

Пример 10 Вычислить длину одной арки циклоиды . ,

Решение .

4.4 Вычисление объема тела вращения

, если кривая вращается вокруг оси Ох;

, если кривая вращается вокруг оси Оу.

Пример 11 Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями .

Решение

.

4.5 Вычисление массы материальной дуги с переменной плотностью

Если дуга изображается графиком и линейная плотность, то масса вычисляется по формуле: .

Пример 12 Вычислить массу четверти окружности с плотностью с радиусом равным 2.

Решение Уравнение окружности в параметрическом виде имеет вид

, где .Отсюда ,

4.6 Вычисление пройденного пути по скорости

Если скорость движения тела является функцией от времени, т. е. , то путь , пройденный за промежуток времени от до , вычисляется по формуле .

Пример 13 Материальная точка движется прямолинейно со скоростью . Найти путь, пройденный за промежуток времени .

Решение .

4.7 Площадь поверхности вращения

Кривая вращается вокруг оси Ох. Площадь поверхности тела, полученного вращением этой кривой, вычисляется по формуле:

.

Пример 14 Вычислить площадь поверхности вращения, полученной при вращении дуги кривой вокруг оси Ох от точки до точки .

Решение

.

Практическая работа № 4

Тема Дифференциальные уравнения

1 Уравнения первого порядка

Таблица 1

Название

Тип

Метод распознавания

C разделяющимися переменными

Переменные разделяются алгебраическим путем

Однородное уравнение

однородные функции одной степени.

Линейное уравнение 1-го порядка

или

По виду

Уравнение Бернулли

По виду

В полных дифференциалах

Пример 1 Определить тип уравнений

а) − однородное, так как

является функцией от отношения переменных;

б) − линейное уравнение 1-го порядка;

в) − с разделяющимися переменными, так как

;

г) - уравнение Бернулли. Запишем по другому это уравнение ;

д) - в полных дифференциалах, так как

.

Пример 2 Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения .

, ,

, .

Пример 3 Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение .

Пример 4 Найти общий интеграл дифференциального уравнения .

Решение

,, .

2 Уравнения, допускающие понижение порядка

Таблица 2

Вид

Метод решения

1.

2.

3.

Непосредственное интегрирование n раз

Замена

Замена

Пример 5 Найти общее решение (общий интеграл) уравнения .

Решение , ,

, ,

, , ,

.

Пример 6 Найти общее решение уравнения второго порядка .

Решение ,

.

Пример 7 Найти общее решение уравнения второго порядка .

Решение , , ,

, , ,

, .

3 Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

,

- характеристическое уравнение

Таблица 3

Дискриминант

Корни

Общее решение

действ.

действ.

комплексные

Пример 8.

Решение , ,

, , .

Пример 9 .

Решение , ,

, .

Пример 10 .

Решение ,,

.

Пример 11 Восстановить уравнение по решению

.

Решение , ,

, .

Пример 12 Восстановить уравнение по решению

.

Решение

.

Пример 13 Восстановить уравнение по решению .

Решение ,

,

, .

Практическая работа № 5

Тема: Теория рядов

, - общий член.

Пример 1 Общий член ряда имеет вид .

Пример 2 Общий член ряда равен .

Пример 3 Вопрос: числовой ряд называется сходящимся, если…..

Ответ: существует конечный предел «» - й частичной суммы .

Пример 4 Вопрос – необходимое условие сходимости ряда состоит в том, что…

Ответ – предел общего члена равен нулю .

Пример 5 Вопрос – Если предел общего члена не равен нулю , то ряд…

Ответ – расходится.

Пример 6 Вопрос: ряд

Ответ: расходится, т. к. .

Пример 7 Вопрос: ряд

Ответ: расходится, т. к. .

1 Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда

Признак Даламбера: , если ,то ряд сходится; если , то ряд расходится.

Радикальный признак Коши: , если ,то ряд сходится; если , то ряд расходится.

Интегральный признак Коши: если сходится, то ряд тоже сходится, если расходится, то ряд тоже расходится.

Признак сравнения: Если даны два ряда , и выполняется условие , то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда, а из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Пример 8 Исследовать на сходимость ряд .

Решение Воспользуемся радикальным признаком Коши

, ряд сходится.

Пример 9 Исследовать на сходимость ряд .

Решение По признаку Даламбера

, ряд сходится.

Пример 10 Сходимость ряда проверим по интегральному признаку Коши: , интеграл равен конечному числу, т. е. сходится, значит ряд сходится.

Пример 11 В силу интегрального признака Коши ряд расходится, .

Пример 12 Ряд называется гармоническим. Он расходится, так как .

2 Знакопеременный ряд. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость

Признак сходимости Лейбница:

1)

2) .

Пример 13 Найти общий член ряда и определить сходимость.

Решение − общий член. По признаку Лейбница . Ряд сходится.

Теорема Если для , , то он

1) сходится абсолютно, когда сходится;

2) сходится условно, когда расходится.

Пример 14 Исследовать на абсолютную (условную) сходимость .

Решение ; расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Пример 15 Исследовать на абсолютную (условную) сходимость .

Решение , сходится по интегральному признаку. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

3 Степенной ряд. Ряд Маклорена

ряд Маклорена.

Пример 16 Коэффициент при ряда Маклорена функции равен: Ответ: .

Пример 17 Вопрос: Нулевой член ряда Маклорена для функции равен … Ответ: .

Пример 18 Пятый член ряда равен…Ответ: .

Пример 19 Седьмой член ряда равен…

Ответ: .

Практическая работа №6, 7

Тема: Теория вероятностей

Практическая работа выполняется по учебнику «Сборник задач по высшей математике для экономистов» под редакцией проф. , Москва, ИНФРА-М, 2005г.

В библиотеке ПГУ шифр книги:

Дополнительные теоретические сведения можно найти в учебнике «Общий курс математики для экономистов» под редакцией проф. , Москва, ИНФРА-М, 2005г. (стр.423-462)

В библиотеке ПГУ шифр книги:

Задание 1.

1.Теория вероятностей (стр.303)

Разобрать решенные задачи и выполнить следующие номера:

1) 19.3, 19.4, 19.5, 19.6, 19.7, 19.10, 19.11, 19.13, 19.16., 19.17, 19.22, 19.23, 19.30, 19, 31;

2) 20.5, 20.6, 20.15, 20.16, 20.21, 20.22;

3) 21.13, 21.14, 21.15, 21.16;

4) 21.19, 21.20.

Задание 2.

1.Математическая статистика (стр.347)

Разобрать решенные задачи и выполнить следующие номера:

1) 23.1, 23.2, 23.3, 23.6;

2) 23.10, 23.11;

3) 24.3, 24.5, 24.7, 24.8;

4) 24.10, 24.11;

5) 24.20, 24.24, 24.25;

6) 25.6, 25. 11, 25.15,

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5