Збірник задач з теорії ймовірностей та математичної статистики (стр. 13 )

Таблиця 14.10

Вихідні дані до задачі 14.8

			...
			...

Довести, що , де умовні варіанти .

14.9. Знайти вибіркову середню за даним розподілом вибірки об’ємом п = 10 (див. табл. 14.11).

Таблиця 14.11

Вихідні дані до задачі 14.9

	1250	1270	1280
	2	5	3

14.10. Знайти вибіркову середню за даним розподілом вибірки об’ємом п =20 (див. табл. 14.12).

Таблиця 14.12

Вихідні дані до задачі 14.10

	2560	2600	2620	2650	2700
	2	3	10	4	1

14.11. По вибірці об’ємом п = 51 знайдена зміщена оцінка генеральної дисперсії. Знайти незміщену оцінку дисперсії генеральної сукупності.

14.12. В результаті п’яти вимірів довжини стержня одним прибором (без систематичних помилок) отримали такі результати (в мм): 92, 94, 103, 105, 106. Знайти:

а) вибіркову середню довжини стержня;

б) вибіркову і виправлену дисперсії похибок пристрою.

14.13. В результаті чотирьох вимірювань деякої фізичної величини одним прибором (без систематичних помилок) отримали такі результати: 8, 9, 11, 12. Знайти:

а) вибіркову середню результатів вимірювань;

б) вибіркову та виправлену дисперсії похибок пристрою.

14.14.Знайти виправлену дисперсію за даним розподілом вибірки об’ємом п=10 (див. табл. 14.13).

Таблиця 14.13

Вихідні дані до задачі 14.14

	186	192	194
	2	5	3

14.15. Знайти вибіркову середню та дисперсію, виправлені дисперсію та середньоквадратичне відхилення за даним розподілом вибірки об’ємом п=100 (див. табл. 14.14).

Таблиця 14.14

Вихідні дані до задачі 14.15

	340	360	375	380
	20	50	18	12

14.16 .Знайти виправлену вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об’ємом п = 10, використовуючи умовні варіанти (див. табл. 14.15).

Таблиця 14.15

Вихідні дані до задачі 14.16

	102	104	108
	2	3	5

14.17. Знайти виправлену вибіркову дисперсію та коефіцієнт варіації за даним розподілом вибірки об’ємом п = 100 (див. табл. 14.16).

Таблиця 14.16

Вихідні дані до задачі 14.17

	1250	1275	1280	1300
	20	25	50	5

14.18. Знайти виправлену вибіркову дисперсію та коефіцієнт варіації за даним розподілом вибірки об’ємом п = 10 (див. табл. 14.17).

Таблиця 14.17

Вихідні дані до задачі 14.18

	0,01	0,05	0,09
	2	3	5

14.19. Знайти виправлену вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об’ємом п=20, (використовуючи умовні варіанти) (див. табл. 14.18).

Таблиця 14.18

Вихідні дані до задачі 14.19

	0,1	0,5	0,7	0,9
	6	12	1	1

14.20. Знайти виправлену вибіркову дисперсію за даним розподілом вибірки об’ємом п = 10, (використовуючи умовні варіанти) (див. табл. 14.19).

Таблиця 14.19

Вихідні дані до задачі 14.20

	23,5	6,1	28,2	30,4
	2	3	4	1

15. Інтервальні оцінки

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу, який покриває оцінюваний параметр.

Довірчим називають інтервал, який із заданою надійністю g покриває оцінюваний параметр.

Для оцінки математичного сподівання a нормально розподіленої кількісної оцінки x по вибірковій середній , коли відоме середньоквадратичне відхилення d генеральної сукупності, використовується довірчий інтервал:

,

де – точність оцінки;

n – об’єм вибірки;

t – значення аргументу функції Лапласа , при якому ; (див. у додатку A).

Якщо d невідоме і об’єм вибірки n>30, то використовується довірчий інтервал:

,

де S – виправлене середньоквадратичне відхилення;

t – знаходять за таблицями (в додатку A), яке дорівнює .

Для оцінки середньоквадратичного відхилення d нормально розподіленої кількісної ознаки c з надійністю g за виправленим вибірковим середньоквадратичним відхиленням S використовуються довірчі інтервали:

(якщо q<1)

(якщо q>1).

Розв’язок типових задач

Приклад 15.1. Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,95 невідомого математичного сподівання a нормально розподіленої ознаки х генеральної сукупності, якщо дано генеральне середнє квадратичне відхилення s=5, вибіркова середня = 14, об’єм вибірки n = 25.

Розв’язок. Потрібно знайти довірчий інтервал . Нам відомі всі величини, крім t. Знайдемо t. Із співвідношення 2Ф(t) = 0,95 маємо Ф(t) =0,475. За таблицею (додаток) знаходимо t = 1,96. Підставивши t = 1,96, = 14, s = 5, n=25 в формулу, отримаємо шуканий довірчий інтервал: 12,04<а<15,96.

Приклад 15.2. Знайти мінімальний об’єм вибірки, при якому з надійністю 0,975 точність оцінки математичного сподівання a генеральної сукупності за вибірковою середньою буде дорівнювати d = 0,3, якщо відомо середнє квадратичне відхилення s = 1,2 нормально розподіленої генеральної сукупності.