Збірник задач з теорії ймовірностей та математичної статистики (стр. 8 )

11.20. Виробник автомобілів повідомив про повернення автомобілів за 1982-84 рр. через брак у кулачкових валах. Відповідальна фірма за технічне обслуговування в регіоні щодня записували дані про число рекламацій, що надійшли на кулачкові вали. За цими даними побудована табл. 11.9 розподілу ймовірностей для кожного дня.

Таблиця 11.9

Вихідні дані до задачі 11.20

Повідомлення за день, (х)	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Ймовірність, Р(х)	0,1	0,15	0,18	0,22	0,16	0,08	0,06	0,03	0,02

а) Підрахуйте середнє значення цього розподілу;

б) Підрахуйте середнє квадратичне відхилення і дисперсію.

11.21. Товариство, що веде спостереження за НЛО, зібрало дані про частоту повідомлень в Європі. Табл. 11.10 – це розподіл ймовірностей про число спостережень:

Таблиця 11.10

Вихідні дані до задачі 11.21

Число повідомлень за день (х)	0	1	2	3	4	5
Ймовірність Р(х)	0,32	0,24	0,2	0,15	0,05	0,04

а) Підрахуйте середнє значення цього розподілу;

б) Підрахуйте середнє квадратичне відхилення і дисперсію.

11.22. У пологовому будинку 52% усіх новонароджених чоловічої статі. Одного дня народилось 5 малюків. Запишіть відповідний закон розподілу. Яка ймовірність того, що троє чи більше з них – хлопчики? Яке середнє значення для цього розподілу (п=5)? Яке середньоквадратичне відхилення?

11.23. Ймовірність вироблення дефектних партій під час процесу виробництва складає 15%. Яке буде їх середнє значення для 500 партій? Яке середньоквадратичне відхилення для цього розподілу?

11.24. Ймовірність відмови деталі за час випробування її надійності дорівнює 0,2. Знайти математичне сподівання числа деталей, що відмовили, коли випробуванню підлягало 10 деталей.

11.25. Знайти математичне сподівання числа лотерейних білетів, на які випадає виграш, якщо куплено 20 білетів, причому ймовірність виграшу по одному білету дорівнює 0,3.

11.26. Відбувається 10 незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 0,6. Знайти дисперсію випадкової величини X-числа появ події в цих випробуваннях.

12. Функція розподілу, щільність. Числові характеристики неперервних випадкових величин

Функцією розподілу F(x) (інтегральною) називають ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше x:

Диференціальною функцією розподілу або щільністю ймовірностей неперервної випадкової величини називають похідну першого порядку від її інтегральної функції розподілу і позначають :

Теорема 1. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина X прийме значення з інтервалу (а; b), можна знайти за формулою:

Теорема 2. Якщо неперервна випадкова величина приймає значення на відрізку [a, b] та має щільність ймовірності f(x), то її математичне сподівання знаходиться за формулою:

.

Дисперсію обчислюють за формулою:

Наслідок. Якщо диференціальна функція розподілу відома f(x), то інтегральну функцію розподілу F(x) можна знайти за формулою:

.

Розв’язок типових задач

Приклад 12.1. Знайти числові характеристики випадкової величини X, яка задана функцією розподілу:

Розв'язання. Спочатку знайдемо диференціальну функцію розподілу, тобто щільність ймовірності :

Тепер за теоремою2 знаходимо математичне сподівання:

Далі знаходимо дисперсію:

Середнє квадратичне відхилення:

Приклад 12.2. Щільність ймовірності випадкової величини X має такий вигляд:

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X прийме значення, яке належить інтервалу (0,5; 1).

Розв'язання. Шукана ймовірність за теоремою 1 дорівнює:

Задачі

12.1. Випадкова величина X задана функцією розподілу:

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X прийме значення, яке належить інтервалу (0, 2).

12.2. Випадкова величина X задана функцією розподілу:

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X прийме значення, яке належить інтервалу (0; 1).

12.3. Випадкова величина X задана функцією розподілу:

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X прийме значення, яке належить інтервалу (2; 3).

12.4. Задана щільність ймовірності випадкової величини X:

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X прийме значення, яке належить інтервалу (0,5; 1).

12.5. Знайти функцію розподілу за даною щільністю розподілу:

12.6. Закон розподілу неперервної випадкової величини X такий:

Знайти f(x) і обчислити P(0<X<2).

12.7. Щільність неперервної випадкової величини X подано у вигляді:

Знайти F(x) та обчислити .

12.8. Дано функцію розподілу ймовірностей:

Знайти f(x) та обчислити .

12.9. Дано функцію розподілу ймовірностей:

.

Знайти f(x).

12.10. Знайти числові характеристики випадкової величини X, яка задана функцією розподілу:

12.11. Щільність ймовірності неперервної випадкової величини X подано у вигляді:

Знайти ймовірність того, що X прийме значення із проміжку .

12.12. Задана диференціальна функція розподілу неперервної випадкової величини X:

Знайти інтегральну функцію розподілу.

12.13. Задана диференціальна функція розподілу неперервної випадкової величини X:

Знайти числові характеристики випадкової величини X.

12.14. Випадкова величина доходу X підприємства має диференціальну функцію розподілу:

Знайти M(X), D(X) та ймовірність одержання прибутку (1; 5].

12.15. Диференціальна функція розподілу прибутку X підприємства відома:

(0; 5); (0; 5).

Знайти математичне сподівання прибутку, дисперсію та ймовірність одержання прибутку млн. грн.

12.16. Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини X, яка задана функцією розподілу:

12.17. Неперервна випадкова величина X розподілена за показниковим законом розподілу:

.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування X прийме значення, яке належить інтервалу (1; 3).

12.18. Обчислити дисперсію випадкової величини, що розподілена рівномірно:

(a; b) (a; b).

12.19. Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини X, що має таку густину розподілу:

12.20. Густина розподілу ймовірності випадкової величини X має такий вигляд:

Знайти математичне сподівання та дисперсію.

12.21. Щільність розподілу випадкової величини X дорівнює:

.

Знайти функцію розподілу та математичне сподівання.

12.22. Щільність розподілу випадкової величини X дорівнює:

Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини.

13. Вибірковий метод

Додатне число, що вказує, скільки раз та чи інша варіанта зустрічається в таблиці даних, називається частотою.

Статистичний розподіл вибірки встановлює зв’язок між рядом варіант і відповідними частотами.

Відношення частоти варіанти до об’єму вибірки n називається відносною частотою:

Якщо поділити всі частоти на ширину інтервалу h, то отримаємо розподіл щільності частоти вибірки:

Емпіричною функцією розподілу називають функцію , яка визначає для кожного значення x частість події X<x: