Збірник задач з теорії ймовірностей та математичної статистики (стр. 9 )

де nx – кількість варіант, які менші від x;

n – об’єм вибірки.

Полігоном частот (відносних частот) називають ламану, відрізки якої сполучають точки (), (),…,() ), (),…,.

Полігон частот та полігон відносних частот є аналогом щільності ймовірності.

Гістограмою частот (відносних частот) називають ступінчасту фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали варіант довжиною , а висоти дорівнюють відношенню – щільність частоти – щільність відносної частоти.

Площа гістограми частот дорівнює об’єму вибірки, а площа гістограми відносних частот – одиниці.

Медіана – це варіанта, яка має найбільшу частоту. Вона обчислюється за такою формулою:

.

Мода – це варіанта, яка ділить варіаційний ряд навпіл. Вона обчислюється за такою формулою:

де – початок модального інтервалу;

– крок інтервалу,

– частота домодального інтервалу;

– частота модального інтервалу;

– частота після модального інтервалу.

Розв’язок типових задач

Приклад 13.1. За заданим дискретним статистичним розподілом вибірки (див. табл. 13.1).

Таблиця 11.3

Вихідні дані до прикладу 13.1

X=xi	- 6	- 4	-2	2	4	6
	5	10	15	20	40	10
	0,05	0,1	0,15	0,2	0,4	0,1

потрібно побудувати F*(х) і зобразити її графічно.

Розв'язання. Об’єм цієї вибірки буде:

. Найменша варіанта дорівнює – 6, тому F*(х) = 0 для . Найбільша варіанта дорівнює 6, тому F*(х) = 1 для . Значення x<-4 спостерігалося 5 разів, тому F*(х) = при . Значення x<-2 спостерігалося 15 разів, тому F*(х) = при .

Значення x<2 спостерігалося 30 разів, тому F*(х) = при . Значення x<4 спостерігалося 50 разів, тому F*(х) = при . Значення x<6 спостерігалося 90 разів, тому F*(х) = при .

Графічне зображення F*(х) подано на рис. 13.1.

Рис. 13.1 Емпірична функція розподілу

Приклад 13.2. У результаті вибірки одержали такі значення ознаки X: -3, 2, -1, -3, 5, -3, 2. Побудувати полігон частот цієї вибірки.

Розв’язання. У цьому випадку варіантами будуть:

Відповідні їм частоти:

Відклавши у системі координат (хОп) точки: та з’єднавши їх відрізками прямих, одержимо полігон частот цієї вибірки ( Рис. 13.2.).

Рис. 13.2 Полігон частот

Приклад 13.3. За заданим інтервальним статистичним розподілом вибірки (див. табл. 13.2).

Таблиця 13.2

Вихідні дані до прикладу 13.3

h=8	0 - 8	8 - 16	16 - 24	24 - 32	32 - 40	40 - 48
	10	15	20	25	20	10
	0,1	0,15	0,2	0,25	0,2	0,1

Потрібно побудувати гістограму частот і відносних частот. Розв’язання. Гістограми частот і відносних частот наведені на рис. 13.3 та 13.4.

Рис. 13.3 Гістограма частот

Рис. 13.4 Гістограма відносних частот

Площа гістограми частот

Площа гістограми відносних частот

Приклад 13.4. За заданим інтервальним статистичним розподілом вибірки (див. табл. 13.3) побудувати гістограму частот і F*(х). Визначити Мо*, Ме*.

Таблиця 13.3

Вихідні дані до прикладу 13.4

h=4	0 – 4	4 – 8	8 – 12	12 – 16	16 – 20	20 – 24
ni	6	14	20	25	30	5

Розв'язання. Гістограма частот зображена на рис. 13.5.

Рис. 13.5 Гістограма частот

Графік F*(х) зображено на рис. 13.6.

Рис. 13.6 Емпірична функція розподілу

З рис. 13.5 визначається модальний інтервал, який дорівнює 16 – 20. Застосовуючи формулу для обчислення моди і беручи до уваги, що , , , , , дістанемо:

З графіка F*(х) визначається медіанний інтервал, який дорівнює 1

Беручи до уваги, що , і застосовуючи формулу для обчислення медіани, дістанемо: