Вступ до математичного аналізу (стр. 2 )

Завдання для перевірки знань

1. Сума внутрішніх кутів плоского випуклого многокутника є функцією від числа його сторін. Задати аналітично цю функцію. Яких значень може набувати аргумент?

Відповідь: Всі числа натурального ряду, крім . Якщо сума кутів , а число сторін , то .

2. Виразити площу рівнобічної трапеції з основами і як функцію кута при основі . Побудувати графік функції при .

Відповідь: .

3. Обчислити значення функцій і у тих точках, в яких .

Відповідь: .

4. Дано функцію . Знайти . Чи існує ?

Відповідь: У точках функція не визначена, оскільки ділення на нуль неможливе.

.

5. Записати в явному вигляді неявно задану функцію наступними рівняннями:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) .

Відповідь: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) , де .

6. Скласти таблицю значень функції цілочисельного аргумента для .

	1	2	3	4	5	6
	1

Відповідь:

7. Вежа має наступну форму: на прямий круглий зрізаний конус з радіусами основ (нижнього) і (верхнього) і висотою поставлено циліндр радіуса і висоти ; на циліндрі – півсфера радіуса . Виразити площу поперечного перерізу вежі як функцію відстані х перерізу від нижньої основи конуса. Побудувати графік функції .

Відповідь: При ; при ; при . Поза інтервалом функція не визначена.

8. Побудувати криву, задану параметричними рівняннями .

а) б)

4.4. Елементарні функції та їм обернені. Загальні властивості функцій.

Серед безмежного класу функцій однієї змінної виділяють найпростіші або елементарні функції, з яких будуються всі інші. Такими є:

1) степенева функція хn, де n - ціле (її комбінації – поліноми або многочлени та дробно-раціональна функція як відношення двох многочленів);

2) показникова ах, де а>0 (сюди можна віднести аналоги тригонометричних - гіперболічні функції як комбінації показникових; випадок а<0 виключають, оскільки функція може набувати комплексних значень (наприклад (-1)1/2).

3)тригонометричні функції (синус, косинус, тангенс, котангенс).

3) гіперболічні функції: синус гіперболічний ; косинус гіперболічний ; тангенс гіперболічний ; котангенс гіперболічний .

Кожній з перечислених елементарних функцій можна віднести у відповідність обернену функцію (обернена степенева, логарифм, аркфункції тригонометричні та гіперболічні), графік якої одержують відображенням початкової функції відносно бісектриси у=х. При цьому важливо, щоб новому аргументу відповідало лише одне єдине число з множини значень нової функції.

Означення 1. Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається областю визначення функції.

Приклад 7. Знайти область визначення функції

.

Розв’язання.

Відповідь: .

Означення 2. Функція називається парною (непарною), якщо для будь-якого х з її області визначення виконується умова .

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо існує хоча б однин х такий, що .

Приклад 8. - парна функція (графік функції симетричний відносно осі ординат), бо ; - непарна функція (графік функції симетричний відносно початку координат), бо ; - ні парна, ні непарна, бо .

Означення 3. Функція називається періодичною, якщо існує число , що для всіх виконується умова , де - період функції.

Приклад 9. - періодична функція з мінімальним періодом , бо .

Означення 4. Функція називається обмеженою на множині , якщо існує дійсне число М таке, що для всіх виконується умова , де - деяке скінченне число.

Приклад 10. - обмежена функція для всіх , бо .

Означення 5. Функція називається монотонно зростаючою (спадною) на множині , якщо для всіх більшому значенню аргумента відповідає більше (менше) значення функції, тобто для будь-яких і таких що виконується нерівність .

Приклад 11. - монотонно спадна функція при , а при - монотонно зростаюча.

Оберненими до елементарних (їх теж відносять до елементарних) є: степенева з дробовим степенем,

логарифмічна , де , , як обернена до показникової

та аркфункції () – обернені до тригонометричних.

Для знаходження функції (якщо вона існує), оберненої до даної , необхідно виразити через , тобто , а потім записати отриману функцію в звичайному вигляді: . Оскільки при оберненні функції х та у міняються місцями, то графік оберненої завжди симетричний відносно бісектриси у=х по відношенню до своєї прямої функції. Якщо при цьому виявляється, що даному х починають відповідати одразу два або більше у, то “зайву” частину графіка відкидають. Так, наприклад, для функції arcsin з областю визначення залишають лише множину значень , інакше функція стає багатозначною. Можна взяти будь-яку іншу гілку первинного графіка, тобто функції sin. Головне, щоб не виникала багатозначність. Тому для квадратного кореня як оберненої функції до квадратної параболи можна брати як додатню, так і від′ємну гілки, але не одночасно дві.

Приклад 12. Оберненою для функції буде функція .

Завдання для перевірки знань

1. Знайти області визначення функцій та побудувати їх графіки:

а) Відповідь:

б) Відповідь:

в) Відповідь:

г) Відповідь:

д) Відповідь:

2. Знайти множину значень функцій:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; є) .

Відповідь: а) . Вказівка: ; б) . Вказівка: координати вершини параболи: . Гілки параболи направлені вниз. в) ; г) ; д) ; е) ; є) 0. Вказівка: область визначення функції: , отже множина її значень – одне число .

3. Визначити, яка з заданих функцій парна чи непарна:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) непарна, б) парна, в) ні парна, ні непарна, г) парна.

4. Знайти функцію, обернену до даної:

1) , 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Відповідь: 1) , 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

5. Які з функцій будуть періодичними? Визначити період.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Відповідь: 1) неперіодична. Вказівка: ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . Вказівка: ; 6) . Вказівка: ; 7) . Вказівка: ; 8) . Вказівка: .

4.5. Границя числової послідовності.

Означення 6. Будь-який впорядкований (занумерований) дискретний набір чисел називають числовою послідовністю: , , тобто послідовність – функція натурального аргументу[14].

Приклади:

1), тобто утворюється множина .

2) , тобто {2; ; ; …}.

3) - арифметична прогресія, де , р – сталі числа (перший член та знаменник арифметичної прогресії).

4) - геометична прогресія, де , q – сталі числа (перший член та знаменник геометичної прогресії).

Означення 7. Число А називається границею числової послідовності {}, пишуть , якщо для будь-якого ε>0 знайдеться таке натуральне N, що для всіх n>N виконається умова . Геометрично це означає, що всі наступні після елементи послідовності з номерами обов′язково попадуть в ε-окіл точки А числової прямої (рис.).