Вступ до математичного аналізу (стр. 5 )

2. Показати, що при функції і - еквівалентні безмежно малі. Скористатися цим для наближеного обчислення коренів: 1) , 2) , 3) , 4) . Знайти значення цих же коренів за логарифмічними таблицями. Порівняти результати.

Відповідь: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4.9. Неперервність функції.

Означення 19. Функція у=f(x) називається неперервною у точці , якщо [2].

Виходячи з означення границь функції, поняття неперервності функції в точці можна зобразити так:

: =

: = .

Означення 20. Функція у=f(x) називається неперервною у точці , якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто

: =

: = .

Означення 21. Функція у=f(x) називається неперервною у точці , якщо границя функції дорівнює функції від границі аргументу при , тобто

: =

: =.

Означення 22. Функція у=f(x) називається неперервною у точці , якщо односторонні границі функції зліва й справа у цій точці існують, рівні між собою і дорівнюють значенню функції у цій точці, тобто

: =

: =.

Таким чином, поняття неперервності функції у точці задається кількома, хоча і рівноправними, але різними за формулюванням означеннями. Використання конкретного означення неперервності функції в точці визначається специфікою задачі.

Класифікація точок розриву функцій

Означення 23. Функція у=f(x) називається розривною в точці х=х0, якщо порушується хоча б одна з умов рівності

.

Розрізняють точки розриву 1-го і 2-го роду. Розриви 1-го роду бувають усувні й неусувні; розриви 2-го роду – завжди неусувні.

Означення 24. Точка називається точкою розриву 1-го роду (розрив неусувний) для функції у=f(x), якщо існують скінченні односторонні границі (зліва і справа) функції у цій точці, але не рівні між собою, тобто

.

Означення 25. Точка називається точкою розриву 1-го роду (розрив усувний) для функції у=f(x), якщо існують скінченні односторонні границі функції у цій точці, рівні між собою, але не дорівнюють значенню функції у цій точці, або функція у цій точці взагалі не існує, тобто

.

Зауваження 8. Точка усувного розриву відзначається тим, що існує , але . Тому існує можливість на основі функції побудувати іншу функцію , яка в буде неперервною:

Означення 26. Точка називається точкою розриву 2-го роду для функції у=f(x), якщо в цій точці не існує, або дорівнює нескінченності хоча б одна з односторонніх границь, тобто

та, відповідно, або не існує.

Всі три описані випадки показані на рис. (Зліва направо: точка усувного розриву, точка розриву 1-го роду, точка розриву 2-го роду).

Методика дослідження функції на неперервність.

1. Знайти область визначення функції D(y).

2. Визначити скінченні граничні точки D(y) і обчислити односторонні границі функції у цих точках.

3. Зробити висновок про характер точок розриву (якщо вони є) і побудувати графік функції поблизу цих точок.

Приклад 35. Функція Хевісайда. Нехай функція задається наступним чином:

Тоді дана функція неперервна скрізь, окрім точки х=0, де вона здійснює стрибок величиною 1. Функцію Хевісайда використовують для моделювання ситуації подачі сигналу в теорії інформації або формування дискретних прямокутних імпульсів.

Приклад 36. Дослідити на неперервність функцію і з’ясувати характер точок розриву.

Розв’язання. Функція визначена і неперервна на інтервалах . Отже, розрив можливий тільки в точці Для точки маємо:

тобто функція в точці має розрив другого роду (безмежний стрибок).

Відповідь: в точці функція має розрив другого роду.

Приклад 37. Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік:

Розв’язання. Функція визначена і неперервна на інтервалах , де вона задана неперервними елементарними функціями. Отже, розрив можливий тільки в точках Для точки маємо:

тобто функція в точці має розрив першого роду.

Для точки знаходимо:

тобто в точці функція також має розрив першого роду.

Графік даної функції зображено на рис.39.

Відповідь: в точках функція має розрив першого роду.

Неперервність функції на проміжку.

Означення 27. Функцію у=f(x) називають неперервною на проміжку , якщо вона неперервна в будь-якій точці х0 цього проміжку.

Властивості функцій, неперервних на проміжку

Функція, неперервна на проміжку , задовольняє наступні властивості[11]:

1) вона обмежена на (I теорема Вейєрштрасса);

2) досягає на найменшого і найбільшого значень (II теорема Вейєрштрасса);

3) якщо і різних знаків, то існує така точка , що (I теорема Больцано-Коші);

4) для будь-якого А, що задовольняє нерівність існує така точка , для якої (II теорема Больцано-Коші).

Зауваження 10. Можна довести, що всі основні елементарні функції будуть неперервними у кожному з проміжків своєї області визначення.

Приклад 38. Показати, що рівняння на проміжку має дійсний корінь, і знайти його значення з точністю до .

Розв’язання. Оцінимо значення функції на кінцях заданого проміжку: . Враховуючи, що на проміжку функція неперервна і на його кінцях набуває значень різних знаків, то згідно I теореми Больцано-Коші всередині цього проміжку існує принаймні одна точка, в якій функція перетворюється в нуль. Ця точка і буде дійсним коренем заданого рівняння.

Для його знаходження з заданою точністю проміжок розділимо точками і в кожній з них визначимо знак функції : , , , , , . Враховуючи, що , а , дійсний корінь заданого рівняння міститься між і .

Відповідь: .

Приклад 39. Чи обмежена функція на відрізку ? Чи досягає вона найменшого і найбільшого значення на цьому проміжку?

Розв’язання. Задана функція неперервна на проміжку як сума трьох неперервних на цьому відрізку функцій. Тоді за теоремами Вейєрштрасса вона обмежена на цьому проміжку і досягає на ньому найменшого і найбільшого значення.

Завдання для перевірки знань

1. Знайти точки розриву функції .

Відповідь: х = 1, х = 5 – точки розриву 2-го роду.

2. Який характер розриву функції в точці х = 1?

Відповідь: х = 1 – точка розриву 2-го роду.

3. Знайти точки розриву функції .

Відповідь: х=3 – точка розриву 1-го роду; х=5 – точка розриву 2-го роду; х=0 – точка усувного розриву; - точки розриву 2-го роду.

4. Знайти точки розриву функції .

Відповідь: х = 1, х = 2 – точки усувного розриву.

5. Знайти точки розриву функції .

Відповідь: Функція неперервна на всій числовій прямій

6. Дослідити функцію на сегменті: а) [2, 5]; б) [4, 10] , в) [0, 7].

Відповідь: а) функція неперервна; б) має одну точку розриву 2-го роду; в) має дві точки розриву 2-го роду.

7. Дослідити на неперервність функцію на сегменті: а) [6, 10]; б) [-2, 2]; в) [-6, 6].

Відповідь: а) функція неперервна; б) має дві точки розриву 2-го роду; в) має чотири точки розриву 2-го роду.

8. Знайти точки розриву функції

Відповідь: х = 2 – точка розриву 1-го роду.

9. Довести, що рівняння на проміжку має дійсний корінь, і знайти його значення з точністю до .

Відповідь: .