Вступ до математичного аналізу (стр. 1 )

Розділ IV

ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

4.1. Відмінності математики вищої від елементарної.

В елементарній математиці дослідження геометричних фігур, чисел або числових послідовностей мали переважно статичний характер. Ці об′єкти не розглядалися в русі. Лише з систематичним введенням у дослідженнях Ньютона і Лейбніца, а згодом і їх послідовників (Лагранж, Коші, Гаусс, Грін, Остроградський, Стокс та ін.), поняття функціональної залежності, приростів функції та її аргумента, границь та граничних відношень і сум безмежно малих у математику, яку згодом назвали вищою, увійшов рух (Фрідріх Енгельс, “Діалектика природи”).

Перехід математики до якісно нового стану був викликаний як розвитком фундаментальної науки, так і початками науково-технічної революції. Справа в тому, що з винайденням парової машини та її постійними вдосконаленнями, які дали людині потужне джерело енергії високого рівня, розпочалась промислова революція та перехід до капіталістичних ринкових відносин. З іншого боку, пояснення руху планет та інших небесних світил, необхідність розвитку навігації також вимагали якісно нової математики.

Слід також зауважити, що накопичені раніше багатьма поколіннями відомих та невідомих вчених тисячолітні знання з геометрії, алгебри, астрономії, механіки (Архімед, Арістотель, Гіппарх, Птолемей, Браге, Кеплер, Галілей) підготували надійну основу переходу до вивчення закономірностей поведінки спочатку функцій однієї змінної, а згодом – векторного і матричного (тензорного) аналізу. Саме це якраз і мав на увазі Ньютон, коли говорив: “Якщо я і бачив далі за інших, то лише тому, що стояв на плечах гігантів”.

4.2. Дійсні числа та їх геометричне тлумачення. Неперервність числового континууму.

Числова пряма утворюється множиною дійсних чисел, яку позначатимемо буквою R. Ця множина складається з двох принципово різних підмножин: раціональних (Q) та ірраціональних (I) чисел. Раціональні числа утворюються діленням довільних цілих чисел , де {m,n} можуть дорівнювати і т. д. При цьому, якщо n ділиться на 2 і 5, то десятковий дріб скінченний. Якщо ж ні, то він буде нескінченним, але періодичним. Скінченний дріб також можна вважати періодичним з періодом нуль.

Числа ірраціональні виникають зовсім інакше. Вперше люди зустрілись із ними в геометрії (рис.24). Такими є, наприклад, , , і т. д., число π. Вони також виникають в деяких випадках, наприклад, при обчисленні для безмежно великих n виразу . При цьому десятковий дріб також є нескінченним, але вже неперіодичним. Важливо, що ніякої можливості передбачити наперед якими будуть наступні числа при збільшенні точності обчислень ірраціонального числа не існує. Звідси і їх назва - ірраціональні, оскільки для математиків древньої Греції відкриття таких чисел було повною несподіванкою.

Важливою особливістю чисел раціональних, яка відрізняє їх від чисел ірраціональних, є принципова можливість перерахунку, або нумерації. На рис.25 показано, як це можна зробити: рядки безмежної таблиці нумеруємо індексом n, а стовпчики – індексом m. Тоді кожній клітині таблиці відповідатиме своє раціональне число. Ламана лінія показує, як виконувати перерахунок раціональних чисел. Зазначимо, що для чисел ірраціональних така процедура неможлива. З іншого боку, оскільки при наближенні ірраціонального числа десятковим дробом числа в кожному наступному розряді з′являються на відміну від раціональних чисел хаотично, то звідси можна зробити висновок, що чисел ірраціональних має бути значно більше, ніж раціональних[16].

Теорема 1. Між будь-якими двома раціональними числами завжди можна знайти хоча б одне раціональне число.

Доведення: Нехай - дані два довільні раціональні числа. Тоді відстань між ними d= - теж раціональне число (як і її половина або будь-яка ще менша ціла частина). Тоді - шукане раціональне число. £

Наслідок: Між будь-якими двома раціональними числами можна знайти безліч інших раціональних чисел.

Із сказаного можна зрозуміти зміст поняття числового континууму (continue – продовжувати) як неперервної множини дійсних чисел, що повністю заповнюють собою числову пряму, не залишаючи можливості для “дірок” на ній. При цьому головну роботу виконують ірраціональні числа, однак наближатись до них ми можемо лише через числа раціональні. Справа в тому, що вимірювання будь-якої реальної фізичної величини означає порівняння з деякою її одиницею, а далі з 1/10 одиниці, 1/100 одиниці і т. д. (звичайно, основою наближення можна взяти і не десяткову систему, як це зроблено в комп’ютерній схемотехніці на основі двійкової системи). Згадаємо, наприклад, як ми вимірюємо довжину столу за допомогою метра із сантиметровими та міліметровими поділками. Однак доведена нами теорема вказує на принципову можливість досягнення будь-якої точності наближення до числа ірраціонального за допомогою чисел раціональних. Її збільшення означає підвищення чутливості відповідного вимірювального приладу.

Приклад 1. Записати у вигляді звичайного дробу раціональне число 1) , 2) .

Розв’язання. Раціональними є всі нескінченні періодичні дроби. Згідно з правилом перетворення нескінченних дробів у звичайні маємо:

1) , 2) .

Приклад 2. Знайти всі раціональні значення числа , для яких є раціональним число .

Розв’язання. Припустимо, що і - раціональні числа. Тоді їх різниця є також раціональним числом. Виразимо через .

, , ,

.

Покажемо тепер, що є раціональним числом, якщо де - довільне раціональне число, відмінне від нуля. Справді,

.

Цей вираз є раціональним .

Приклад 3. Вказати два ірраціональні числа, для яких сума є числом раціональним.

Розв’язання. Розглянемо, наприклад, два ірраціональні числа і : ; . Їх сума є періодичним дробом, а отже, раціональним числом, тоді як самі числа і є ірраціональними, бо зображаються неперіодичними дробами.

Приклад 4. Довести, що не існує раціонального числа такого, що .

Розв’язання. Доведення проведемо від супротивного. Нехай існує нескоротний дріб такий, що . Тоді , тобто число є парним. Позначимо . Тоді , або . Отже, і - парне число, тобто число є скоротним дробом, що суперечить припущенню. Таким чином, не є раціональним числом.

Перелічимо властивості множини дійсних чисел:[17]

1. Впорядкованість: якщо а<b, b<c, то а<c.

2. Між будь-якими двома дійсними числами міститься безмежна кількість дійсних чисел (щільність множини дійсних чисел).

3. Неперервність: будь-яке число а ділить множину дійсних чисел на нижній та верхній класи, причому при а належному до нижнього верхній не матиме нижньої границі і навпаки: якщо а належить до верхнього класу, то нижній не матиме верхньої границі. Це твердження називають також теоремою Дедекінда. У символах вона виглядає так: R=]-; a]]a;+ [ або R=]-; a[[a;+ [ , тобто третього не дано.

4. Число 0 задає початок відліку, а число 1 – його масштаб, а також вказує на позитивний напрям відліку числової прямої.

Завдання для перевірки знань

1. Серед даних чисел знайти раціональні і записати їх у вигляді звичайних дробів:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

2. Знайти всі раціональні значення числа , для яких є раціональним число .

Відповідь: , де і .

3. Серед даних тверджень знайти правильні:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

Відповідь: Правильними є твердження 1), 2) і 5).

4. Вказати два ірраціональні числа, для яких добуток є числом ірраціональним.

5. Довести, що:

1) не існує раціонального числа такого, що: а) , б) ;

2) сума і різниця раціонального числа та ірраціонального числа є числа ірраціональні;

3) число є ірраціональним;

4) добуток і частка , де , а є числа ірраціональні.

4.3. Функція однієї змінної та способи її задання. Неявно задана та параметрично задана функції.

Функція однієї змінної – це відображення однієї множини дійсних чисел х (область визначення функції, аргументи) на іншу множину у (множина значень функції) за певним правилом. При цьому кожному даному х має відповідати не більше одного у. Зворотне відображення множини у (тепер ця множина стає областю визначення) на множину х (множина значень) називають оберненою функцією. Важливо зазначити, що далеко не кожна функція має обернену для незмінних множин х та у.

Задати функцію однієї змінної можна за допомогою: 1) таблиці; 2) графіка; 3) формули, тобто алгебраїчного алгоритму; 4) за описом алгоритму переведення аргументів х у множину значень у.

Приклад 5. Складемо таблицю залежностей проекцій точки одиничного кола від її кута α, який відраховуватимемо від горизонтальної вісі проти годинникової стрілки (рис.26). Проекції кута на горизонтальну вісь назвемо косинусом, а на вертикальну вісь – синусом.

Тоді таблиця для цих двох функцій виглядатиме так:

Кут α	0	30˚	45˚	60˚	90˚	120˚	135˚	150˚
Синус	0		1/		1		1/
Косинус	1		1/		0	-	- 1/	-

За даною таблицею можна побудувати графік, однак третього способу – формули – вивести не вдасться (позначення sin та cos – це лише символи!). Створюючи таблицю і графіки для цих основних тригонометричних функцій, ми фактично спиралися на четвертий спосіб задання функції.

Приклад 6. Виразити об'єм циліндра, вписанного в кулю радіусом , як функцію його висоти .

Розв’язання. Об’єм циліндра з радіусом основи дорівнює . За теоремою Піфагора , отже, . Згідно умови задачі , тому . Отже, .

Функцію однієї змінної можна також задати неявно. Наприклад, рівняння визначає коло радіусом 1. Звідси у як функція х не може бути записана однозначно: потрібні дві формули, тобто у=. Тому аналітичний неявний спосіб задання функції у багатьох випадках зручніший і навіть буває єдино можливим. Загальний запис неявно заданої функції однієї змінної такий: f(x, y)=0.

Зауваження 1. Зазвичай виразити через при неявному заданні функції не так просто, як в наведеному прикладі. Але часто і не вимагається виражати функцію явно.

В багатьох випадках допомагає параметричне задання функції у=f(x) за допомогою деякого третього змінного параметра t. Так, наприклад, те ж саме одиничне коло можна задати за допомогою двох виразів: та , причому параметр (t вимірюємо в радіанах). Ще раз варто підкреслити, що далеко не завжди складну функцію можна задати явним виразом у=f(х). А от параметрично її вдається задати значно частіше. Це, зокрема, можна пояснити тим, що всі реальні вимірювані величини залежать від часу t як від параметра. Загальний вигляд параметрично заданої функції такий: x=x(t); y=y(t) .