Вступ до математичного аналізу (стр. 4 )

.

Відповідь:

Приклад 24.

.

Відповідь: .

Завдання для перевірки знань

1. Знайти Відповідь: .

2. Знайти Відповідь: -1.

3. Знайти Відповідь: .

4. Знайти Відповідь: .

5. Знайти Відповідь: .

6. Знайти Відповідь: .

7. Знайти Відповідь: 3.

8. Знайти Відповідь: .

9. Знайти Відповідь: 1, якщо .

-1, якщо

10. Знайти Відповідь: .

11. Знайти Відповідь: 0.

12. Знайти Відповідь: 0.

13. Знайти Відповідь: .

14. Знайти Відповідь: .

15. Знайти Відповідь: -0,1.

16. Знайти Відповідь: -2,5.

17. Знайти Відповідь: 1,5.

4.7. Дві визначні границі.

Теорема 15 (перша важлива границя).

Має місце вираз: .

Доведення: Нехай . З рис.36 видно, що відрізки АВ=sin x, CD=tg x, дуга ВС=х (в радіанах). З порівнянь площ трикутників ОСВ,

ОСD та сектора ОСВ маємо: .

З іншого боку, , , . Тоді

sin x < x < tg x .

Звідси, . Оскільки , то дійсно . £

Зауваження 4. Для необхідно скористатися парністю функції .

Границі-наслідки першої визначної границі:

1. . 2. . 3. . 4. .

Зауваження 5. За допомогою першої визначної границі можна досліджувати невизначеності для виразів з тригонометричними функціями.

Приклад 25.

Розв’язання. .

Відповідь:

Приклад 26.

Розв’язання. У цьому випадку маємо невизначеність . Для того щоб скористатися першою визначною границею, потрібно виконати таку заміну змінної , щоб нова змінна прямувала до нуля, наприклад

Відповідь:

Теорема 16 (друга визначна границя, без доведення). Існує наступна границя, яку позначають е:

.

На користь існування числа е можна привести такі не дуже строгі міркування. Дослідимо вираз , скориставшись формулою бінома Ньютона , де - біноміальні коефіцієнти. Запишемо скінченну суму виду

,

яка при зростанні n зберігатиме той же вигляд. Тоді як наближення до шуканої границі можна записати вираз:

Тоді, скориставшись виразом для відповідної геометричної прогресії, можемо виконати верхню оцінку даної суми:

< .

Таким чином, можна очікувати, що має місце подвійна нерівність:

2 < < 3. Беручи достатньо великі n, число е можна обчислити з будь-якою точністю за допомогою комп′ютера. Дійсно, при n=100 маємо е=2,70481; при n=1000 відповідно е=2,71692; n=10000 дає е=2,71815; для n=10000 маємо е=2,71827; для n=1000000 одержимо е=2,71828. Порівнюємо ці результати з більш точними даними для е: 2,7182818.

Границі-наслідки другої визначної границі:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. .

Зауваження 6. За допомогою другої чудової границі та її наслідків можна досліджувати невизначеності .

Приклад 27.

Розв’язання. Виділимо другу важливу границю Тоді

Відповідь:

Приклад 28.

Розв’язання. Скористаємось наслідком 1 для другої важливої границі: . Тоді

=

Відповідь:

Приклад 29.

Розв’язання. .

Відповідь:

Обчислення границь в умовах невизначеностей типу .

Розглянемо загальний спосіб розкриття таких невизначеностей - логарифмування.

Приклад 30.

Розв’язання. Невизначеність . Спочатку знайдемо границю не самої функції, а логарифму за основою е цієї функції:

=6=

==.

Якщо , то

Відповідь: .

Приклад 31.

Розв’язання. Невизначеність . Спочатку знайдемо границю не самої функції, а її логарифма за основою е цієї функції:

.

Якщо 1, то

Відповідь: .

Завдання для перевірки знань

1. Знайти Відповідь: .

2. Знайти Відповідь: .

3. Знайти Відповідь: .

4. Знайти Відповідь: .

5. Знайти Відповідь: 2.

6. Знайти Відповідь: .

7. Знайти Відповідь: .

8. Знайти Відповідь: 0.

9.Знайти Відповідь: 1.

10.Знайти Відповідь: .

11. Знайти Відповідь: 9/4.

12. Знайти Відповідь: -1/2.

13. Знайти Відповідь: -1/2.

14. Знайти Відповідь: -2.

15. Знайти Відповідь: .

16. Знайти Відповідь: 1.

17. Знайти Відповідь: .

18. Знайти Відповідь: .

19. Знайти . Відповідь: .

20. Складіть просту комп′ютерну програму, яка б обчислювала число е з точністю 0,1% (за вказаною вище оцінкою).

4.8. Безмежно мала та безмежно велика функції. Порівняння безмежно малих.

Означення 15. Функція у=f(х) називається безмежно малою в точці х0, якщо .

Означення 16. Функція у=f(х) називається безмежно великою в точці х0, якщо .

Приклади.

1) y=sinx є безмежно малою в точці х0=0, оскільки sin0=0.

2) у=1/х при наближенні до х0=0 стає безмежно великою. При цьому границі зліва та справа не співпадають: ; .

Важливо зазначити, що одна і та ж функція, навіть достатньо проста, може для різних х0 бути як безмежно малою, так і безмежно великою. Так, наприклад, бісектриса 1-го та 4-го квадрантів, тобто функція у=х, для х0=0 стає безмежно малою, в той час як для х0= вона ж – безмежно велика.

Означення 17. Нехай функції у1(х) та у2(х) – безмежно малі в деякій точці х0. Тоді у1(х) називають безмежно малою більш високого порядку, ніж у2(х) в точці х0, якщо . Відповідно у1(х) називають безмежно малою більш низького порядку, ніж у2(х) в точці х0, якщо .

Означення 18. Нехай функції у1(х) та у2(х) – безмежно малі в деякій точці х0. Тоді у1(х) та у2(х) називають еквівалентно малими в точці х0, якщо .

Приклад 32. Порівняти функції у1(х)=sin 3x та у2(х)=tg 5x поблизу х0=0.

Скористаємось першою чудовою границею та теоремами про границі. Тоді маємо:

(тут враховано, що ). Отже, в точці х0=0 дані функції є еквівалентно малими.

Виходячи з наслідків першої та другої визначних границь, можна записати таку шкалу еквівалентних б. м. при :

~ ~ ~ ~ ~ ~ .

Як наслідок звідси випливає, наприклад, що при буде: ~; ~ і т. п.

Використовується шкала б. м. при дослідженні невизначеностей типу .

Приклад 33.

.

Відповідь: .

Теорема. Різниця двох еквівалентно малих дає безмежно малу функцію більш високого порядку.

Приклад 34. Нехай у1(х)=1/x та у2(х)=1/(x-1). Тоді для маємо:

у2-у1 = 0 як безмежно мала функція більш високого порядку.

Завдання для перевірки знань

1. Довести, що при безмежно малі величини і будуть еквівалентними.