Вступ до математичного аналізу (стр. 3 )

Приклади:

1) послідовність не має границі, оскільки для ε<1 умова означення не виконується.

2) , де . Дійсно, з умови ε= маємо: . Звідси слідує, що всі n>N (наприклад, для ε=0,1 всі n>N, де N=10) дають , де А=0.

3) Сума геометричної прогресії S= b1+ b2 +…+ bn +… має скінченну границю, якщо її знаменник q<1.

Дійсно, розглянемо скінченну кількість перших доданків вказаної вище суми (Sn – так звані частинні суми прогресії), тобто: Sn=b1+ b2+…+ bn. Домножимо останнє рівняння на q і додамо до лівої та правої частини b1. Тоді маємо: b1+qSn=b1+q(b1+b2+…+bn)+. Звідси для частинної суми з будь-яким скінченним n маємо:

.

Оскільки при q<1 , то .

Приклад 13. Довести за означенням, що границею послідовності є число а=2.

Доведення. Задамо довільне число , тоді

.

З рівності знаходимо, що . Тоді для всіх n>N нерівність виконається £.

Означення 8. Послідовність називається збіжною, якщо вона має границю (скінченну). Послідовність, яка не має границі, називається розбіжною.

Загальні властивості збіжних послідовностей.

Теорема 1: Єдиність границі послідовності. Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Теорема 2: Необхідна умова збіжності послідовності. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Теорема 3: Якщо і , то існує такий номер , що при всіх виконується нерівність .

Приклад 14. Послідовність у розгорнутому вигляді така: ; . Для номерів усі члени послідовності будуть менші за 2.

Теорема 4: Границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто .

Теорема 5: Граничний перехід у нерівності. Якщо для будь-якого n виконується нерівність і , - збіжні, то .

Теорема 6: Про границю проміжної послідовності. Якщо для будь-якого n і , то .

Теорема 7. (Вейєрштрасса): Про границю монотонної й обмеженої послідовності:

1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена згори, то вона збіжна;

2) якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна.

Безмежно мала величина та її властивості

Означення 9. Послідовність називається безмежно малою величиною, якщо і безмежно великою, якщо .

Розглянемо деякі властивості таких послідовностей.

Теорема 8. Зв’язок між б. в. і б. м.

1. Якщо - безмежно мала (б. м.) і , то обернена їй послідовність буде безмежно великою (б. в.), і навпаки.

2. Якщо - б. в., то обернена їй послідовність - б. м.

Теорема 9. Сума двох б. м. є б. м.

Наслідок. Алгебраїчна сума скінченого числа б. м. є б. м.

Теорема 10. Добуток обмеженої величини на б. м. є б. м.

Теорема 11. Добуток двох б. м. є б. м.

Наслідок. Добуток скінченого числа б. м. є б. м.

Теорема 12. Для існування границі а послідовності необхідно і достатньо, щоб послідовність була б. м.

Наслідок. Якщо , то , де - б. м.

Розглянемо приклади виразів, у яких виникають б. в. або, відповідно, б. м. числові послідовності, а також способи їх обчислення (розкриття).

Приклад 15.

.

Відповідь:

Приклад 16. Знайти

Розв’язання. .

Відповідь:

Завдання для перевірки знань

1. Довести, що при n → ∞ послідовність має границею число 2.

2. Довести, що при n → ∞ послідовність має границею число 1,5.

Знайти границі послідовностей:

3. Відповідь: 0.

4. Відповідь: .

5. Відповідь: 0.

6. Вказати формулу загального члена послідовності:

а) 1, 4, 9, 16, 25, … Відповідь: .

б) Відповідь: .

в) Відповідь: .

г) Відповідь: .

д) 2, 5, 8, 11, 14, … Відповідь: .

є) Відповідь: .

4.6. Границя функції. Теореми про границі. Ліва та права границі.

Означення 10. Число А називають границею функції y=f(x), тобто , якщо для будь-якого ε>0 знайдеться таке δ>0, що як тільки її аргументи х попадають у δ-окіл точки х0, так одразу відповідні у=f(x) попадають в ε-окіл точки А. Іншими словами, при виконанні умови обов′язково виконується нерівність [18].

При цьому кажуть, що функція “прямує” до А за умови, що її аргументи х наближаються все ближче до х0. Важливо, що сама функція в точці х0 може бути і не заданою. Вона лише “прямує” (надалі лапки ставити не будемо) до числа .

Означення 11. Число В називають границею функції y=f(x), коли , тобто , якщо для будь-якого ε>0 існує число таке, що з нерівності випливає нерівність .

Розглянемо односторонні границі для функції , тобто коли з одного певного боку. При цьому домовимось, що позначення означає наближення зліва, а позначення - відповідно справа.

Означення 12. Правостороння границя функції:

.

Означення 13. Лівостороння границя функції:

.

Теорема 13. Для існування необхідно і достатньо, щоб виконувалась умова.

Приклад 18. Довести, що не існує.

Розглянемо односторонні границі:

а) ліворуч =;

б) праворуч =.

Отже, не існує, бо односторонні границі хоча й існують, але не рівні між собою.

Приклади.

1) .

2) .

3) (безмежно віддалена точка).

В останньому прикладі функція при π/2=90˚ не існує, однак можна однозначно сказати, куди функція прямує, якщо попередньо домовитись, з якого боку підходити до точки х0=π/2 – зліва чи справа. Відповідно говорять про ліву границю (пишуть ), або про праву границю (). Малі добавки вказують таким своєрідним чином, з якого боку здійснюється підхід.

Зауваження 3. Послідовність за означенням є функцією, хоча і дискретною. Тому границю послідовності можна розглядати як окремий випадок границі функції. З іншого боку, границю функції можна розглядати через наближення числовою послідовністю.

Теореми (про границі функції). Якщо , , то ;;.

В останньому випадку має виконуватись умова В0.

Дійсно, якщо окремі доданки-функції або множники-функції якогось виразу прямують до одного і того ж х0, то і відповідна комбінація границь цих функцій має їх там “чекати”. Границю функції можна обчислювати прямою підстановкою , однак при цьому доволі часто виникають так звані невизначеності. Розглянемо деякі загальні рекомендації щодо дослідження таких невизначених виразів типу , обмежуючись поки що лише алгебраїчними функціями.

1. Невизначеність для раціональних функцій.

Спочатку нагадаємо деякі положення алгебри многочленів. Многочленом називають вираз

.

Теорема 14 (Безу). Остача від ділення многочленна на двочлен типу , дорівнює значенню многочлена при , тобто .

Наслідок. Якщо число - корінь многочлена , тобто , то многочлен ділиться без остачі на двочлен .

Приклад 19. Розкласти на множники многочлен .

Помічаємо, що . Отже, х=1 - корінь многочлена , тому ділиться без остачі на . Тоді, виконавши ділення многочленів, одержимо:

.

Розглянемо , де такі многочлени, що , .

За наслідком з теореми Безу чисельник і знаменник діляться без остачі на , тобто чисельник і знаменник мають спільний множник . Отже, матимемо

.

Степінь многочленів як у чисельнику, так і у знаменнику зменшився на одиницю. Якщо після виконання нового граничного переходу знову буде невизначеність , то наведений алгоритм повторюють.

Зауважимо, що скорочення дробу на множник під знаком границі можливе, бо за означенням границі функції змінна як завгодно близька до числа , але .

Приклад 20.

.

Відповідь:

Отже, невизначеність при для раціональних функцій розкривається діленням многочленів у чисельнику і знаменнику на двочлен .

2. Невизначеність для ірраціональних функцій.

Для розв’язання задач у цьому випадку рекомендується звільнитись від тих ірраціональних множників у чисельнику і знаменнику дробового виразу, які перетворюються на нуль при виконанні граничного переходу. Для звільнення від радикалів використовують формули скороченого множення, заміну змінної та деякі інші штучні прийоми.

Приклад 21.

Відповідь:

Приклад 22.

Відповідь:

3. Невизначеність .

Цей тип невизначеності зводиться до невизначеностей або ; наприклад, зведенням виразу до спільного знаменника, множенням на спряжений вираз.

Приклад 23.