Вища математика (стр. 2 )

Якщо , або , то система не має розв'язків. Якщо , то система має безліч розв'язків.

Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими має вигляд

Аналогічно введемо позначення:

, ,

, .

Якщо , то система має єдиний розв'язок і його знаходять за формулами Крамера

Якщо , а одне з чисел не дорівнює нулю, то система розв'язку не має. При система може бути
несумісною або мати безліч розв'язків.

Аналогічні формули Крамера справедливі для n лінійних рівнянь з n невідомими.

3.2. Матричний метод розв'язування систем лінійних рівнянь

Нехай задано систему n лінійних рівнянь з n невідомими

(3.1)

Введемо матриці

.

Тоді згідно з правилом множення матриць систему (3.1) можна записати одним матричним рівнянням з невідомою матрицею X:

АХ = В.

Якщо матриця А має обернену матрицю А-1, то

Х = А-1В.

Ця формула називається матричним записом розв'язку системи (3.1). Отже, щоб розв'язати систему рівнянь (3.1), достатньо знайти матрицю, обернену до матриці системи А, і помножити її на матрицю з вільних членів справа.

3.3. Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса

Нехай задано систему m лінійних рівнянь з n невідомими

(3.2)

Метод Гауса — це метод послідовного виключення невідомих. За допомогою елементарних перетворень систему (3.2) приводять до системи вигляду

(3.3)

Таку систему рівнянь називають східчастою або трапецієподібною.

1) Якщо система (3.3) містить рівняння виду 0 = bt і bt ≠ 0, то вона очевидно несумісна.

2) Якщо система (3.3) не містить рівнянь виду 0 = bt (bt ≠ 0), то вона має безліч розв'язків.

Назвемо невідомі х1, xk, xl ..., xs основними, а всі інші — вільними (якщо вони є). Надаючи вільним невідомим довільні значення і підставляючи їх у рівняння системи, з r-го рівняння знайдемо xs. Підставляючи це значення в перші r — 1 рівнянь і піднімаючись угору по системі, знайдемо всі основні невідомі. Оскільки вільні невідомі можуть набувати будь-яких значень, то система має безліч розв'язків.

3) Якщо r = n, то система (3.3) має трикутний вигляд і вільних
невідомих не має. В цьому випадку система має єдиний розв'язок.

І. Розв’язати СЛР за формулами Крамера

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

ІІ. Матричним методом розв’язати СЛР

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

ІІІ. Розв’язати СЛР методом Гаусса

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

Глава 2. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії

§1 Вектори. Лінійні операції над векторами

Вектором називається напрямлений відрізок. Якщо початок вектора міститься в точці А, а кінець — у точці В, то вектор позначають так: (рис. 2.1). Вектор позначають також малою буквою латинського алфавіту із стрілочкою над нею або жирним шрифтом без стрілочки: , с.

Довжина вектора або називається його модулем і позначається або .

Вектор, довжина якого дорівнює 0 (тобто початок якого збігається з кінцем), називається нульовим; позначається .

Одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці.

Одиничний вектор, який має той самий напрям, що й вектор , позначається .

Вектори, які лежать на паралельних прямих (або на одній і тій самій прямій), називаються колінеарними.

Вектори, які лежать на паралельних площи­нах (або на одній і тій самій площині), назива­ються компланарними.

Вектори називаються рівними між собою, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і рівні за модулем.

Вектор, колінеарний даному вектору , рівний йому за модулем і протилежно напрямлений, називається протилежним вектором для вектора і позначається -.

Радіусом-вектором точки М відносно точки О називається вектор .

Сумою + двох векторів і називається вектор, напрямлений з початку вектора а в кінець вектора за умови, що кінець вектора і початок вектора збігаються (рис. 2.2, а). Сума кількох векторів — це вектор, який замикає ламану, побудовану з даних векторів (рис. 2.2, б).

Рис. 2.2.

Різницю - векторів , розглядають як суму векторів та — (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Рис.2.4

Добутком дійсного числа на вектор називається вектор = = , довжина якого || = || ||, а напрям збігається з напрямом вектора при > 0 і протилежний йому при < 0 (рис. 2.4). Якщо = 0, то =.

Задачі

1. Як повинні бути розміщені вектори і , щоб .

2. ABCD - паралелограм. М і N - середини його сторін. Розкласти вектор за векторами = і = .

3. Вектори = і = є діагоналями паралелограма ABCD. Виразити вектори , , і через і .

4. В ∆АВС проведена медіана AD. Точка D - середина ВС.

Довести, що + = 2.

5. У ∆АВС, точка О - точка перетину медіан. Довести, що .

6. За даними векторами і , побудувати кожний з таких векторів: а) +; б) -; в) -; г) -- .

7. У ∆АВС проведено медіани AD, BM, CN. Довести рівність ++=.

8. Яку умову мають задовольняти вектори і , щоб вектор + ділив навпіл кут між векторами і .

9. Три вектори =, = і = є сторонами трикутника. Через вектори , і виразити вектори, що збігаються з медіанами трикутника , і .

10. У ромбі ABCD дано вектори-діагоналі = і =. Розкласти за цими векторами усі вектори-сторони ромба: , , і .

11. У трикутнику ABC проведені медіани AD, BE і СР. Записати вектори , і у вигляді лінійної комбінації векторів і .

12. Нехай ABC - довільний трикутник, а Е і F - середини сторін АВ і ВС. Виразити вектори , і через = і =.

13. На площині трикутника ABC знайти таку точку, щоб сума векторів, які направлені із цієї точки до вершин трикутника, дорівнювала нулю.

14. У трикутнику ABC пряма AM є бісектрисою кута ВАС, причому точка М лежить на стороні ВС. Знайти AM, якщо =, =.

15. Дано паралелограм ABCD. Точка М лежить на стороні CD. Знайти суму векторів:

a) + ;

b) + ;

c) (-) + DM;

d) + BM.

16. Дано паралелограм ABCD і довільна точка О простору.

Довести, що + = +.

17. Точки Е і F є серединами сторін АВ і CD чотирикутника (на площині або в просторі). Довести, що .

18. Дано трикутник ABC. На стороні ВС розташована точка М так, що . Знайти , якщо = , =.

19. На стороні AD паралелограма ABCD відкладений відрізок , а на діагоналі - відрізок . Довести, що вектори і колінеарні і знайти відношення .

20. Довести, що сума векторів, які направлені з центра правильного многокутника до його вершин, дорівнює .

§2. Скалярний добуток векторів. Проекції вектора. Розкладання вектора за базисом. Лінійна залежність векторів

Лінійною комбінацією векторів з дійсними коефіцієнтами називається довільний вектор виду .

Якщо вектор поданий у вигляді лінійної комбінації

деяких векторів, то кажуть, що він розкладений за цими векторами.

Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , що і . Якщо рівність справджується лише при , то вектори називаються лінійно незалежними.

Два колінеарні вектори — лінійно залежні, а два неколінеарні — лінійно незалежні.

Три компланарні вектори — лінійно залежні, а три некомпланарні вектори —лінійно незалежні. Чотири вектори в тривимірному про­сторі завжди лінійно залежні.

Базисом векторів на площині називається упорядкована пара лінійно незалежних (неколінеарних) векторів і . Всякий вектор , компланарний векторам і , які утворюють базис, можна подати у вигляді суми . Числа та називають координатами вектора у базисі і пишуть , а саму суму — розкла­дом вектора за цим базисом.

Базисом у просторі називається упорядкована трійка лінійно незалежних (некомпланарних) векторів. Довільний вектор простору можна розкласти за базисом : , де , , — координати вектора у цьому базисі: .

Скалярним добутком векторів називається число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:

.