Вища математика (стр. 1 )

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ БІЗНЕС-КОЛЕДЖ

Вища математика

Збірник задач

Черкаси - 2005

Видання здійснено за фінансової підтримки громадської

організації „Рада батьків Черкащини”

УДК

методичної ради Черкаського без офіційного дозволу ЧДБК

державного бізнес-коледжу заборонено

Протокол № 11 від 10 січня 2005р.

Укладач: Кацімон О. В.

Вища математика

Збірник задач

Черкаси, 2005 – 50 с.

Рецензент: , зав. кафедри алгебри, геометрії та МВМ, кандидат фізико-математичних наук (Черкаський національний університет ім. Б. Хмельницького)

Посібник містить задачі з таких розділів вищої математики: елементи лінійної алгебри, елементи аналітичної геометрії.

До збірника входять задачі і вправи з відповідями для самостійної роботи студентів.

Розраховано на студентів денної форми навчання вищих навчальних закладів І-ІІ рівнів акредитації.

Затверджено на засіданні циклової

фундаментальних та природничих дисциплін

Протокол № 5 від 28 грудня 2004 року. © імон, 2005

Зміст

Глава 1. Елементи лінійної алгебри

§1. Визначники 5

§2. Матриці 12

§3. Системи лінійних рівнянь 17

Глава 2. Елементи векторної алгебри та

аналітичної геометрії

§1. Вектори. Лінійні операції над векторами 24

§2. Скалярний добуток векторів. Проекції вектора 26

§3. Пряма на площині 30

§4. Лінії другого порядку 35

4.1. Коло, еліпс 35

4.2. Гіпербола, парабола 37

§5. Площина в просторі 41

Відповіді 44

Список рекомендованої літератури 48

Про автора 49

Вступ

Математика – одна з найдавніших наук, що зародилась на світанку цивілізації. Вона постійно збагачується, час від часу оновлюється і все більше утверджується як засіб пізнання закономірностей навколишнього світу. Розширюючи і зміцнюючи свої багатогранні зв’язки з практикою, математика допомагає людству відкривати і використовувати закони природи і є у наш час могутнім рушієм розвитку науки і техніки.

Математика, як і інші науки, відображає закони матеріального світу, служить людині засобом пізнання і підкорення природи. Всі поняття і висновки математики виходять з дійсності і широко застосовуються в економічних науках.

Збірник задач написаний автором на основі власного досвіду читання лекцій і проведення практичних занять з вищої математики в Черкаському державному бізнес-коледжі.

Збірник задач містить матеріал двох розділів вищої математики: перший – елементи лінійної алгебри, другий – аналітичної геометрії.

До збірника входять задачі і вправи з відповідями, а також теоретичний матеріал до кожної теми.

Збірник може використовуватись як під керівництвом викладача, так і для самостійної роботи.

Збірник задач спеціально пристосований до курсу вищої математики, розрахований на студентів І-ІІ рівнів акредитації, що вивчають елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.

Глава 1. Елементи лінійної алгебри

§1. Визначники

Визначники другого і третього порядків

Вирази

називаються відповідно визначниками (детермінантами) другого і третього порядків.

Символи називаються елементами визначника. Вони можуть бути числами, функціями, алгебраїчними виразами тощо. Положення елемента у визначнику характеризується двома індексами: перший означає номер рядка (зверху вниз), а другий — номер стовпця (зліва направо), на перетині яких знаходиться даний елемент.

Якщо вважати, що визначник першого порядку — це один елемент, то можна дати таке означення.

Мінором елемента визначників другого і третього порядків відповідно називається визначник першого і другого порядків, які дістаємо з даних визначників викресленням і-го рядка та j-го стовпця.

Алгебраїчним доповненням елемента називається його мінор, взятий зі знаком тобто

Властивості визначників

1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити відповід­ними стовпцями.

2. Якщо переставити місцями два рядки (стовпці), то визначник змінить знак.

3. Якщо один з рядків (стовпців) визначника складається тільки з нулів, то визначник дорівнює нулю.

4. Якщо визначник має два однакових рядки (стовпці), то він до­рівнює нулю.

5. Спільний множник, що міститься в усіх елементах одного рядка (стовпця), можна винести за знак визначника.

6. Якщо у визначнику елементи двох рядків (стовпців) пропор­ційні, то визначник дорівнює нулю.

7. Якщо кожен елемент n-го рядка (n-го стовпця) є сумою двох до­данків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у од­ного з яких n-й рядок (n-й стовпець) складається з перших доданків, а у другого — з других; інші елементи всіх трьох визначників одна­кові.

8. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовп­ця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число.

Теорема 1. Визначник дорівнює сумі добутків елементів якого-небудь рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення, тобто

, або

Ці формули називаються розкладом визначника за елементами і-го рядка та і-го стовпця відповідно.

Наприклад:

Це розклад визначників за елементами першого рядка.

Теорема 2. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Визначники вищих порядків

Визначником четвертого порядку називається вираз

де — алгебраїчні доповнення до елементів (визначники третього порядку з відповідними знаками). Аналогічно дають означення визнач­ників п'ятого порядку через визначники четвертого порядку і т. д., і взагалі, визначник n-го порядку означають через визначники (n - 1)-го порядку, тобто

де — алгебраїчні доповнення до елементів (визначники (n - 1)-го порядку з відповідними знаками). Це розклад визначника за елемен­тами 1-го рядка та j-го стовпця відповідно.

І. Обчислити визначники

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

ІІ. Розв’язати рівняння

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. .

10. .

ІІІ. Користуючись властивостями визначників і теоремами 1, 2, довести рівності

1. . 2. .

3. .

4. .

5. . 6..

IV. Обчислити визначники накопиченням нулів у рядку чи стовпці

1. 2. .

3. 4. .

5. 6..

7. 8. .

9. 10. .

11. 12. .

V. Розв’язати нерівність

1. 2. .

3. 4. .

5. 6. .

7. 8. .

§2. Mатриці. Дії над матрицями.

Обернена матриця. Ранг матриці

2.1. Дії над матрицями

Прямокутна таблиця чисел , складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді

,

називається матрицею (числовою матрицею розміром т x п).

Коротко матрицю позначають так: , де — елементи матриці. Якщо m=n, то матриця називається квадратною.

Дві матриці та називаються рівними між собою, якщо вони мають однакові розміри (, ) і рівні відповідні елементи: =. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначають її буквою О. Квад­ратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожний елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е.

Визначником квадратної матриці називається ви­значник, який складений з елементів матриці і позначається символом det А. Таким чином,

.

Квадратна матриця А називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю: det А ≠ 0.

Сумою С = А + В двох матриць однакового розміру та називається матриця

.

Добутком матриці на число k називається матриця

.

Різниця А — В матриць однакових розмірів визначається як сума матриці А і матриці В, помноженої на (—1):

А — В = А + (—1) В.

Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матри­ці В.

Якщо матриця А узгоджена з матрицею В, то добутком С = АВ матриці на матрицю називається така -матриця, у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В:

Матриці А і В називаються переставними, якщо АВ = ВА. Матриця А*=() називається транспонованою до матриці А=(), якщо =.

Квадратна матриця А називається симетричною, якщо А* = А, і косоcиметричною, якщо А* = - А.

2.2. Обернена матриця

Нехай A — квадратна матриця. Матриця A-1 називається оберненою до матриці А, якщо

АА-1 = А-1А = Е.

Теорема. Для існування оберненої матриці А-1 необхідно і достатньо, щоб матриця А була невиродженою; при цьому

,

де — алгебраїчні доповнення елементів визначника матриці

.

2.3. Ранг матриці

Визначник порядку k, складений з елементів, що стоять на перетині виділених k рядків і k стовпців, називається мінором k-го порядку матриці .

Рангом r(А) матриці А називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Крім безпосереднього обчислення мінорів, ранг матриці можна знайти простішим методом, який ґрунтується на тому, що ранг матриці не зміниться, якщо над нею виконати так звані елементарні перетво­рення, а саме:

а) переставити місцями два рядки (стовпці);

б) помножити кожний елемент рядка (стовпця) на один і той самий відмінний від нуля множник;

в) додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.

І. Знайти добуток матриць

1. 2.

3. 4..

5. 6. .

7. 8.

9. 10..

ІІ. Довести, що операція множення матриць не комутативна. На прикладі матриць А і В, якщо:

1.

2.

ІІІ. Знайти обернену матрицю до матриць. Зробити перевірку

1. 2.

3. 4..

5. 6..

7. 8..

9. 10..

IV. Розв’язати матричні рівняння

1. 2..

3. 4.

5.

V. Визначити ранг матриці

1. 2. .

3. 4. .

5. 6..

7. 8..

9. 10..

11. 12..

13. 14..

§3. Системи лінійних рівнянь

3.1. Розв'язування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими має вигляд

Введемо позначення:

Якщо , то система має єдиний розв'язок і справедливі формули Крамера

.