Вища математика (стр. 4 )

Рис. 4.2

Ексцентриситет еліпса визначається рівністю , очевидно, 0 < < 1.F1M = r1 і F2M = r2 — фокальні радіуси точки М. Прямі x = ± - директриси еліпса.

Рівняння дотичної до еліпса у точці М0 (х0; у0) має вигляд . Еліпс з центром у точці С(х0; у0) задається рівнянням .

Задачі

1. Перевірити, чи є колом лінія, задана рівнянням: х2+у2-4x-6y+l=0. Знайти її центр і радіус.

2. Записати рівняння кола, якщо точки А(-1;4) і В(3;2) є кінцями його діаметра.

3. Скласти рівняння кола, діаметром якого є відрізок прямої

4х - 3у + 12 = 0, і який (діаметр) міститься між осями координат.

4. Скласти рівняння кола, що дотикається до осі абсцис у точці A(2;0) і проходить через точку В(-1;3).

5. Знайти координати центра і радіус кола:

a) х2 + у2 + 6х – 10у + 13 = 0;

b) х2 + у2 +12у - 13 = 0;

с) 9х2 + 9у2 +12х - 54у - 95 = 0;

6. Скласти рівняння кола, що проходить через центри кіл:

х2+у2+6x+8y=0 і х2+у2+2х-12у+1=0.

7. Скласти рівняння прямої, що проходить через три точки: А(0;2), В(1;1) і С(2;-2).

8. Скласти рівняння кола з центром в точці (2;2), яке дотикається до прямої 3х+у–18=0.

9. Скласти рівняння кола, описаного навколо трикутника, вершинами якого є точки А(0;1), В(-2;0), С(0;-1).

10. Скласти рівняння кола, діаметром якого є спільна хорда кіл:

х2+у2+4x-4y+2=0 і x2+y2-2x+2y-l4=0.

11. Скласти канонічне рівняння еліпса, який проходить через точки М1(3,2) М2 , якщо його фокуси лежать на осі Ох симетрично початку координат.

12. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого знаходяться на осі Ох, симетрично початку координат, якщо відстань між фокусами дорівнює 14, а ексцентриситет дорівнює .

13. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо задані його вершини (0;3) і (0;-3) і відстань між фокусами дорівнює 8.

14. Знайти довжини осей, координати фокусів і ексцентриситет еліпса:

16х2+25у2=400.

15. Скласти канонічне рівняння еліпса з ексцентриситетом =0,28 і фокусами: (±7;0).

16. Побудувати еліпс х2+4у2=16. Знайти його фокуси і ексцентриситет.

17. Еліпс, фокуси якого розташовані на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, проходить через точку М(1;1) та має ексцентриситет . Скласти рівняння еліпса.

18. Визначити ексцентриситет еліпса, якщо його малу вісь видно з фокуса під прямим кутом.

19. Скласти рівняння еліпса, знаючи, що його велика вісь дорівнює 26 та фокуси F1(-10;0), F2(14;0).

20. Знайти точки перетину еліпса з прямою 2х–у–9=0.

4.3. Гіпербола, парабола

Канонічне рівняння гіперболи (рис. 4.3, а) має вигляд

, a>0, b>0.

Рис. 4.3

Параметри 2а, 2b — осі гіперболи; а, b — її півосі; А1 (—а; 0), А2 (а; 0) — вершини, осі симетрії Ох і Оу — дійсна і уявна, О(0; 0) — центр гіперболи.

Прямі ± — асимптоти гіперболи.

Точки F1 (—с; 0) і F2 (с; 0), де с=, — фокуси гіперболи.

Число - ексцентриситет гіперболи (1 < < ).

Прямі ±- називаються директрисами гіперболи.

Гіпербола, для якої а = b, називається рівносторонньою, її рівняння х2 - у2 = а2, а рівняння асимптот у = ±х.

Гіперболи (рис. 4.3, б)

i

називаються спряженими.

Дотична до гіперболи у точці М0(х0; у0) визначається рівнянням

.

Рівняння гіперболи (рис. 4.3, в) з центром у точці С (х0; у0) має вигляд

,

а рівняння її асимптот

.

Канонічне рівняння параболи

y2 = 2рх

(рис. 4.4); р > 0 - параметр параболи; точка O (0; 0) - вершина; вісь Ох - вісь параболи; точка F (-; 0) - фокус параболи. Пряма директриса параболи; фокальний радіус точки M (х; у) параболи визначається рівністю r = х + .

Рис. 4.4 Рис. 4.5

Рівняння параболи, симетричної щодо осі Оу з вершиною у початку координат (рис. 4.5), має вигляд

x2 = 2ру.

Рис. 4.6 Рис. 4.7 Рис. 4.8

Фокус ; y=- директриса; фокальний радіус точ­ки М:

r = у + - (р>0).

Ексцентриситет параболи = 1.

Рівняння

у2 = - 2рх і х2 = - 2ру (р > 0)

визначають параболи, зображені на рис. 4.6 і 4.7 відповідно.

Дотична до параболи у2 = 2рх у точці М0(х0; у0) визначається рівністю уу0 = р (х + х0).

Рівняння параболи з вершиною у точці С (х0; у0) (рис. 4.8) має вигляд

(y — y0)2 = 2р(х — х0).

Задачі

1. Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо:

a) а = 12, b = 5;

b) 2с = 10, 2а = 6;

c) 2а = 16, = 1,25;

d) = l,5, 2c = 6.

2. Дана гіпербола 16х2-25у2=400. Визначити довжини осей, координати фокусів і ексцентриситет гіперболи.

3. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої знаходяться на осі Ох симетрично початку координат, якщо дійсна вісь дорівнює 5, а ексцентриситет .

4. Знайти координати фокусів, ексцентриситет і рівняння асимптот гіперболи .

5. Сума півосей гіперболи дорівнює 17, а ексцентриситет . Скласти канонічне рівняння гіперболи і знайти координати її фокусів.

6. Фокуси гіперболи співпадають з фокусами еліпса: 9х2+25у2 =225. Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2.

7. Визначити координати фокусів і скласти рівняння директриси параболи у2=24х.

8. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, директриса якої задана рівнянням: х = 3.

9. Дослідити взаємне розміщення параболи у2=х і прямої х+у–2=0.

10. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, фокус якої знаходиться в точці перетину прямої: 3х-2у+5=0 і віссю ординат.

11. Скласти рівняння параболи, яка має фокус F(0;-3) і проходить через початок координат, знаючи, що її віссю є вісь Оу.

12. Скласти рівняння параболи з вершиною в точці О1(3;-2) і з фокусом в точці F(3;0).

13. Скласти рівняння параболи, знаючи, що вісь ординат є директрисою параболи, а фокус має координати (5;0).

14. Скласти рівняння параболи, якщо її фокус F (7;2) та рівняння директриси х-5=0.

15. В параболу х2 = вписано рівносторонній трикутник так, що одна з вершин його збігається з вершиною параболи. Знайти сторону трикутника.

16. Скласти рівняння гіперболи, що проходить через точку А(2;1) і має асимптоти у =.

17. Фокуси гіперболи збігаються з вершинами еліпса , а директриси гіперболи проходять через фокуси цього еліпса. Скласти рівняння гіперболи.

18. Переконавшись, що точка М(10; -) належить гіперболі , скласти рівняння прямих, на яких лежать фокальні радіуси точки М.

19. Гіпербола проходить через точку М . Знайти фокальні радіуси точки М.

20. Знайти фокальні радіуси гіперболи у точках перетину її з колом х2 + у2 = 91.

§5. Площина у просторі

5.1. Загальне рівняння площини та його дослідження

Ах + By + Сz + D = 0 — загальне рівняння площини;

= (А; В; С) — нормальний вектор (перпендикулярний до площини);

D = 0, Ах + By + Сz = 0 — рівняння площини, що проходить через точку О (0; 0; 0);

С = 0, Ах + By + D = 0 — рівняння площини, паралельної осі Оz;

С = D = 0, Aх + Вy = 0 — рівняння площини, що проходить через вісь Оz;

В = С = 0, Ax + D = 0 — рівняння площини, паралельної площині Оуz;

х = 0, у = 0, z = 0 — рівняння координатних площин;

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0) = 0 — рівняння площини Р, що проходить через точку М0 (х0; у0; Zp) і має нормальний вектор n = (A; В; С) (рис. 5.1).

х

Рис. 5.1

5.2. Різні види рівнянь площини

Площина в декартовій прямокутній системі координат Oxyz може бути задана рівняннями:

1) — рівняння площини у відрізках на осях, де а, b, с — величини відрізків, що їх відтинає площина на координат­них осях Ox, Oy, Oz відповідно;

2)

=0

— рівняння площини, що проходить через три точки (які не лежать на одній прямій) М1 (х1, у1, z1), М2 (х2; у2; z2), M3 (x3; y3; z3).

Відстань від точки М0 (х0; у0; z0) до площини Ах + By + Cz + D = 0 визначають за формулою

.

5.3. Кут між двома площинами

Умови паралельності та перпендикулярності двох площин

Кут між двома площинами А1х + В1y + C1z + D1 = 0 та А2х + В2у + C2z + D2 = 0 знаходять за формулою

Умова перпендикулярності площин:

= 0

Умова паралельності площин:

.

Дві площини збігаються, якщо справджуються рівності

.

Задачі

1. Задано точки М1(1;2;-1) і М2(0;3;1). Скласти рівняння площини, що проходить через точку М1, перпендикулярно вектору .

2. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М0(2;-1;4), паралельно площині x–y+2z–3=0.

3. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат, точку N(l;-4;2) і перпендикулярна площині

х–y+2z–3=0.

4. Знайти кут між площинами 3x-4y–z–l=0 і 2x+3y-6z-2=0.

5. Побудувати площину 3x-2y+4z–12=0.

6. Знайти висоту SO піраміди, що задана своїми вершинами S(0;6;0), A(2;1;-1), B(3;0;1), С(3;-1;3).

7. Скласти рівняння площини, що перпендикулярна осі Ох і проходить через точку М0(2;-1;3).

8. Скласти рівняння площини, що проходить через вісь Ох і точку М(3;2;4).

9. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(-2;3;4) і паралельно площині x+2y-3z+4=0.

10. Знайти відстань між паралельними площинами:

2x-3y+6z+28=0 і 2x-3y+6z-14=0.

11. Скласти рівняння площини, що проходить через три точки: А(5;2;0), В(2;5;0), С(1;2;4).

12. Знайти кут між площинами: 2x-3y+4z-l=0 і 3x-4y-z+3=0.

13. Скласти рівняння площини:

а) що проходить через вісь Oz і точку М( 1; 1; 1);

б) що проходить через вісь Оу і точку М(-2;-3;-4).

14. Скласти рівняння площини, що перпендикулярна до осі Oz і проходить через точку М0(- 2;-3;-1).

15. Знайти відстань:

а) від точки А(1;-2;1) до площини 10х-2у+11z-10=0;

б) від точки А(2;-3;-2) до площини 6x-7y-6z-124=0.

16. Площина проходить через точку M1(6;-10;1) і відтинає на осі абсцис відрізок а=-3 і на осі аплікат відрізок с=2. Знайти рівняння цієї площини.

17. Дано дві точки А(3;2;-1) і В(2;-3;1). Знайти рівняння площин, які проходять через точки А і В паралельно координатним осям.

18. На осі Oz знайти точку, рівновіддалену від точки М(1;-2;0) і від площини 3x-2y+6z-9=0.

19. Знайти рівняння площини, перпендикулярної до площини 2x-2y+4z-5=0, яка відтинає на координатних осях Ох та Оу відрізки а=-2, .

20. Знайти рівняння площини, що проходить через точки М1(1;2;-1) та М2(- 3;2;1) і відтинає на осі ординат відрізок b=3.

Відповіді

Глава 1

§1. І. 1.9. 2.2. 3. . 4.. 5. 10080. 6.. 7.0. 8.35. 9. 0. 10.12. 11. -18. 12. 4. 13. . 14. -8. 15. -216. 16. 120. 17. -303.

18. 118. 19. . 20. -9.

ІІ. 1. . 2. . 3.. 4. 1. 5. . 6. . 7. 1. 8. . 9. . 10. .

IV. 1.20. 2. 900. 3. 1. 4. -160. 5. . 6. 16. 7. 54. 8. 174. 9. 48.

10. -21. 11. 160. 12. 24.

V. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. .

§2. I. 1. . 2. Матриці не узгоджені. 3. .

4. Матриці не узгоджені. 5. . 6. Матриці не узгоджені.

7. . 8. Матриці не узгоджені. 9. (34).

10. Матриці не узгоджені.

ІІІ. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. .

8. Матриця вироджена. 9. . 10. Матриця вироджена.