Вища математика (стр. 3 )

Скалярний добуток позначають також і .

Геометричні властивості скалярного добутку

1. (умова перпендикулярності векторів);

2. ;

3. ;

4. .

Алгебраїчні властивості скалярного добутку

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Якщо вектори задано своїми координатами , то скалярний добуток

,

а кут між векторами знаходять за формулою

.

Задачі

1. Знайти проекцію вектора на вісь, напрямок якої співпадає з напрямком вектора , якщо і .

2. Знайти координати точки В, яка є кінцем вектора , якщо початок співпадає точкою А(1;4;-7).

3. Довести, що точки А(-1;2;3), В(2;-1;1), С(1;-3;-1) і D(-5;3;3) є вершинами трапеції.

4. Задано три вектори , , . Розкласти вектор за базисом і .

5. Задані точки: А(0;-1;2) і В(-1;1;4). Знайти координати, довжину і напрямні косинуси вектора .

6. Чи може вектор утворювати з осями координат кути 60°, = 30°?

7. Знайти вектор , колінеарний вектору .

8. Знайти скалярний добуток векторів і , якщо ; ; .

9. Знайти довжину вектора , якщо ; , а кут між векторами і дорівнює .

10. Вектори і взаємно перпендикулярні, а вектор утворює з ними кути рівні , знаючи, що , , . Обчислити

11. При якому значенні m вектори і перпендикулярні?

12. Представити вектор як лінійну комбінацію векторів і в кожному випадку, якщо:

а) , , , ;

b) , , , ;

c) , , , .

13. Знайти , якщо , , = 60°.

14. Знайти модуль вектора , якщо , , кут між векторами і дорівнює 120°.

15. Вектори і утворюють кут . Відомо, що , . Знайти кут між векторами i .

16. Кут між векторами і дорівнює 60°, , . Знайти і .

17. Кут між векторами і дорівнює 120°. Знайти:

а) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

18. Дано точки A(-3;0;-2), B(5;-2;l), C(2;6;-l), D(l;3;-3). Довести, що прямі АВ та CD взаємно перпендикулярні.

19. Дано вершини трикутника А(0;0;5), В(5;-2;1), С(2;6;1). Знайти проекцію вектора на .

20. Дано вершини трикутника А(0;0;5), В(5;-2;1), С(2;6;1). Знайти кути трикутника.

§3. Пряма на площині

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині

Пряма на площині в декартових координатах може бути задана одним з таких рівнянь:

1. Ах + By + С = 0 — загальне рівняння прямої;

2. А (х – х0) + В (у — у0) = 0 — рівняння прямої, що проходить через точку М0 (х0; у0) перпендикулярно до нормального вектора = (А; В) (рис. 3.1);

Рис. 3.1 Рис. 3.2 Рис. 3.3

3. - рівняння прямої (рис. 3.2), що проходить через точку М0 (х0; у0) паралельно напрямному вектору = (m; n) (канонічне рівняння прямої);

Рис. 3.4 Рис. 3.5 Рис. 3.6

4. х = х0 + mі, у = у0 + nt (tÎ(-; )) — параметричні рів­няння прямої (рис. 3.3), що у векторній формі мають вигляд ;

5. - рівняння прямої (рис. 3.4), що проходить через дві задані точки М1 (х1; у1), М2 (х2; у2);

6. — рівняння прямої у відрізках на осях (рис. 3.5), де а і b — відрізки, що їх відтинає пряма на координатних осях Ох і Оу відповідно;

7. у = kx + b - рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (рис. 3.6), де k - кутовий коефіцієнт прямої (k = tgj); b - величина
відрізка, що його відтинає пряма на осі Оу;

8. у — у0 = k (х — х0) - рівняння прямої, що проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт;

9. х cos a + y sina — р = 0 — нормальне рівняння прямої, де р > 0 - довжина перпендикуляра, проведеного з початку координат на пряму; a — кут нахилу цього перпендикуляра до осі Ох.

3.2. Загальне рівняння прямої та його дослідження.

Пучок прямих

Рівняння Ах + By + С = 0 називається загальним рівнянням прямої на площині, де А, В - координати вектора нормалі до прямої; С - вільний член:

1. С = 0 — рівняння Ах + By = 0 визначає пряму, що проходить
через початок координат;

2. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 — рівняння Ах + С = 0 або х = а - визначає пряму, паралельну осі Оу;

3. В = 0, А ≠ 0, С = 0 — рівняння Ах=0 або х=0 визначає вісь Оу;

4. А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0 — рівняння Ву + С = 0 або визначає пряму, паралельну осі Ох;

5. А = 0, В ≠ 0, С = 0 — рівняння Ву=0 або у=0 визначає вісь Ох;

6. А ≠ 0, В ≠ 0, С ≠ 0 — рівняння визначає пряму у = kx + b з кутовим коефіцієнтом .

Пряма Ах + By + С = 0 ділить площину на дві півплощини так, що для координат точок однієї з них справджується нерівність Ах + By +

С > 0, а для координат точок іншої — нерівність Ах + B у + С < 0.

Сукупність усіх прямих, що проходять через одну й ту саму точку, називається пучком прямих, а їх спільна точка — центром пучка.

Якщо через х0 і у0 позначити координати центра, то рівняння

А (х – х0)+ В (у - у0) = 0

визначає довільну пряму пучка.

Рівняння пучка прямих можна записати також у вигляді

(А1х + В1у + С1) + l (А2х + В2у + С2) = 0.

Змінюючи l від - до +, дістанемо довільну пряму, що проходить через точку перетину прямих

А1х + В1у + С1 = 0 і А2х + В2у + С2 = 0.

3.3. Кут між двома прямими.

Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих

Кутом між прямими l1 і l2 називається кут q, на який треба повер­нути пряму l1 (проти годинникової стрілки), щоб вона сумістилася з прямою l2 (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Якщо прямі задано канонічними рівняннями

,

то кут між ними знаходять за формулою

Ознакою паралельності прямих є пропорційність координат напрямних векторів , а умовою перпендикулярності — рівність .

Якщо прямі задано рівняннями з кутовим коефіцієнтом

у = k1x + b1 і у = k2x + b2, то

.

Ознакою паралельності цих прямих буде рівність їх кутових коефіцієнтів k1=k2, а ознакою перпендикулярності - рівність .

Якщо прямі l1 і l2 задано загальними рівняннями

А1х + В1y + С1 = 0,

А2х + В2y + С2 = 0,

то

.

Ознакою їх паралельності є рівність , а перпендикулярності — рівність А1А2 + B1B2 = 0.

3.4. Відстань від точки до прямої

Відстань від точки М0 (х0; у0) до прямої Ах + By + С = 0 знаходять за формулою

.

Задачі

1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через дану точку М0 паралельно вектору , якщо:

a) М0 (-4; 2), (2; - l); b) М0 (4; 0), = 3 - 7;

c) M0 (-l; 3), = 4.

2. Записати параметричне рівняння кожної з даних прямих:

а) ; b) .

3. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М0(-1;3) перпендикулярно вектору (2;-3).

4. Серед множини прямих А(х+3)+В(у-4)=0 знайти ту, яка перпендикулярна вектору = -5 + 3.

5. Скласти рівняння прямої, що проходить через середину відрізка АВ, перпендикулярно до нього, якщо А(3;-2), В(5;-4).

6. Дано ∆АВС з вершинами А(3;4), В(2;5), С(7;8). Скласти рівняння прямої, що проходить через точку В перпендикулярно медіані BD (точка D належить АС).

7. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, що проходить через точки М1(-2;3) і M2(5;-1).

8. Знайти кутовий коефіцієнт і початкову ординату прямої

3х+2у-6=0.

9. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М0(-3;2) і утворює з додатнім напрямом осі Ох кут .

10. Із пучка прямих, визначених рівнянням y+2=k(x-5), знайти ту, яка проходить через точку А(1 ;6).

11. Дано координати вершин ∆АВС: А(2;4), В(6;3), С(4;-3). Скласти рівняння медіани AD.

12. Скласти рівняння прямої, якщо точка М(2;3) є серединою її відрізка, розташованого між осями координат.

13. Скласти рівняння прямої, що утворює з віссю ОХ кут = 30° і проходить через точку А(-1;1).

14. Знайти пряму, паралельну прямій 3х-7у+11=0, яка проходить через точку А(0;3).

15. Знайти площу трикутника, обмеженого прямою х-у+3=0 і осями координат.

16. Довести, що прямі 3х-2у-1=0 і 2х+5у-12=0 перетинаються, і знайти їх точку перетину.

17. Знайти кут між прямими: 7х-у-2=0 і х-у+3=0.

18. Знайти кут між прямими: 2х-у-4=0 і у= х + 4.

19. При якому значенні а пари прямих паралельні; перпендикулярні.
Прямі задані рівняннями:

a) 3х-2у+11=0 і ах-4у+3=0;

b) 7х-2у+9=0 і ах+у-3=0.

20. Знайти кут між прямими 2х-3у+5=0 і х+2у+2=0.

§4. Лінії другого порядку

4.1. Коло.

Рівняння (х — х0)2 + (у — y0)2 = R2 визначає коло (рис. 4.1) з центром у точці С (х0, у0) і радіусом R. Зокрема, якщо центром кола є початок координат (х0 = 0, у0 = 0), то рівняння кола має вигляд

x2 + y2 = R2.

Рис. 4.1

4.2. Еліпс

Канонічне рівняння еліпса (рис. 4.2) має вигляд , де . Відстані між вершинами називаються осями еліпса: велика (фо­кальна) вісь А2А1 = 2а і мала вісь В2В1 = 2b, відстань між фокусами F2F1 = 2с; a, b — півосі еліпса.