Пущинские математические регаты учебный год (стр. 2 )

2) Разделите квадрат на три части одинаковой площади так, чтобы ни одна из частей не была прямоугольником. Найдите как можно больше разных решений задачи. Решения поясните.

2Можно ли расположить на плоскости 6 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с четырьмя другими прямыми?

2) Можно ли на плоскости расположить 2007 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с 1998 прямыми?

10-2008. 3 тур (20 минут).

3Докажите, что для любых чисел a и b верно неравенство: ?

2) Для любых ли положительных чисел с и d верно неравенство: . В каких случаях оно превращается в верное равенство?

3) Найдите наименьшее значение функции . При каком х оно достигается?

3.2.  1) В выпуклом шестиугольнике все углы равны. Чему они равны?

2) Найдите и докажите свойство противоположных сторон шестиугольника, все углы которого равны.

3) В выпуклом шестиугольнике равны все углы и противоположные стороны. Найдите и докажите свойство диагоналей, соединяющих противоположные вершины (А1А4, А2А5, А3А6).

3.3. Произведение n первых натуральных чисел обозначается так: n! (читается так «n-факториал»). Например, (1! считают равным 1).

1)  На сколько нулей оканчивается число 10! ?

2)  При каком наименьшем n число n! оканчивается на 12 нулей?

3) На какую цифру оканчивается сумма 1!+2!+3!+…+2007! ?

10-2008. 5 тур (25 минут).

4.1. Придумайте уравнение с целыми коэффициентами, у которого есть следующие корни (всего 5 разных уравнений):

1)

2)

3)

4)

5)

4В выпуклом четырехугольнике последовательно соединили середины сторон и получили четырехугольник. Определите вид этого четырехугольника (докажите ваше утверждение).

2) Середины сторон выпуклого четырехугольника АВСD лежат на одной окружности. Каким свойством обладает четырехугольника АВСD? Докажите найденное свойство.

4.3. От четырехугольника последовательными прямолинейными разрезами отрезали 2 треугольника. Могла ли оставшаяся часть быть:

·  Шестиугольником

·  Четырехугольником

·  Треугольником

1)  От 100-угольника последовательными прямолинейными разрезами отрезали 100 треугольников. Могла ли оставшаяся часть быть:

·  100-угольником

·  треугольником

·  300-угольником

3) От выпуклого n-угольника последовательными прямолинейными разрезами отрезали n треугольников. В результате чего получили 2007-угольник. Чему может быть равно n?

10-2008. 5 тур (10 минут). Задачи, подобные уже разобранным.

2.1* Задайте формулой функцию g(x), которая имеет область определения:

4.1* Придумайте уравнение с целыми коэффициентами, у которого есть корень: .

3.2.* Чему равен угол в правильном 100-угольнике?

2.2.* Разделите квадрат на пять частей одинаковой площади так, чтобы ни одна из частей не была прямоугольником. Решения поясните.

2.3.* 1) Можно ли расположить на плоскости 9 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с шестью другими прямыми?

2) Можно ли расположить на плоскости 9 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с семью другими прямыми?

3) Можно ли расположить на плоскости 9 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с восемью другими прямыми?

Если можно, приведите пример, если нельзя – объясните почему.

3.3.* Произведение n первых натуральных чисел обозначается так: n! (читается так «n-факториал»). Например, (1! считают равным 1). Назовите две последние цифры суммы 1!+2!+3!+…+2007! ?

11 класс. Условия задач.

11-2008. 1 тур (12 минут).

1.1.  1) Придумайте уравнение четвертой степени, которое имеет ровно 2 корня.

2) Придумайте неравенство четвертой степени, решением которого были бы только два числа: х=0, х=1.

3) Придумайте неравенство шестой степени, решением которого были бы только два числа: х= -1, х=1.

1.2.  Сколько существует плоскостей, которые разбивают куб на два равных многогранника. Как расположены все такие плоскости? Ответ поясните.

1.3. Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же суммой цифр.

1)  Найдите десятое «замечательное» число.

2)  Найдите самое большое двухзначное «замечательное» число. Какой у него номер?

Ответы поясните.

11-2008. 2 тур (15 минут).

2.1.  Графики трех из приведенных ниже десяти функций нарисованы на координатных плоскостях. Определите, какой функции соответствует каждый график, решение поясните.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

2.2. Дана шестиугольная призма. Может ли в сечении ее плоскостью образовываться:

1)  пятиугольник,

2)  восьмиугольник,

3)  десятиугольник?

Если может, нарисуйте такую плоскость, если не может, объясните, почему.

Если останется время, сформулируйте общее утверждение, которое следует из решения этой задачи.

2.3. Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же суммой цифр.

Найдите 2007-е «замечательное» число.

11-2008. 3 тур (20 минут).

3.1.  Укажите уравнение какой-либо прямой, на которой график данной функции высекает равные отрезки. Докажите, что это так.

1)

2)

3)

3.2. Многогранник спроектировали на три взаимно перпендикулярные плоскости. В проекциях получили треугольник, четырехугольник и пятиугольник. Нарисуйте один из возможных видов такого многогранника, отметьте на рисунке, как располагаются плоскости проекции. Если останется время, попробуйте нарисовать как можно больше различных многогранников, отвечающих условию задачи.

3.3.  Шахматный турнир, проводился по круговой системе (каждый участник должен сыграть с каждым из остальных участников по одной партии).

Два участника, Вася и Петя, сыграли несколько партий, заболели и выбыли из турнира. В результате было сыграно 23 партии.

1)  Могло ли участников турнира (включая Васю и Петю) быть 6?

2)  Сколько могло быть участников турнира?

3)  Известно, что Вася и Петя до болезни успели сыграть одинаковое количество партий. Сыграли ли они друг с другом?

11-2008. 4 тур (25 минут).

4Известно, что , докажите, что .

2) Решите систему:

4Для любой ли пирамиды существует плоскость, равноудаленная от всех ее вершин?

2) Приведите пример четырехугольной пирамиды, для которой существует пять плоскостей, равноудаленных от всех ее вершин. Пример поясните.

4.3. Рассматривают число N, равное произведению первых 2007 простых чисел.

1)  Сколько нулей на конце имеет число N?

2)  Может ли N+1 быть квадратом натурального числа?

8 класс. Решения задач.

Разминка (2 минуты). Задача оценивается в 2 балла.

Куб числа в 8 раз больше его квадрата. Найдите это число.

Решение. По условию задачи . Значит, число равно 8.

1 тур - (12 минут).

1.1.  Задайте четыре линейные функции, графики которых нарисованы на координатной плоскости (см. рисунок). Известно, что прямые a и b параллельны друг другу, а прямая с параллельна оси абсцисс.

Решение.

Прямая с параллельна оси абсцисс и проходит через точку (0;6). Значит ее уравнение у=6.

Прямая b проходит через начало координат, значит, ее уравнение имеет следующий общий вид: у=kx. Подставляя в это уравнение координаты точки (3;6), находим, что k=2. Таким образом, прямая b является графиком функции у=2х.

Прямая a параллельна прямой b, следовательно, их угловые коэффициенты равны, и уравнение прямой a имеет вид у=2х+b. Так как прямая a проходит через точку (0;-4) , то b в этом уравнении равно –4. Таким образом, прямая a является графиком функции у=2х–4.

Для того, чтобы найти функцию, графиком которой является прямая d, найдем координаты точки пересечения прямой a, имеющей уравнение

у=2х–4 с осью абсцисс: у=0, х=2. Эта же точка (2;0) принадлежит прямой d.

Так как прямая d проходит через точку (0;6), коэффициент b в ее уравнении равен 6. Подставляя координаты точки (2;0) в уравнение у=kх+6, находим k: 0=2k+6, отсюда k= –3. Таким образом, прямая d является графиком функции у=–3х+6.

1.2. Назовем два параллелограмма равными, если в них соответствующие стороны и углы равны. Дима придумал два «признака» равенства параллелограммов. Выясните, верны ли они. Если утверждение верно, то докажите его, если неверно, то приведите опровергающий пример.

1) «Первый признак». Если сторона и два прилежащих к ней угла одного параллелограмма соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого параллелограмма, то такие параллелограммы равны.

Решение. «Первый признак» неверен. Сторона и два прилежащих к ней угла в параллелограмме не определяют соседние с данной стороной стороны. На рисунке изображены неравные параллелограммы АВСD и АЕFD, имеющие общую сторону и прилежащие к ней углы.

2) «Второй признак». Если две диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны двум диагоналям и углу между ними другого параллелограмма, то такие параллелограммы равны.

Решение. Второй признак верен.

Рассмотрим два параллелограмма АВСD и KLMN, у которых равны соответствующие диагонали и углы между ними. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольники АВО и KLP равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда вытекает равенство сторон АВ и KL двух параллелограммов. Аналогично доказывается равенство других соответственных сторон параллелограммов. Равенство соответственных углов вытекает также из равенства треугольников. Например, равны углы ОАВ и PKL, как соответственные элементы равных треугольников, и аналогично равны углы ОАD и PKN. Значит, равны и углы параллелограммов ВАD и LKN.

Замечание. Равенства соответствующих сторон двух параллелограммов недостаточно для того, чтобы параллелограммы были равны, необходимо доказать, что в них есть еще пара равных углов.

1.3. Папа, мама, Маша, Яша и Вася пошли в лес за грибами. Вместе они нашли 18 грибов, причем каждый нашел хотя бы один гриб и никто не нашел столько же грибов, сколько другой.

1)  Мог ли папа найти 6 грибов?

Решение. Мог. Например, так: Папа нашел 6 грибов, мама - 5 грибов, Маша - 4 гриба, Яша – 2 гриба, а Вася – 1 гриб. Итого: 6+5+4+2+1 = 18.

2)  Мог ли папа найти 9 грибов?

Решение. Не мог. Если папа нашел 9 грибов, а все вместе нашли 18 грибов, то остальные в сумме должны найти 9 грибов. Но наименьшее число грибов, которые могут собрать 4 человека при условии, что каждый нашел хотя бы один гриб и никто не нашел столько же грибов, сколько другой, равно 10: 1+2+3+4=10.

3)  Вася самый маленький, он нашел грибов меньше всех. Можно ли узнать из данных задачи, сколько грибов нашел Вася? Ответы обоснуйте.

Решение. Вася нашел 1 гриб. Если бы Вася нашел 2 гриба и при этом нашел меньше всех, то минимальное число грибов, которое нашла вся семья, равно 2+3+4+5+6=20. Значит, если Вася нашел 2 гриба или больше, то вся семья не может найти 18 грибов. Если же Вася нашел 1 гриб, то вся семья может найти 18 грибов: один из возможных примеров уже был приведен в решении к задаче 1.3.1).

2 тур (15 минут).

2.1. Разложите на множители (задания 1-2):

1)

2)

3) Дима знает, что можно разложить на множители, но забыл, какие знаки должны быть у слагаемых во второй скобке: =

Поставьте правильные знаки и докажите, что получившаяся формула верна.

Решение. =

Для доказательства достаточно раскрыть скобки:

4) Разложите на множители: .

5) Разложите на множители:

=

Доказывается эта формула аналогично.

6) Можно ли разложить на множители: ?

Решение.

=

Разложим сначала на множители выражение :

.

Теперь заменим в полученной формуле а на :

==

2.2. 1) Существует ли выпуклый четырехугольник, имеющий три острых угла? Ответ обоснуйте.

Решение.

Существует. Возьмем, например, равносторонний треугольник и отметим четвертую вершину около середины одной из его сторон, снаружи треугольника. В этом случае один угол будет равен 600, а два других несколько больше 600.

2)Существует ли выпуклый пятиугольник, имеющий четыре острых угла? Ответ обоснуйте.

Решение.

Такого пятиугольника не существует. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна 5400. Предположим, что существует выпуклый пятиугольник, имеющий четыре острых угла. Тогда сумма четырех острых углов меньше 3600. Пятый угол выпуклого пятиугольника меньше 1800, следовательно, сумма всех пяти углов такого пятиугольника меньше 5400. Получили противоречие. Значит, выпуклого пятиугольника с четырьмя острыми углами не существует.

Примечание. Аналогичным рассуждением можно доказать, что любой выпуклый многоугольник не может иметь больше трех острых углов.

2.3. 1) В квадратной таблице 4х4 поставьте в каждую клетку числа 1 или 2 так, чтобы сумма чисел в каждой строке была четная, а в каждом столбце нечетная.

Решение. Один из возможных вариантов:

1	1	1	1
2	2	2	2
2	2	2	2
2	2	2	2

2) Можно ли в таблице 2008х2008 поставить в каждую клетку числа 1 или 2 так, чтобы сумма чисел в каждой строке была четная, а в каждом столбце нечетная?

Решение. Можно. Для этого достаточно в первой строке поставить одни единицы, а во всех других строках поставить двойки.

3) Тот же вопрос для таблицы 2007х2007.

Решение.

В таблице 2007х2007 нельзя так поставить в каждую клетку числа 1 или 2, чтобы сумма чисел в каждой строке была четная, а в каждом столбце нечетная. Действительно, предположим, что такая расстановка возможна. Тогда в каждом из 2007 столбцов сумма нечетная и, значит, сумма всех чисел таблицы также должна быть нечетной. С другой стороны в каждой строке сумма чисел четная, и, значит, сумма всех чисел таблицы должна быть четной. Получаем противоречие. Следовательно, такая расстановка невозможна.

Заминка (3 минуты).

К натуральному числу прибавили его половину и треть от половины. Получилось 40. Найдите это число.