Пущинские математические регаты учебный год (стр. 5 )

2) Для любых ли положительных чисел с и d верно неравенство: . В каких случаях оно превращается в верное равенство?

Решение. Неравенство верно для любых с и d. В верное равенство оно превращается при с = d. Докажем это.

1 способ. Для положительных a и b существуют такие положительные с и d,что , . Подставим эти выражения в неравенство 1): : . Отсюда получаем .

2 способ. Вычтем из левой части неравенства правую:

Это неравенство верно для всех положительных с и d и превращается в равенство только при с = d.

3) Найдите наименьшее значение функции . При каком х оно достигается?

Решение. Применим доказанное неравенство :

.

Найдем, при каких х достигается это наименьшее значение, равное 4. Так как неравенство превращается в верное равенство только при с = d, то должно быть равно . Отсюда х=1.

3.3. 1) В выпуклом шестиугольнике все углы равны. Чему они равны?

Решение. Выпуклый шестиугольник разбивается диагоналями на 4 треугольника, поэтому сумма всех его углов равна . Если все 6 углов равны, то получаем .

2) Найдите и докажите свойство противоположных сторон шестиугольника, все углы которого равны.

Решение. Противоположные стороны шестиугольника, у которого все углы равны, параллельны. Докажем это.

Назовем шестиугольник АВСDЕF, пусть G – тоска пересечения прямых АВ и ЕF, а Н лежит на прямой ВС так, что точка В лежит между Н и С. Углы GAF, GFА и НВА равны 60о, как смежные с углами 120о. В треугольнике AGF два угла по 60о, следовательно, угол AGF равен также 60о. Накрест лежащие углы при прямых GЕ и НС и секущей ВG равны, следовательно, прямые GЕ и НС параллельны. Аналогично доказывается параллельность других противоположных сторон.

3) В выпуклом шестиугольнике равны все углы и противоположные стороны. Найдите и докажите свойство диагоналей, соединяющих противоположные вершины.

Решение. В шестиугольнике с описанными свойствами большие диагонали пересекаются в одной точке (см. рисунок). Докажем это.

Рассмотрим четырехугольник АСDF, по условию стороны АF и СD равны, а доказанному в пункте 2) - параллельны. Следовательно, АСDF – параллелограмм. Его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Аналогичное рассуждение для другой пары диагоналей приводит к тому, что все три диагонали пересекаются в одной точке.

3.3. Произведение n первых натуральных чисел обозначается так: n! (читается так: «n-факториал»). Например, (1! считают равным 1).

1)  На сколько нулей оканчивается число 10! ?

Решение. Количество нулей на конце произведения зависит от того, в каких степенях входят множители 2 и 5 в это произведение. При вычислении количества нулей в числе вида n! нас интересуют только количества множителей кратных 5, так как четных чисел больше, чем кратных 5. В 10! входит два множителя, кратных 5 в первой степени: 5 и 10. Значит, число оканчивается на два нуля.

2) При каком наименьшем n число n! оканчивается на 12 нулей?

Решение. Рассмотрим только те множители n!, которые кратны 5:

Мы видим, что на каждый десяток натуральных чисел приходится два числа, кратные 5 в первой степени и через каждые 25 чисел встречается число (25, 50, 75…) кратное 52. В произведении 50! Восемь чисел, кратных только 5 и два числа, кратных 52. Значит, оно оканчивается на 12 нулей. Числа меньшие 50! Оканчиваются не больше, чем на 10 нулей.

3) На какую цифру оканчивается сумма 1!+2!+3!+…+2007! ?

Решение. Все числа, начиная с 5! Оканчиваются на 0, значит, последняя цифра будет зависеть только от последней цифры суммы первых четырех факториалов: 1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33.

4 тур (55 минут).

4.1. Придумайте уравнение с целыми коэффициентами, у которого есть следующие корни:

1) , 2) , 3) .

Решение. 1) , 2) , 3)

1 способ. По теореме Виета для уравнения имеем:

2 способ. Так как уравнение имеет корни , то уравнение имеет корни на 1 больше – то есть те, какие нам нужны . Раскрывая скобки, получим .

4) . Решение.

Сделав замену ,получим уравнение из пункта 3), его корни: , следовательно, корни исходно уравнения.

5) . Решение. .

Представим выражение в следующем виде:

Найдем сначала квадратное уравнение вида , имеющее корни .

Таким образом, уравнение имеет корни , значит, уравнение имеет корень .

4.2. 1) В выпуклом четырехугольнике последовательно соединили середины сторон и получили четырехугольник. Определите вид этого четырехугольника (докажите ваше утверждение).

Решение. Четырехугольник является параллелограммом. Докажем это.

Назовем четырехугольник АВСD, а его середины сторон K, L,M, и N (смотри рисунок).

Проведем диагональ ВD. Отрезки KL и MN являются средними линиями треугольников АВD и ВСD. Значит, оба они параллельны основанию ВD и равны его половине. Таким образом, в четырехугольнике KLMN две противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, он является параллелограммом.

2) Середины сторон выпуклого четырехугольника АВСD лежат на одной окружности. Каким свойством обладает четырехугольника АВСD? Докажите найденное свойство.

Решение. Диагонали четырехугольника АВСD перпендикулярны. Докажем это.

В пункте 1) было доказано, что KLMN – параллелограмм, значит, его противоположные углы М и К равны. По отношению к окружности эти углы являются вписанными и опираются на две взаимно дополняющие дуги. По теореме о вписанном угле сумма углов М и К равна половине от 360о. Следовательно, углы М и К – прямые и KLMN – прямоугольник. Так как соседние стороны KLMN параллельны диагоналям четырехугольника АВСD, то диагонали четырехугольника АВСD перпендикулярны.

4.3. 1) От четырехугольника последовательными прямолинейными разрезами отрезали 2 треугольника. Могла ли оставшаяся часть быть:

1)  Шестиугольником, 2) Четырехугольником, 3) Треугольником.

Решение. Все три случая возможны. См. рисунки.

2)  От 100-угольника последовательными прямолинейными разрезами отрезали 100 треугольников. Могла ли оставшаяся часть быть:

·  100-угольником

·  треугольником

·  300-угольником

Решение. При отрезании от n-угольника треугольника возможны три случая:

1) Прямая пересекает две соседние стороны во внутренних точках. В этом случае за одно отрезание число вершин увеличивается на 1.

2) Прямая проходит через две вершины

В этом случае за одно отрезание число вершин уменьшается на 1.

3) Прямая проходит через вершину и внутреннюю точку стороны.

В этом случае число вершин не меняется.

Таким образом, за 100 разрезов можно увеличить или уменьшить количество вершин на любое число, не большее 100. Отсюда следует, что оставшаяся часть могла быть 100-угольником. Для этого достаточно сделать все 100 разрезов типа 3 (вершина – внутренняя точка стороны). Оставшаяся часть может быть треугольником. Для этого нужно сделать 97 разрезов типа 2 (вершина-вершина) и 3 разреза типа 3 (вершина– внутренняя точка стороны). А 300-угольником оставшаяся часть быть не может, так как за 100 разрезов число вершин может увеличиться не больше, чем на 100.

3) От выпуклого n-угольника последовательными прямолинейными разрезами отрезали n треугольников. В результате чего получили 2007-угольник. Чему может быть равно n?

Решение. n может быть любым натуральным числом большим или равным 1004. Докажем это.

Из 1004 угольника можно 1004 разрезами получить 2007 угольник, если 1003 из них сделать типа 1 (внутренняя точка стороны - внутренняя точка стороны), а один типа 3 (вершина– внутренняя точка стороны). Для любого n меньшего 2007 нужно сделать (2007 – n) разреза типа 1, а остальные типа 3. Для n=2007 нужно все разрезы сделать типа 3. Для любого n, большего 2007, нужно сделать (n-2007) разрезов типа 2 (вершина-вершина), а остальные типа 3.

5 тур (10 минут). Задачи, подобные задачам первых 4 туров, решения которых уже были разобраны.

2.1.* Задайте формулой функцию g(x), которая имеет область определения:

Решение. Например,

4.1.* Придумайте уравнение с целыми коэффициентами, у которого есть корень: .

Решение. Пусть второй корень уравнения равен , тогда по теореме Виета легко найти коэффициенты, например, такого квадратного уравнения: .

3.2.* Чему равен угол в правильном 100-угольнике?

Решение.

2.2.* Разделите квадрат на пять частей одинаковой площади так, чтобы ни одна из частей не была прямоугольником. Решения поясните.

Решение.

Разделим квадрат на 5 трапеций, с высотой равной стороне квадрата. Площадь каждой трапеции должна быть равна 1/5 площади квадрата, и, значит, средняя линия должна быть равна 1/5 стороны квадрата. На рисунке отрезок GF – средняя линия трапеции СDMN – равна 1/5 стороны AD, следовательно, площадь трапеции СDMN равна 1/5 площади квадрата.

2.3.* 1) Можно ли расположить на плоскости 9 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с шестью другими прямыми?

Решение. Разобьем девять прямых на три тройки параллельных и условие будет выполнено (см. рисунок).

2) Можно ли расположить на плоскости 9 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с семью другими прямыми?

Решение. Так расположить прямые нельзя. Если каждая прямая из девяти пересекается ровно с семью прямыми, значит, каждая прямая должна быть параллельна ровно одной прямой. Но разбить девять прямых на пары параллельных невозможно.

3) Можно ли расположить на плоскости 9 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с восемью другими прямыми?

Решение. Так расположить прямые можно, достаточно взять 9 прямых, никакие две из которых не параллельны друг другу.

3.3.* Произведение n первых натуральных чисел обозначается так: n! (читается так «n-факториал»). Например, (1! считают равным 1). Назовите две последние цифры суммы 1!+2!+3!+…+2007! ?

Решение. Число оканчивается на две цифры 0. Следовательно, две последних цифры суммы 1!+2!+3!+…+2007! будут зависеть только от двух последних цифр суммы первых девяти факториалов: 1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+9!=

=1+2+6+24+120+720+…40+…20+…80=…13.

11 класс. Решения задач.

1 тур (12 минут).

1.1.  1) Придумайте уравнение четвертой степени, которое имеет ровно 2 корня.

Решение. Есть два самых простых способа получить искомое уравнение:

1. Взять квадратное уравнение с двумя корнями и возвести его в квадрат: , корни: .

2. Взять квадратное уравнение с двумя корнями и домножить его на квадратный трехчлен, не имеющий корней: , .

2) Придумайте неравенство четвертой степени, решением которого были бы только два числа: х=0, х=1.

Решение. Например, , левая часть неотрицательна и равна нулю только при х=0, х=1.

3) Придумайте неравенство шестой степени, решением которого были бы только два числа: х= -1, х=1.

Решение. Например, , левая часть неотрицательна и равна нулю только при х= -1, х=1.

1.2.  Сколько существует плоскостей, которые разбивают куб на два равных многогранника. Как расположены все такие плоскости?

Решение. Таких плоскостей бесконечно много, все они проходят через центр куба.

Для начала рассмотрим квадрат и найдем те прямые, которые разбивают его на две равные фигуры. Очевидно, любая прямая, проходящая через центр квадрата является искомой (смотри рисунок). Это легко доказать, используя понятие центральной симметрии. Квадрат переходит сам в себя при центральной симметрии относительно своего центра, полуплоскости, на которые делит квадрат прямая, переходят друг в друга, а прямая сама в себя. Значит, для любой точки , из одной части квадрата найдется симметричная ей точка из другой части. Следовательно, части равны друг другу. Рассуждение для куба аналогично.

1.3. Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же суммой цифр.

1) Найдите десятое «замечательное» число

Решение. Десятое замечательное число: 19. Сумма его цифр равна 10 и все числа меньшие его имеют меньшую сумму цифр.

2) Найдите самое большое двухзначное «замечательное» число. Какой у него номер?

Решение. Самое большое двухзначное «замечательное» число: 99. Оно замечательное, так как самое маленькое из всех натуральных, имеющих сумму цифр, равную 18 – все другие числа, меньшие его, имеют хотя бы одну цифру меньшую, чем 9, а значит и меньшую сумму цифр. Номер числа – 18.