Пущинские математические регаты учебный год (стр. 3 )

Решение.

Способ 1. Задачу легко решить уравнением:

. Отсюда х =24.

Способ 2. В дореволюционной школе был способ решения подобных задач, который назывался «по предположению». Решим задачу таким способом. Очевидно, что число должно делиться на 6. Предположим, что это число и есть 6. Тогда, если прибавить к нему половину и треть от половины мы получим: 6+3+1=10. Это в 4 раза меньше, чем нужно, следовательно, нужно взять число в 4 раза больше, чем 6 (тогда также в 4 раза увеличатся и части числа). Ответ: 24.

3 тур (20 минут).

3.1. В заданияхнайдите наименьшее возможное значение выражения. При каких значениях а оно достигается? Ответы обоснуйте.

1)

Решение. Квадрат выражения принимает только неотрицательные значения, наименьшее среди них – это нуль. Достигается оно при .

2)

Решение. =

Как и в предыдущем случае, наименьшее значение выражения равно нулю. Оно достигается тогда, когда , то есть при .

3)

Решение.

Выделим полный квадрат: ==

Выражение принимает наименьшее значение, когда квадрат равен нулю. Это значение равно 2, достигается при .

4)  Дано уравнение с неизвестной х и параметром а:

Верно ли, что при любых значениях параметра а уравнение имеет корни?

Решение. Найдем дискриминант этого уравнения

Очевидно, что при всех значениях параметра а дискриминант положителен и, значит, уравнение имеет корни.

5) Найдите наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения из пункта 4).

Решение. По теореме Виета можно выразить через параметр а сумму и произведение корней уравнения: , . Сумма квадратов корней выражается через квадрат суммы и произведение корней:

.

Наименьшее значение последнего выражения равно 7 и достигается при а=1.

Ответ: 7.

3.2. 1) В угол А, равный 600 , вписана окружность с центром О, касающаяся сторон угла в точках В и С. Известно, что ВС=5 см. Найдите АВ.

Решение. Отрезки АВ и АС равны, как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Следовательно, треугольник АВС равнобедренный. Так как величина угла А равна 600, то остальные углы треугольника АВС также равны по 600 и он является равносторонним. Таким образом, АВ=ВС=5 см.

2) В условиях задачи 1) на меньшей дуге ВС взята точка М и через нее проведена касательная к окружности, пересекающая стороны угла ВАС в точках К и N. Найдите периметр треугольника АКN.

Решение. Отрезки КМ и КВ равны, как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Аналогично равны отрезки NМ и NС. Значит, КN=КВ+NС. Отсюда получаем, что периметр треугольника АКN равен сумме отрезков АВ и АС, то есть 10 см.

3)  В условиях задачи 2) найдите угол КОN.

Ответ: 600.

Решение. Найдем сначала величину угла ВОС. В четырехугольнике АВОС угол А равен 600, углы АВО и АСО прямые, так как радиусы проведенные в точку касания перпендикулярны касательным. Значит, величина угла ВОС равна: 3- 900 =1200.

Рассмотрим теперь треугольники ОВК и ОМК. Они равны по двум катетам. Следовательно, углы ВОК и МОК равны.

Аналогично равны углы NОМ и NОС. Значит, угол КОN в два раза меньше угла ВОС.

Таким образом, величина угла КОN равна 600.

3.3. 1) Батальон занимает часть линии обороны. В батальоне 5 стрелковых рот и 3 артиллерийских батареи. От каждой стрелковой роты к каждой артиллерийской батарее проведен провод телефонной связи. Сколько всего проводов телефонной связи проведено?

Решение.

От каждой батареи проведено 5 телефонных проводов, всего батарей 3, значит, всего проведено 15 проводов.

2) Маша позвала на день рождения подруг и друзей. Девочки пришли раньше, чтобы помочь Маше в приготовлении салатов, а мальчики позже (мальчиков было больше одного). Когда мальчики вошли, каждая девочка (включая Машу) бросила взгляд на каждого знакомого мальчика, а каждый мальчик бросил взгляд на каждую незнакомую девочку. Всего было брошено 55 взглядов. Сколько гостей было у Маши?

Решение. Так как каждая девочка бросила взгляд на каждого знакомого мальчика, а каждый мальчик бросил взгляд на каждую незнакомую девочку, то между каждым мальчиком и каждой девочкой был брошен ровно один взгляд. Если мальчиков было n, а девочек m, то число брошенных взглядов равно nm. То есть nm=55. По условию задачи получаем, что и мальчиков, и девочек было больше 1, значит, либо n=5, а m=11, либо наоборот, n=11, а m=5. В обоих случаях всего детей было 5+11=16, а гостей у Маши 15.

4 тур (10 минут).

4.1. Разложите на множители:

Решение.

4.2. В квадрат АВСD, вписана окружность с центром О. Касательная к окружности пересекает стороны АВ и АD квадрата в точках К и N. Найдите

угол КОN.

Решение.

Угол FOH=900, так как OF и OH перпендикулярны сторонам квадрата, и угол А равен 900. Как и в задаче 3.2.3), легко доказать, что угол KON равен половине угла FOH, то есть 450.

4.3. 1) В квадратной таблице 4х4 поставьте в каждую клетку целое число так, чтобы сумма чисел в каждом столбце была отрицательная, а сумма чисел в трех строках – положительная.

Решение. Пример расстановки:

-1	-1	-1	4
-1	-1	-1	4
-1	-1	-1	4
0	0	0	-13

2) Можно ли в таблице 2008х2008 поставить в каждую клетку целое число так, чтобы сумма чисел в каждом столбце была отрицательная, а сумма чисел в каждой строке положительная?

Решение. Описанным образом расположить числа нельзя, так как если сумма чисел в каждом столбце отрицательна, то сумма всех чисел таблицы так же отрицательна; если же сумма чисел в каждой строке положительна, то и всех чисел таблицы так же положительна. Этого не может быть одновременно.

9 класс. Решения задач.

Разминка (2 минуты).

Что больше: или ?

Решение. ==< .

1 тур - (12 минут).

1.1. 1) График функции приведен на рисунке 1. Найдите коэффициенты b и с.

Решение.

Так как график функции проходит через начало координат, то с = 0. Подставляя в уравнение координаты точки (-4;0), получаем, что b= 4. Таким образом, функция имеет вид: .

2) Графики двух из приведенных ниже шести функций нарисованы на координатной плоскости. Определите, какой функции соответствует каждый из двух графиков, решение поясните.

1. 4.

2. 5.

3. 6.

Решение.

1)  График функции у=f(х) проходит через начало координат, следовательно, коэффициент с в представлении равен нулю. Ветви параболы направлены вверх, значит, а >0. Этим двум условиям из данных шести функций удовлетворяет только функция .

2)  Вершина параболы - графика функции у=g(х) - лежит на оси ОY, следовательно, коэффициент b равен нулю. Ветви параболы направлены вниз, значит, а < 0. Этим двум условиям удовлетворяют две из предложенных шести функций: и . Для того, чтобы выбрать одну из этих двух «претенденток», найдем точки пересечения графиков функций с осью ОХ. Для функции - это точки (0;0) и (5;0), для функции - это точки (5;0), и (-5;0), а для функции - (3;0), и (-3;0). Так как положительный нуль функции у=g(х) на графике левее положительного нуля функции у=f(х), то функция g(х) имеет вид: .

1.2. В трапеции АВСD известны основания ВС=а, АD=b и высота ВН=h. Диагонали пересекаются в точке К. Какие из следующих величин можно найти, исходя из этих данных?

3,4) Сторону АВ, диагональ АС.

Решение.

Боковую сторону и диагональ трапеции найти нельзя, так как основания и высота трапеции не задают однозначно боковые стороны и диагонали трапеции (см. рисунок).

5)  Площадь треугольника АКD.

Решение.

Опустим из точки К перпендикуляры на основания КН и КF. Тогда FН=h.

Треугольники ВСК и АDК подобны по двум углам, следовательно,

ВК:КD = а:b. Треугольники ВFК и НDК также подобны по двум углам, следовательно, FК:КН = ВК:КD = а:b. Из того, что FК+КН= FН=h, мы можем вычислить длину КН=. Отсюда площадь треугольника АКD равна: .

1.3. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное.

1)  Сколько существует двузначных зеркальных чисел? Ответ поясните.

Решение. Двузначных зеркальных чисел всего 9: 11, 22, 33, …, 99.

2)  Сколько существует трехзначных зеркальных чисел?

Решение. Трехзначных зеркальных чисел всего 90 – столько же, сколько обычных двузначных чисел, так как две первые цифры трехзначного зеркального числа однозначно определяют третью цифру.

3)  Каких зеркальных чисел больше – трехзначных или четырехзначных?

Решение. Поровну. Четырехзначных зеркальных чисел, как трехзначных, столько же, сколько обычных двузначных чисел. Для них также две первые цифры четырехзначного зеркального числа однозначно определяют все число.

4)  Существует ли трехзначное зеркальное число, которое делится на 45?

Решение. Существует. Оно должно оканчиваться на 5 и его сумма цифр должна делиться на 9: это число 585.

2 тур - (15 минут).

2.1. Представьте выражение в виде суммы двух квадратов

1) =

2) =

3) ==

4) Используя выделение полного квадрата, решите уравнение:

. В левой части уравнения находится сумма двух неотрицательных выражений. Первое слагаемое равно нулю только при х =0, а второе только при х =1. Поэтому уравнение корней не имеет.

5) Решите уравнение с двумя неизвестными:

В левой части уравнения находится сумма двух неотрицательных выражений. Для того, чтобы эта сумма равнялась нулю, нужно, чтобы оба слагаемых были равны нулю. Второе слагаемое равно нулю при х = -2, а первое при у = - х. Таким образом, решением уравнения является пара чисел:

х = -2, у =2.

2.2. 1) Докажите, что в выпуклом четырехугольнике, диагонали которого перпендикулярны, суммы квадратов противоположных сторон равны.

Доказательство:

Обозначим на рисунке стороны и отрезки диагоналей:

По теореме Пифагора в четырех прямоугольных треугольниках имеем:

, , , . Отсюда следует, что

.

2) Сформулируйте утверждение, обратное утверждению пункта 1). Верно ли обратное утверждение? Если верно, докажите, если неверно, приведите опровергающий пример.

Решение. Обратное утверждение: Если в выпуклом четырехугольнике суммы квадратов противоположных сторон равны, то диагонали четырехугольника перпендикулярны.

Это утверждение верно.

Докажем его от противного. Пусть диагонали четырехугольника не перпендикулярны. Обозначим стороны и отрезки диагоналей таким же образом, как в задаче 1). Пусть, например, угол между отрезками x и z острый, обозначим его . Тогда по теореме косинусов имеем:

,

,

.

Отсюда получаем, что

Если угол острый, то , а . То есть