Пущинские математические регаты учебный год (стр. 6 )

2 тур (15 минут).

2.1. Графики трех из приведенных ниже десяти функций нарисованы на координатных плоскостях. Определите, какой функции соответствует каждый график, решение поясните.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Решение. Функцию, график которой нарисован на рисунке А, нужно искать среди квадратичных функций:

1) , 3) и 8)

Выбрать нужную функцию можно либо используя абсциссу вершины параболы, либо находя нули функции. функции.

Для функции 1) абсцисса вершины хо = 0, нули: , для функции 3) абсцисса вершины хо = 1,5, нули: , для функции 8) абсцисса вершины хо = -1, нули х=0 и х=-2.

Так как абсцисса вершины параболы положительна, то графику рисунка А соответствует функция 3) .

График функции на рисунке Б. имеет один разрыв. Значит, функцию нужно искать среди тех, в чью область определения не входит одна точка:

2) , 5) и 10) .

Так как на рисунке Б. разрыв в точке с положительной абсциссой, то функция 2) , имеющая разрыв при , не подходит.

Функция 10) на бесконечности стремится к нулю, а график функции на рисунке Б. к наклонной асимптоте, как и график функции

5) - к асимптоте .

Таким образом, график рисунка Б. – это график функции .

Функция, график которой изображен на рисунке В., имеет нуль при х=0 и не имеет точек разрыва. Из оставшихся функций этим условиям удовлетворяет только функция 9) :

так как функция 6) имеет две точки разрыва ,

а функция 7) не имеет нулей.

2.2. Дана шестиугольная призма. Может ли в сечении ее плоскостью образовываться: 1) пятиугольник, 2) восьмиугольник, 3) десятиугольник?

Если может, нарисуйте такую плоскость, если не может, объясните, почему. Если останется время, сформулируйте общее утверждение, которое следует из решения этой задачи.

Решение.

Пятиугольник и восьмиугольник могут получиться в сечении. См. рисунки.

Десятиугольник получиться в сечении не может. Шестиугольная призма имеет 8 граней. Плоскость сечения пересекает каждую грань не более чем по одному отрезку, следовательно, многоугольник в сечении не может иметь больше сторон, чем количество граней многогранника.

2.3. Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же суммой цифр.

Найдите 2007-е «замечательное» число.

Решение. Любое число, состоящее из одних девяток – «замечательное», так как не существует меньшего числа с той же суммой цифр. Разделим 2007 на 9, получим 223. Таким образом, число является «замечательным» и сумма его цифр равна 2007. Значит, оно 2007-е «замечательное» число.

3 тур (20 минут).

3.1. Укажите уравнение какой-либо прямой, на которой график данной функции высекает равные отрезки. Докажите, что это так.

1)

2)

3)

Решение.

1) , например, прямая (см. рисунок). Доказать это можно, непосредственно вычислив координаты точек пересечения: (-1;-1), (0;0), (1;1). Более содержательно следующее рассуждение. Функция - нечетная, график ее симметричен относительно точки (0;0), он будет высекать равные отрезки на графике любой нечетной линейной функции, имеющей с ним три точки пересечения. То есть годится любая прямая при положительном k.

2) . График этой функции симметричен относительно точки (0;2), так как получен сдвигом на 2 вверх графика нечетной функции . Следовательно, годится любая прямая, симметричная относительно точки (0;2) имеющая с графиком три точки пересечения. Например, .

3) .

Преобразуем функцию следующим образом: =

Значит, графиком этой функции является график функции , центр симметрии которого переместился в точку (1;1).

Нам подходит любая прямая, проходящая через точку (1;1) и имеющая с графиком функции три точки пересечения. Например, прямая (см. рисунок).

3.2. Многогранник спроектировали на три взаимно перпендикулярные плоскости. В проекциях получили треугольник, четырехугольник и пятиугольник. Нарисуйте один из возможных видов такого многогранника, отметьте на рисунке, как располагаются плоскости проекции. Если останется время, попробуйте нарисовать как можно больше различных многогранников, отвечающих условию задачи.

Решение.

Такой многогранник можно получить, например, следующим способом. Взять правильную треугольную призму и отсечь от нее пирамиду плоскостью перпендикулярной одной из боковых граней (смотри рисунок).

Вид спереди дает пятиугольник, снизу – треугольник, слева – четырехугольник.

3.3. Шахматный турнир, проводился по круговой системе (каждый участник должен сыграть с каждым из остальных участников по одной партии). Два участника, Вася и Петя, сыграли несколько партий, заболели и выбыли из турнира. В результате было сыграно 23 партии.

1) Могло ли участников турнира (включая Васю и Петю) быть 6?

Решение. 6 участников быть не могло. Если в турнире играют n игроков и каждый сыграл с каждым (то есть с n - 1) игроком, то всего партий сыграно . Если участников было 6, то максимальное количество партий - 15.

2) Сколько могло быть участников турнира?

Могло быть 8 или 9 участников турнира. Для того, чтобы в турнире при описанных в задаче обстоятельствах было сыграно 23 партии необходимо, чтобы все участники могли сыграть больше 23 партий (если бы Вася и Петя не заболели), а все, кроме Васи и Пети, обязательно сыграли бы меньше 23 партий. То есть должны выполняться неравенства: . Эти неравенства выполняются только при n равном 8 или 9.

3) Известно, что Вася и Петя до болезни успели сыграть одинаковое количество партий. Сыграли ли они друг с другом?

Посчитаем число несыгранных партий. Если участников было 8, то должно было быть сыграно партий, то есть не сыграно 5 партий. Если участников было 9, то должно было быть сыграно партий, то есть не сыграно 13 партий. Таким образом, не сыграно нечетное количество партий. Значит, Васе и Пете еще предстояло сыграть друг с другом, в противном случае из-за того, что им осталось сыграть одинаковое количество партий, число несыгранных партий было бы четным. Таким образом, Петя и Вася не играли друг с другом.

4 тур (25 минут).

4.1. 1) Известно, что , докажите, что .

Решение. Возведем неравенство в квадрат (это можно делать, так как обе его части неотрицательны): . Так как выражение неотрицателен, то .

2) Решите систему:

Решение.

Аналогично, задаче 1) из первого неравенства системы получаем, что , и, значит, . С другой стороны, из определения синуса следует, что при всех . Следовательно, уравнение может иметь решения только в том случае, если одновременно выполняются два условия:

Из неравенства следует, что сумма может быть равна 1, только если , то есть в случае, если либо х, либо у равны 0. Если х=0, то , если у=0, .

при .

Ответ: , .

4.2. 1) Для любой ли пирамиды существует плоскость, равноудаленная от всех ее вершин?

Решение. Выведем сначала условие, при котором плоскость будет равноудалена от двух точек А и В.

В случае, если точки А и В расположены по одну сторону плоскости , необходимым и достаточным условием является параллельность прямой АВ и плоскости (см. рисунок).

Если точки А и В расположены по разные стороны плоскости , то необходимо и достаточно, чтобы плоскость проходила через середину отрезка АВ.

Если в произвольной пирамиде провести плоскость через середину какого-либо ребра параллельно основанию, то по теореме Фалеса она пересечет и остальные ребра в серединах, а, значит, будет равноудалена

от всех вершин пирамиды (см. рисунок).

2) Приведите пример четырехугольной пирамиды, для которой существует пять плоскостей, равноудаленных от всех ее вершин. Пример поясните.

Решение.

Назовем средней линией параллелограмма отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон. Рассмотрим пирамиду, в основании которой лежит параллелограмм. Кроме плоскости из пункта 1) в такой пирамиде будет еще 4 плоскости, равноудаленные от всех ее вершин – это плоскости, проходящие через одну из средних линий основания и среднюю линию одной из боковых граней.

4.3. Рассматривают число N, равное произведению первых 2007 простых чисел.

1) Сколько нулей на конце имеет число N?

Решение. Среди простых чисел есть единственное четное число – 2 и единственное число, делящееся на 5 – само число 5, значит, на конце произведения будет один нуль.

2)  Может ли N+1 быть квадратом натурального числа?

Решение. Докажем, что число N+1 не быть квадратом натурального числа. Пусть существует натуральное m, такое что m2=N+1.

Тогда N=m2-1=(m+1)(m-1). Число N четное, и при этом оно не делится на 4 (среди простых чисел единственное четное число – 2). Однако, множители (m+1) и (m-1) либо одновременно четные, либо одновременно нечетные. Значит, их произведение либо нечетное, либо делится на 4. Получаем противоречие.

Материалы городской олимпиады по математике для 4-5 класса.

Пущино учебный год.

1. Разрежьте прямоугольник (см. рисунок) на четыре части одинаковой формы и одинакового размера так, чтобы в каждую часть попало по одному серому квадратику.

Решение.

2. В числе 5836972 зачеркните две цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили как можно большее число.

Ответ: 86972.

Доказательства, что это число наибольшее, не требуется. Но если приведены некоторые рассуждения – например, что мы должны стремиться, чтобы наибольшими были цифры старших разрядов, то это можно отдельно отметить.

3. Миша спускается пешком по лестнице на один этаж за 5 секунд, а поднимается по лестнице на один этаж за 10 секунд. Он спустился из своей квартиры до первого этажа и поднялся обратно за полторы минуты. На каком этаже живет Миша?

Решение. Первый способ.

Так как Миша спускается в два раза быстрее, чем поднимается, то из полутора минут он полминуты спускался и минуту поднимался. За 10 секунд он поднимается на 1 этаж, следовательно, за 1 минуту, он прошел 6 этажей. Значит, он живет на 7 этаже.

Второй способ.

Каждый этаж забирает у Миши 15 секунд (5с вниз и 10с вверх). Полторы минуты – это 90 секунд. Следовательно, число этажей, которые прошел Миша равно: 90:15=6 (этажей).

Значит, он живет на 7 этаже.

4. 1) На столе лежат три монеты. Одна из них фальшивая и отличается от настоящих монет по весу (но легче она или тяжелее – не известно). Объясните, как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету.

1)  На столе лежат 6 монет. Одна из них фальшивая и отличается от настоящих монет по весу (но легче она или тяжелее – не известно). Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь гарантировано найти фальшивую монету? Если можно, объясните как, если нельзя, то объясните почему.

Решение. 1) Оставим одну монету на столе, а две другие положим на две разные чашки весов. Возможны два случая:

1. Монеты на весах весят одинаково. Значит, третья монета фальшивая.

2. Монеты на весах весят по-разному. Значит, третья монета точно настоящая. Сравним ее вес вторым взвешиванием с любой из первых двух монет (например, с первой). Если третья и первая монета монеты весят одинаково, то фальшивая – вторая, если по-разному, то фальшивая монета – первая.

2) Можно. Покажем, как это сделать.

Разобьем монеты на 3 пары. Действуя, как в задаче 4.1) (но вместо отдельных монет используя пары), мы за два взвешивания найдем пару, в которой есть фальшивая монета. Третьим взвешиванием сравним одну из монет этой пары (назовем ее первой в паре) с любой настоящей монетой. Если они весят одинаково, то фальшивая монета – это вторая монета пары, если по-разному, то первая монета пары.

5. Сумму двух чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число ? Если могло, то запишите эти числа; если не могло, то объясните почему.

Решение.

Если оба числа нечетные, то их сумма четная, а, значит, найденное произведение тоже четно. Если хотя бы одно число четно, то найденное произведение тоже четно. Значит, нечетное число получиться не могло.

Оглавление.

Предисловие …………………….

Условия задач ……..

8 класс ……..

9 класс ……….

10 класс

11 класс

Решение задач …..

8 класс

9 класс

10 класс

11 класс

Приложение. Материалы олимпиады для 4-5 классов……..