Пущинские математические регаты учебный год (стр. 4 )

, что противоречит тому, что . Следовательно, наше предположение неверно и диагонали четырехугольника перпендикулярны (в этом случае ).

2.2. Разрежьте квадрат на:

3)  7 квадратов

4) 10 квадратов

5)  Можно ли разрезать квадрат на 2008 квадратов?

Решение. Можно. При разрезании квадрата на 4 части прибавляется 3 квадрата. Число 2008 можно представить как: . Если один квадрат разрезать сначала на 4 части и дальше еще 668 раз разрезать получающиеся части-квадраты на 4 части, то получится 2008 квадратов.

Заминка (3 минуты).

Число умножили на сумму его цифр и получили 70. Найдите это число.

Решение. В условии сказано, что число умножили на сумму его цифр и получили 70, значит, число является делителем числа 70. Выпишем всего его делители: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70. Простым перебором получаем, что подходит число 14.

3 тур (20 минут).

3.1. Дана система неравенств с переменной х и параметром a:

1) Решите систему неравенств, если a=4.

Решение. При a=4 система принимает вид:

Ответ:

2) Решите систему неравенств, если a= -4.

Решение. При a= -4 система принимает вид:

Ответ: решений нет.

3) При каких a решением системы является отрезок (то есть все точки отрезка являются решениями и других решений нет).

Решение. Отрезок будет решением в том случае, если корнем квадратичной функции будет число 3:

Ответ: при a=3.

4)  При каких a система имеет ровно 5 целых решений?

Решение. Если , то решением системы является отрезок .

5 целых решений – это числа 2, 3, 4, 5, 6. Ровно 5 целых решений система будет иметь, если . Ответ: .

5)  При каких a решением системы является отрезок ?

Решение. Весь отрезок будет входить в множество решений неравенства , если

Ответ:

3.2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом В= 36о проведена биссектриса АК.

1) Докажите, что биссектриса делит треугольник АВС на два равнобедренных треугольника.

Решение.

Найдем углы при основании равнобедренно треугольника: .

Так как АК – биссектриса, то .

В треугольнике АВК: , следовательно, он равнобедренный: АК=ВК.

Найдем в треугольнике АСК угол АКС: . Значит, . Треугольник АСК равнобедренный, в нем АС=АК.

2) Найдите АС, если известно, что АВ=1.

Обозначим АС=АК=КВ=х. Тогда СК=1- х.

Треугольники АВС и АКС подобны по двум углам, следовательно, АВ:АС=АС:КС, или в наших обозначениях 1:х=х:(1- х) . Отсюда получаем квадратное уравнение: . Положительный корень этого уравнения равен . Ответ: .

3.3. 1) В отборочном туре шахматного турнира участвовало 4 шахматиста. Всего было сыграно 6 партий. Могло ли так быть, чтобы каждый шахматист сыграл с каждым не более чем по одной партии?

Решение. Могло. Если каждый сыграет с каждым ровно по одному разу, то будет сыграно 6 партий. См. таблицу.

2) В шахматном турнире участвовало 10 шахматистов. В первом круге каждый шахматист сыграл с каждым ровно по одной партии. Сколько всего было сыграно партий?

Решение. Первый способ. Будем считать количество партий по порядку: Первый шахматист сыграл с 9 шахматистами, второй тоже с 9, но одну партию с первым шахматистом мы уже считали, «новых» для нас партий он сыграл 8, третий – 7 и т. д. Итого: 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45.

Второй способ. Каждый шахматист из 10 сыграл с 9 противниками. Если 10 умножить на 9, то мы получим удвоенное количество партий, так как каждую партию мы посчитали дважды. Следовательно, число партий:

.

3) В шахматном турнире уже сыграно 30 партий. Может ли так быть, чтобы каждый участник сыграл с каждым ровно по одному разу?

Решение. Не может. Если в турнире принимает участие n шахматистов и каждый по одному разу сыграл с каждым, то число партий равно . (Доказательство аналогично рассуждению пункта 2).

При n=8 число партий равно 28, при n=9 - число партий 36. При больших n число партий увеличивается.

В задаче же сказано, что сыграно 30 партий, значит, каждый шахматист не мог сыграть с каждым.

4) Сколько диагоналей имеет 2008-угольник?

Решение. Первый способ. Всего отрезков, соединяющих 2008 точки, будет из этого выражения нужно вычесть 2008 – число сторон, все остальные отрезки – это диагонали. Получится 2013020.

Второй способ. Каждая вершина соединена диагоналями с 2005 вершинами. Значит всего диагоналей .

Необязательный вопрос: чем задача 4) похожа на три предыдущие?

Во всех задачах нужно посчитать число пар (партий или концов отрезков), поэтому они решаются по общей формуле.

4 тур (10 минут).

4.1. Решите уравнение:

Решение.

. В левой части уравнения находится сумма двух неотрицательных выражений. Для того, чтобы эта сумма равнялась нулю, нужно, чтобы оба слагаемых были равны нулю. Второе слагаемое равно нулю при х = 2, а первое при. Таким образом, решением уравнения является две пары чисел: (2;2) и (2;-2).

4.2. В трапеции АВСD известны основания ВС=а, АD=b и высота ВН=h. Диагонали пересекаются в точке К. Какие из следующих величин можно найти, исходя из этих данных?

1)  Угол DАВ.

Решение. Угол DАВ трапеции найти нельзя, так как основания и высота трапеции не задают однозначно углы трапеции (см. рисунок).

2) Площадь треугольника АВК.

Решение.

Площадь треугольника АВК можно найти как разность площадей треугольников АВD и АКD:

Примечание. Очевидно, что площадь треугольника СKD вычисляется также. Это следует как из геометрических соображений, так и из симметричности полученной формулы относительно а, b и h.

4.3. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5?

Решение. Чтобы пятизначное зеркальное число делилось на 5, оно должно оканчиваться на 5. На 0 оно оканчиваться не может, так как 0 не бывает первой цифрой в записи целого числа. Таким образом, число должно иметь вид 5хух5, где х и у – произвольные цифры. То есть пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5, столько же, сколько произвольных трехзначных зеркальных чисел: 90.

10 класс. Решения задач.

1 тур (12 минут).

1.1. Графики трех из приведенных ниже десяти функций нарисованы на координатных плоскостях. Определите, какой функции соответствует каждый график, решение поясните.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Решение.

Функция, график которой изображен на рисунке А определена при

и принимает значения . Этим двум условия удовлетворяет только функция .

График – прямая, следовательно, функция линейная – вида . Функция убывающая, значит, . Ось ОY график пересекает в точке с положительной ординатой, следовательно . Этим двум условия удовлетворяет только функция 9) .

Функция квадратичная, один корень ее - 0, а другой положительный,

Этим двум условия удовлетворяет только функция .

1.2. 1) В двух равнобедренных треугольниках есть пара равных тупых углов и пара равных сторон. Верно ли, что треугольники равны? Если утверждение верно, докажите его, если неверно, приведите опровергающий пример.

Решение. Не обязательно. Смотри рисунок.

2)  В двух равнобедренных треугольниках есть пара равных острых углов и две пары равных сторон. Верно ли, что треугольники равны?

Решение. Не обязательно. Смотри рисунок.

1.3. В городе живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Собралось вместе 2 рыцаря и два лжеца.

Мог ли кто-либо из них сказать следующую фразу? Если мог, то укажите всех, кто мог. Если никто не мог, то объясните почему:

1)  Среди нас все рыцари.

Решение. Это высказывание неверное, поэтому такую фразу мог сказать только лжец.

2)  Среди нас двое рыцарей.

Решение. Это высказывание верное, поэтому такую фразу мог сказать только рыцарь.

3)  Среди вас ровно один рыцарь.

Решение. Это высказывание верное для рыцаря и неверное для лжеца, поэтому такую фразу мог сказать и рыцарь, и лжец.

4)  Среди вас ровно два рыцаря.

Решение. Это высказывание неверное для рыцаря и верное для лжеца, поэтому такую фразу никто не мог сказать.

2 тур (15 минут).

2.1. 1) Найдите область определения функции:

Решение. (подкоренное выражение должно быть неотрицательно, а знаменатель не равен нулю)

2)  Задайте формулой функцию f(x), которая имеет область определения:

Решение. Например: .

Подкоренное выражение неотрицательно при и знаменатель дроби должен быть не равен нулю.

3)  Задайте формулой функцию g(x), которая имеет область определения:

Решение. Например:1) , или 2)

В первом случае, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно должно выполняться условие , во втором система условий: . В обоих случаях получаем .

2.2. 1) В треугольнике АВС точка М делит сторону АС в отношении 2:1. Как относятся площади треугольников АВМ и СВМ?

Решение.

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание. Высота ВН у треугольников АВМ и СВМ общая. Основания относятся как 2:1, значит, так же относятся и площади.

2) Разделите квадрат на три части одинаковой площади так, чтобы ни одна из частей не была прямоугольником. Найдите как можно больше разных решений задачи.

а) Поставим на противоположных сторонах квадрата АВСD точки М и N так, чтобы АN:ND=2:1, СМ:МВ=2:1.

В четырехугольнике АNСМ стороны АМ и СN равны и параллельны. Значит, АNСМ - параллелограмм. Его сторона равна 1/3 стороны квадрата, а высота CD равна стороне квадрата. Значит площадь параллелограмма в 3 раза меньше площади квадрата. Так как треугольники АВМ и CDN равны, то их площади равны тоже 1/3 площади квадрата.

Приведем еще два из многих возможных решений:

2.3. 1) Можно ли расположить на плоскости шесть прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с четырьмя другими прямыми?

Решение. Каждая из шести прямых в общем случае может пересекаться с пятью другими прямыми. Чтобы каждая пересекалась ровно с четырьмя прямыми, у каждой прямой должна быть одна параллельная ей прямая. Разобьем шесть прямых на три пары параллельных и условие будет выполнено (см. рисунок).

2) Можно ли на плоскости расположить 2007 прямых так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с 1998 прямыми?

Решение. Каждая из 2007 прямых в общем случае может пересекаться с 2006 другими прямыми. Значит, чтобы пересекаться с 1998 прямыми каждая из 2007 прямых должна быть параллельна 8-ми прямым. Так как 2007 делится на 9 (2007:9=223), то нам удастся разбить все прямые на 223 группы по 9 параллельных прямых, в каждой группе каждая прямая параллельна ровно 8 прямым, и значит, пересекает остальные 1998.

3 тур (20 минут).

3.1. 1) Докажите, что для любых чисел a и b верно неравенство: ?

Решение. Вычтем из левой части неравенства правую: