Программа и индивидуальные учебно - исследовательские задания по дисциплине «Высшая математика» (стр. 5 )

6.5 3, 6.6 -2,

1, 2,

МОДУЛЬ 7. Тема 9. Теория функций комплексной переменной

Вопросы и задачи для самостоятельной работы

Вопросы к экзамену по материалу главы 9:

1. Понятие функции комплексной переменной, предел, непрерывность.

2. Области и границы.

3. Производная от функции комплексной переменной. Аналитичность. Условия Коши-Римана.

4. Элементарные функции комплексной переменной.

5. Интеграл от функции комплексной переменной.

6. Интеграл по замкнутой кривой. Теорема Коши для одно – и многосвязной области.

7. Ряды Тейлора для функций комплексной переменной.

8. Ряды Лорана для функций комплексной переменной.

10. Классификация особых точек. Ряды Лорана в окрестности особых точек.

11. Бесконечно удаленная особая точка, ее классификация, вычет в ней.

12. Применение вычетов для вычисления интегралов.

ЗАДАНИЕ 1.

Представить в алгебраической форме следующие выражения:

1.1 1.2 1.3

1.4 1.5 1.6

Ответы

1.1 1.2 1.3

1.4 1.5 1.6

ЗАДАНИЕ 2.

Представить заданную функцию где в виде Проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в заданной точке Z0 .

2.1 2.2

2.3 2.4 2.5

2.6

Ответы

2.1 2.2 2.3

2.4 2.5 2.6

ЗАДАНИЕ 3.

Вычислить интегралы от аналитических функций.

3.1 3.2 3.3

3.4 3.5 3.6

Ответы

3.1 7i. 3.2 –1-2i. 3.3 –10+11i. 3.4 16-2i. 3.5 3+15i. 3.6 18i.

ЗАДАНИЕ 4.

Вычислить интегралы по замкнутому контору с помощью интегральной формулы Коши.

4.1 4.2 4.3

4.4 4.5 4.6

Ответы

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

ЗАДАНИЕ 5.

Разложить функцию в ряд Лорана по степеням Z. Определить тип особой точки.

5.1 5.2 5.3

5.4 5.5 5.6

Ответы

5.1 Полюс 5-го порядка z = 0. 5.2 Устранимая особая точка z = 0.

5.3 Простой полюс z = 2. 5.4 Существенно особая точка z = 0. 5.5 Простой полюс z = 1.

5.6. Полюс 2-го порядка z = 0.

ЗАДАНИЕ 6.

Вычислить интегралы по замкнутому контору с помощью вычетов.

6.1 а) b)

6.2 а) b)

6.3 а) b)

6.4 а) b)

6.5 а) b)

6.6 а) b)

Ответы

6.1 а) 0; b) 6.2 а) 0; b) 6.3 а) 0; b) 6.4 а) 0; b)

6.5 а)0; b) 6.6 а) 0; b)

МОДУЛЬ 7. Тема 10. Операционное исчисление

Вопросы и задачи для самостоятельной работы

Вопросы к экзамену по материалу главы 10:

ЗАДАНИЕ 1.

1.Функция – оригинал и преобразование по Лапласу, линейные свойства преобразования.

2. Теоремы дифференцирования оригинала и изображения.

3. Теоремы интегрирования оригинала и изображения.

4. Теоремы смещения и запаздывания.

5. Методы определения оригинала по известному изображению.

6. Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом.

Найти изображение заданной функции

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

ЗАДАНИЕ 2.

По известному изображению найти оригинал

2.1 Ответ:

2.2 Ответ:

2.3 Ответ:

2.4 Ответ:

2.5 Ответ:

2.6 Ответ:

ЗАДАНИЕ 3.

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

Ответы

3.1 3.2

3.3 3.4

3.5 3.6

ЗАДАНИЕ 4.

Решить систему дифференциальных уравнений

х(0) = 1, у(0) = -1.

4.1 Ответ:

х(0) = -1, у(0) = 1.

4.2 Ответ:

х(0)=1, у(0) = 0.

4.3 Ответ: х(t) = cost,

у(t) = -2sint.

х(0) = 0, у(0) = -1.

 

4.4 Ответ:

х(0) = -1, у(0) = 2.

4.5 Ответ:

х(0) = -1, у(0) = 2.

4.6 Ответ:

МОДУЛЬ 8. Тема 11. Теория вероятностей

Вопросы и задачи для самостоятельной работы

Вопросы к экзамену по материалу главы 11:

Случайные события. Классификация событий Сумма и произведение событий Частота события и ее свойства Вероятность события Геометрическая вероятность Аксиоматическое построение теории вероятностей Теорема сложения вероятностей Теорема умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей для совместных событий Формула полной вероятности Теорема гипотез (формула Байеса) Комбинаторика Повторение испытаний. Формула Бернулли Дискретная случайная величина Функция распределения Плотность распределения Понятие числовых характеристик случайной величины. Математическое ожидание Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение. Понятие о моментах Числовые характеристики непрерывной случайной величины Закон равномерного распределения вероятностей Биномиальное распределение Распределение Пуассона . Показательное распределение Нормальный закон распределения Исследование нормальной кривой Вероятность попадания случайной величины на заданный участок. Функция Лапласа.

Задачи для самостоятельной работы:

1. В урне 12 шаров, пронумерованных 1,2, …,12. Наудачу извлекают 8 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров окажутся

1) шар №3

2) шары №5 и №6

2.В урне содержится 10 красных, 15 синих, 5 белых шаров. Из урны наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет красным или белым.

3. Сколько вариантов можно предложить при расстановке 9 книг на полке?

4. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, 0?

5. Сколько групп отличающихся между собой самими элементами, либо их порядком расположения, можно составить из 10-ти элементов по 3 элемента в каждой группе?

6. В ящике 13 одинаковых пронумерованных шаров. Сколькими способами можно выбрать четыре шара из ящика?

7. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

8. Из 8 шахматистов нужно составить команду, в которую входили бы 3 человека. Определить число вариантов.

9. В ящике находится 20 деталей, среди которых 15 стандартных. Наудачу отобрали 10 деталей. Найти вероятность того, что из отобранных деталей 8 окажутся стандартными.

10. На полке в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем пять из них по математике, вы берете наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет по математике

11. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказа каждого из элементов соответственно равны р1= 0,1; р2=0,15; р3=0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет (событие А).

12. Имеются три одинаковые урны в первой а белых шаров и b черных шаров, во второй с белых и d черных, в третьей только белые шары. Вы подходите наудачу к одной из урн и вынимаете из нее один шар. Найти вероятность того, что шар будет белым.

13. Группа студентов состоит из а студентов-отличников, b хорошо занимающихся, с занимающихся слабо студентов. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получать хорошие, плохие и удовлетворительные оценки с равной вероятностью.

Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценки.

14. Партия из 30 деталей подвергается выборочному контролю. Она считается непригодной, если среди наудачу выбранных трех деталей обнаружится хотя бы одна бракованная. Найти вероятность того, что партия будет принята, если она содержит пять бракованных деталей.

15. Для сигнализации об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора, вероятности срабатывания которых соответственно равны 0,8 и 0,9. Определить вероятность того, что при аварии

- сигнализация сработает (событие А)

- сработает только один сигнализатор (событие В)

16. Производится стрельба по мишени, состоящей из трех концентрических окружностей. Вероятность попадания в центральную зону (1) равна 0,05; вероятность попадания в кольцо (2) равна 0,1; вероятность попадания в кольцо (3) равна 0,17. Какова вероятность попасть в мишень?

17. Определить математическое ожидание случайной величины Х числа попаданий при трех выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле Р=0,4

18. Производится стрельба по цели тремя снарядами. Снаряды попадают в цель независимо друг от друга. Для каждого снаряда вероятность попадания в цель равна 0,4. Если в цель попал один снаряд, он поражает цель (выводит ее из строя) с вероятностью 0,3; если два снаряда – с вероятностью 0,9.Найти полную вероятность поражения цели.

19. Производится один выстрел по групповой мишени, состоящей из яблока и двух концентрических окружностей. Вероятности попадания при одном выстреле в яблоко и кольца соответственно равны 0,11:0,24:0,35.

Найти вероятность промаха.

20. В ящике 80 радиоламп, из них 70 стандартных и 10 нестандартных. Наудачу берут одну лампу, затем не возвращая лампы в ящик, берут вторую лампу. Событие В-появление стандартной лампы в первом испытании, А-появление стандартной лампы во втором испытании.

Вычислим вероятность события А в двух случаях, когда событие В произошло и когда не произошло.

21. Станок штампует детали. Вероятность того, что за смену не будет выпущено ни одной нестандартной детали равна 0.9. Определите вероятность того, что за три смены не будет выпущено ни одной нестандартной детали.

22. Производятся два выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равн 0,6, а вероятность попадания при втором выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина.

23. Имеются четыре одинаковые урны с различным содержанием белых и черных шаров.

Вы наугад выбираете урну. Причем вероятность выбора любой урны P(H1)=P(H2)=P(H3)=Р(Н4) одинакова. Далее после выбора урны вы вынимаете один шар. Какова вероятность вынуть белый шар (событие А)?

24. Вероятность изготовления стандартной детали на станке равна 0,9. Определить вероятность того, что из 6 наудачу взятых деталей 4 окажутся стандартными.

25. Переменная величина х есть число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости при ее однократном бросании. Написать таблицу распределения случайной величины.

26. Вероятность появления события А при каждом из бесконечной последовательности испытаний равна Р.

Случайная величина х – номер испытания, при котором произошло первый раз событие А. Найти закон распределения случайной величины х.

27. По цели производится три независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле 0,4. Построить функцию распределения числа попаданий.

28. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью

Построить график плотности распределения. Найти вероятность попадания случайной величины на участок (0;)

30. Определить математическое ожидание случайной величины х числа попаданий при трех выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле 0,4.

31. Вычислить числовые характеристики М(х), D(x), σ(x), если случайная величина х распределена по следующему закону:

Хk	2	3	4	5
Рk	0,1	0,4	0,3	0,2

32. Монета бросается три раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений герба.

33. Игральная кость бросается два раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадения шести очков.

34. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится равна 0,002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.

35. Случайная величина х распределена по нормальному закону. Известно, что М(х)=30, σ(х)=10. Найти вероятность того, что случайная величина х примет значение из промежутка (10;50).

ЛИТЕРАТУРА:

Брошюры и методические рекомендации профессора по указанным главам высшей математики в библиотеке института